1.2 怎样判定三角形相似（同步练习）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

1.2怎样判定三角形相似（同步练习） （原卷版） 一、单选题 1．如图，点、分别在、上，且与不平行，添加一个条件，可得，不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，(    ) A．7 B．7.5 C．8 D．4.5 3．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠C=∠F=，∠A=，∠D= B．∠C=∠F=，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9 C．∠C=∠F=， D．∠B=∠E=， 4．依据图中所标注的数据，添加下列条件：①；②；③；④． 其中仍然不能判定与相似的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．如图，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ACB的是（  ）． A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C．＝ D．∠ADE＝∠C 6．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△DEF∽△ABE，其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ） A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE 9．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，把菱形向平移至的位置，作，垂足为与相交于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，则正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是 （写出一个条件即可）． 12．如图，在△ABC中，D是线段AB上的一点（不与点A，B重合），连接CD．请添加一个条件使△ABC与△DBC相似，这个条件可以是 （写出一个即可）． 13．如图，要使和相似，已具备条件 ，还需补充的条件是 ，或 ，或 ． 14．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点． = ，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个） 15．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有 对相似三角形．（不添加任何辅助线）    三、解答题 16．如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 17．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？ 18．如图，P是的边上的一点． （1）如果，与是否相似？为什么？ （2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？ 19．已知：在中，．求作：点D，使得点D在边上，并且以点A，C，D为顶点的三角形与相似．    20．如图，在边长为 的 的正方形网格上有两个三角形，它们的顶点都在格点上， 与 是否相似？请说明理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2怎样判定三角形相似（同步练习） （解析版） 一、单选题 1．如图，点、分别在、上，且与不平行，添加一个条件，可得，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是由相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：A、B中的条件，又，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； C、，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； D、，两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故符合题意． 故选：D． 2．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，(    ) A．7 B．7.5 C．8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可. 【详解】∵ ∴ 即： 故选：D 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容并能正确的列出比例式是关键. 3．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠C=∠F=，∠A=，∠D= B．∠C=∠F=，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9 C．∠C=∠F=， D．∠B=∠E=， 【答案】D 【详解】试题解析：A．相似：∵∠A=∴∠B=-=∵∠D=∴∠B=∠D∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF； B．相似：∵AB=10，BC=6，DE=15，EF=9，则，，∴，又∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF； C．相似：∵∠C=∠F=，∴△ABC∽△DEF； D．不相似：∵∠B=∠E=，，有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似． 故选D． 4．依据图中所标注的数据，添加下列条件：①；②；③；④． 其中仍然不能判定与相似的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】由题意易求，再根据三角形相似的判定定理逐项判断即可． 【详解】由题意可知，， ∴． ∵， ∴，故①能判定与相似，不符合题意； 由②判不能判定与相似，符合题意； ∵，， ∴， ∴，故③能判定与相似，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴④不能判定与相似，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三角形相似的判定．熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 5．如图，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ACB的是（  ）． A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C．＝ D．∠ADE＝∠C 【答案】A 【详解】试题分析：相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件：由题意得，∠A=∠A（公共角），则添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；故B，D正确，添加：＝ ，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB，故C选项正确，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，AD与AB是对应边，故从对应关系来看应选A． 考点：相似三角形的判定． 6．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形相似的判定方法：①两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】如图： ①由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确； ②由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确； ③由∠A=∠D、∠B=∠F可以判定△ABC与△DEF相似，故正确； ④∠E和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 7．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△DEF∽△ABE，其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用正方形的性质、等边三角形的性质，求出相关角的度数，即可一一解决问题． 【详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， ∵△EBC是等边三角形， ∴BC=BE=CE，∠EBC=∠EBC=∠ECB=60°， ∴∠ABE=∠ECF=30°， ∵BA=BE，EC=CD， ∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=（180°-30°）=75°， ∴∠EAD=∠EDA=15°， ∴EA=ED，故①正确， ∴∠DEF=∠EAD+∠ADE=30°， ∴∠CEF=∠CED-∠DEF=45°，故②正确， ∵∠EDF=∠AFD=75°， ∴ED=EF， ∴AE=EF，故③正确， ∵∠BAE=∠BEA=∠EDF=∠EFD=75°， ∴△DEF∽△ABE，故④正确， 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度解决问题，属于中考常考题型． 