专题5.2 等差数列（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题5.2 等差数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：等差数列的概念及其通项公式 3 考点二：等差中项 4 考点三：等差数列的前n项和公式 4 考点四：等差数列性质及其运用 5 考点五：等差数列的实际应用 5 【考纲要求】 1. 掌握等差数列和等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； 2. 掌握等差数列的相关性质，并会熟练运用； 3. 能运用等差数列的知识解决实际问题. 【考向预测】 1.等差数列的概念及其通项公式 2.等差中项 3.等差数列的前n项和公式 4.等差数列性质及其运用 5.等差数列的实际应用 【知识导图】 【知识清单】 1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为（常数）（）或（常数）（）. 特别提醒：当公差时，数列为常数列. 2.等差数列的通项公式 (1)若等差数列的首项为，公差为d，则其通项公式为. (2)推广公式：. 特别提醒：令等差数列为一次函数. 3.等差中项 (1)若三个数成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且有. (2)等差数列一般规律：若，则. 特别提醒：三个数的设法（对称设法） 4.等差数列的前n项和公式 . 等差数列的前n项和公式可化简为，可看出是无常数项的二次函数. 5.等差数列的性质 已知数列是等差数列，是其前n项和. (1)或. (2)若，则, 特别地，，则. (3)也成等差数列，公差为. (4)若数列也成等差数列，则，,(k,b为非零常数)也是等差数列. (5)在等差数列中，共有2n项，公差为d，则. 6.等差数列的应用 (1)年利率与月利率的关系：月利率=年利率÷12 (2)等差数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系（即等差数列模型），然后确认公差、首项、项数是什么，分清与，然后选用适当的方法求解，最后回归实际. 【考点分类剖析】 考点一：等差数列的概念及其通项公式 例1．已知数列中，，，则等于（    ） A．-12 B．12 C．-16 D．16 【方法指引】在等差数列中，首项与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 【变式探究】1.数列为等差数列，若,，则（    ） A． B． C． D． 2.等差数列满足，，则（    ） A．4 B．3 C． D．2 考点二：等差中项 例2．等差数列中，，则等于（    ） A．3 B．6 C．12 D．18 【变式探究】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 考点三：等差数列的前n项和公式 例3．已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【方法指引】在等差数列中，,d,n,,是基本量，如果条件与结论间的联系不明显，结合等差数列的前n项和公式和等差数列的通项公式，化成有关，d的关系列方程组求解，但要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 【变式探究】已知等差数列的前项和为，若与是方程的两个实根，则（    ） A．46 B．44 C．66 D．40 例4.已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【方法指引】等差数列求前n项和取最值有： 法一：若，前n项和有最大值，利用 求出n； 若，前n项和有最小值，利用 求出n . 法二：利用二次函数求最值时n取正整数． 【变式探究】1.在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围 ． 2.已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 考点四：等差数列性质及其运用 例5.已知数列满足，则等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【误区指引】注意下标的计算. 【变式探究】在等差数列中，若，则 . 考点五：等差数列的实际应用 例6.小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（    ） A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天 【变式探究】已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． (1)求2024年起前20季度营业额的总和； (2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 等差数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：等差数列的概念及其通项公式 3 考点二：等差中项 4 考点三：等差数列的前n项和公式 5 考点四：等差数列性质及其运用 7 考点五：等差数列的实际应用 8 【考纲要求】 1. 掌握等差数列和等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； 2. 掌握等差数列的相关性质，并会熟练运用； 3. 能运用等差数列的知识解决实际问题. 【考向预测】 1.等差数列的概念及其通项公式 2.等差中项 3.等差数列的前n项和公式 4.等差数列性质及其运用 5.等差数列的实际应用 【知识导图】 【知识清单】 1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为（常数）（）或（常数）（）. 特别提醒：当公差时，数列为常数列. 2.等差数列的通项公式 (1)若等差数列的首项为，公差为d，则其通项公式为. (2)推广公式：. 特别提醒：令等差数列为一次函数. 3.等差中项 (1)若三个数成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且有. (2)等差数列一般规律：若，则. 特别提醒：三个数的设法（对称设法） 4.等差数列的前n项和公式 . 等差数列的前n项和公式可化简为，可看出是无常数项的二次函数. 5.等差数列的性质 已知数列是等差数列，是其前n项和. (1)或. (2)若，则, 特别地，，则. (3)也成等差数列，公差为. (4)若数列也成等差数列，则，,(k,b为非零常数)也是等差数列. (5)在等差数列中，共有2n项，公差为d，则. 6.