8．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ） A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】∵∠BAD=∠C， ∠B=∠B， ∴△BAC∽△BDA．故A正确． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴△BFA∽△BEC．故B正确． ∴∠BFA=∠BEC， ∴∠BFD=∠BEA， ∴△BDF∽△BAE．故D正确． 而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 9．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， 、若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； 、若，则，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； 、若，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； 、若，无夹角相等，故不能判定，此选项符合题意； 故选：． 10．如图，把菱形向平移至的位置，作，垂足为与相交于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，则正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先证明，再根据直角三角形性质和菱形性质以及相似三角形的判定即可一一判断． 【详解】解：∵把菱形向右平移至的位置， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故①正确； ∵DE=DH， ∴∠DHE=∠DEH， ∵四边形CDFE是菱形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，故③正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴．故④正确； 正确的有：①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 11．图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是 （写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可． 【详解】解：添加，可以使两个三角形相似． ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，D是线段AB上的一点（不与点A，B重合），连接CD．请添加一个条件使△ABC与△DBC相似，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】∠BCD＝∠A或∠CDB＝∠BCA或 【分析】因为已知一个公共角，根据有两个角相等的两个三角形相似可添加或，根据有两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可添加． 【详解】解：在和中， ∵， ∴添加或或，． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，熟知相似三角形判定定理是解题的关键． 13．如图，要使和相似，已具备条件 ，还需补充的条件是 ，或 ，或 ． 【答案】 【分析】根据三角形判定定理：两角对应相等两三角形相似、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．已知一个角相等，只要满足另外任何一个角对应相等或者所夹相等角的两边对应成比例即可． 【详解】解：由图示可知∠EAF=∠CAB 要使△AEF和△ACB相似 根据三角形相似的判定定理，需要补充条件是，或∠AEF=∠C，． 故答案为(1).     (2).     (3).     (4). 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，定理为：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似． 14．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点． = ，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个） 【答案】DF∥AC或∠BFD=∠A 【分析】根据题意，已知对应边成比例，添加DF∥AC或∠BFD=∠A，都可证△FBD∽△AED. 【详解】DF∥AC，或∠BFD=∠A． 理由：∵∠A=∠A， ， ∴△ADE∽△ACB， ∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC， ∴△BDF∽△EAD． ②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED， ∴△FBD∽△AED． 故答案为DF∥AC或∠BFD=∠A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有 对相似三角形．（不添加任何辅助线）    【答案】3 【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成． 【详解】在△ABC与△DBA中， ∵∠ABD＝∠ABD，∠BAD＝∠C， ∴△ABC∽△DBA， 在△ABF与△CBE中， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， 又∠BAF＝∠BCE， ∴△ABF∽△CBE． 同理可证得：△ABE∽△DBF， 所以图形中共有3对相似三角形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点． 三、解答题 16．如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】相似，理由如下： ∵在中，，，， 在中，，，， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解题的关键． 17．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？ 【答案】△EAD∽△EBA． 【详解】试题分析：先利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠GAF=45°，再加上公共角，于是可判断△EAD∽△EBA． 解：有相似三角形，它们为△EAD∽△EBA． 理由如下： ∵△ABC和△AFG为等腰直角三角形， ∴∠B=∠GAF=45°， 而∠AED=∠BEA， ∴△EAD∽△EBA． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．解决的关键是灵活运用相似三角形的判断． 18．如图，P是的边上的一点． （1）如果，与是否相似？为什么？ （2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？ 【答案】（1）相似．因为，；（2）相似，因为，；不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等． 【分析】（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证； （2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：（1）相似，理由如下： ∵，， ∴； （2）相似，理由如下： ∵，， ∴； 不相似，理由如下： 因为虽然，但它们的夹角 与 不相等， 所以与不相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 19．已知：在中，．求作：点D，使得点D在边上，并且以点A，C，D为顶点的三角形与相似．    【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E和点C，连接，与相交与点D，即为的高，此时． 【详解】解：如图，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E和点C，连接，与相交与点D，即为的高，即，此时．    点D即为所求． ∵，， ∴， ∵， ∴． 20．如图，在边长为 的 的正方形网格上有两个三角形，它们的顶点都在格点上， 与 是否相似？请说明理由． 【答案】相似，见解析 【分析】根据方格的正方形方格的长度，可分别计算得两个三角形三边长，发现三边对应成比例，故两个三角形相似 【详解】 与 相似．理由如下： ，，， ，，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，重点是抓住三角形的三边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$