等差数列的应用 (1)年利率与月利率的关系：月利率=年利率÷12 (2)等差数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系（即等差数列模型），然后确认公差、首项、项数是什么，分清与，然后选用适当的方法求解，最后回归实际. 【考点分类剖析】 考点一：等差数列的概念及其通项公式 例1．已知数列中，，，则等于（    ） A．-12 B．12 C．-16 D．16 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义和通项公式即可得出答案． 【详解】解：数列中，，，即， 所以数列为等差数列，公差为， 所以， 所以． 故选：A． 【方法指引】在等差数列中，首项与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 【变式探究】1.数列为等差数列，若,，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可求得公差，根据通项公式运算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由， 所以. 故选：B. 2.等差数列满足，，则（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，先根据条件列方程求出和，再利用等差数列的通项公式求即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由已知可得， 解得， 所以. 故选：B. 考点二：等差中项 例2．等差数列中，，则等于（    ） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】A 【分析】根据等差中项的关系即可求解. 【详解】解：根据等差数列的性质可得 故 故选：A 【变式探究】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 考点三：等差数列的前n项和公式 例3．已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据题设条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， ， 所以，，解得， 所以，， 故选：B. 【方法指引】在等差数列中，,d,n,,是基本量，如果条件与结论间的联系不明显，结合等差数列的前n项和公式和等差数列的通项公式，化成有关，d的关系列方程组求解，但要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 【变式探究】已知等差数列的前项和为，若与是方程的两个实根，则（    ） A．46 B．44 C．66 D．40 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质和求和公式，结合韦达定理求解即可. 【详解】因为与是方程的两个实根， 所以， 又因为数列是等差数列， 所以， 故选：C 例4.已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先判断是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取得最小值时的值. 【详解】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得． 则 故当取得最小值时，的值是6． 故选：A． 【方法指引】等差数列求前n项和取最值有： 法一：若，前n项和有最大值，利用 求出n； 若，前n项和有最小值，利用 求出n . 法二：利用二次函数求最值时n取正整数． 【变式探究】1.在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意列出不等式组求解即可． 【详解】由题意得：，所以，解得， 故答案为：． 2.已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】(1)； (2)时取得最大值为. 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 故， 所以. （2）由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 考点四：等差数列性质及其运用 例5.已知数列满足，则等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先判断数列为等差数列，结合等差数列的性质可求结果. 【详解】∵，∴是等差数列． 由等差数列的性质可得，， ∴，， ∴． 故选：B 【误区指引】注意下标的计算. 【变式探究】在等差数列中，若，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得，故， ， 故答案为： 考点五：等差数列的实际应用 例6.小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（    ） A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天 【答案】C 【分析】利用等差数列定义及前n项和公式得前n天阅读总时间为，再列不等式求恰好阅读完这两本书的时间. 【详解】由题设，每天阅读时间是首项、公差都为10的等差数列， 所以前n天阅读总时间为分钟， 令，则，， 又开口向上且对称轴为，即上递增， ，，， 所以恰好阅读完这两本书的时间为第22天. 故选：C 【变式探究】已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． (1)求2024年起前20季度营业额的总和； (2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【答案】(1)31.5 (2)今年起第26个季度 【分析】（1）前20季度营业额构成首项为1.1，公差为0.05的等差数列，则总和为，计算即可. （2）因为第n季度的营业额为：，第n季度的利润为：，解不等式即可. 【详解】（1）依题意：营业额是首项为1.1，公差为0.05的等差数列， 前20季度营业额之和为：（亿）. （2）设2024年起第n季度（）满足条件，依题意， 第n季度的营业额为：， 第n季度的利润为：， 依题意：，解得：. 即今年起第26个季度的利润首次超过该季度营业额的18%. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$