8.2.1第2课时 离散型随机变量的概率分布 课件-2025届高三数学一轮复习

第2课时　离散型随机变量的概率分布 第8章　 8.2.1　随机变量及其分布列 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的概率分布. 2.掌握离散型随机变量概率分布的表示方法和性质. 3.理解两点分布. 学习目标 对于随机试验我们引入了随机变量的概念，这样，了解随机试验的规律就转化为了解随机变量的所有可能取值，以及随机变量取各个值的概率.了解了上述两点，我们就可以说了解了这个随机试验的规律.这就是我们这节课所研究的内容. 导语 随堂练习 对点练习 一、离散型随机变量的概率分布 二、概率分布的性质 三、0-1分布(两点分布) 内容索引 4 一、离散型随机变量的概率分布 问题　掷一枚骰子的随机试验中，X 表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示　列成表的形式 X 1 2 3 4 5 6 P 知识梳理 1.随机变量X的概率分布 一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，① 则称①为随机变量X的 ，简称为X的分布列. 2.概率分布表 通常将上表称为随机变量X的 . 随机变量X的概率分布列、概率分布表都叫作随机变量X的概率分布. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 概率分布列 概率分布表 注意点： (1)概率分布表中x1，x2，…，xn表示离散型随机变量X可能取的不同值，p1，p2，…，pn表示X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi. (2)随机变量X取值为x1，x2，…，xn时所对应事件是互斥的. 例1　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； 设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”的事件为A， (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列. 解　用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2. X 0 1 2 P 故X的概率分布为 跟踪训练1　一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1,2,3,4，现从中随机取出2个球，用X表示取出球的最大号码，求X的概率分布. 解　由题意知，随机变量X所有可能取值为2,3,4. X 2 3 4 P 因此X的概率分布为 二、概率分布的性质 知识梳理 在随机变量的分布列中，pi满足： (1)Pi 0(i＝1,2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝ . ≥ 1 解　由题意知，所给概率分布为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a 由概率分布的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 跟踪训练2　设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的概率分布； 解　由概率分布的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， ∴m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个概率分布为 2X＋1的概率分布 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1|的概率分布. 解　|X－1|的概率分布 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 三、0-1分布(两点分布) 知识梳理 随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为 分布或 ，此处“～”表示“ ”. 注意点： (1)两点分布有且只有两个对应结果，且互为对立. (2)其随机变量的取值只能是0和1，故又称0－1分布. (3)其中p＝P(X＝1)，称为成功概率. (4)两点分布可应用于彩票中奖、新生儿性别、投篮是否命中等. X～0－1 X～两点分布 服从 例3　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝ 求X的概率分布. 解　由题设可知X服从两点分布. ∴X的概率分布为 X 0 1 P 跟踪训练3　已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布. 所以随机变量X的概率分布为 X 0 1 P 1 2 3 4 1.(多选)下列表格中，是某个随机变量的概率分布表的是 A. X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 B. X －2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 C. X 1 2 3 P D. X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 √ √ √ 解析　C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点.所以C项不是随机变量的概率分布表. 1 2 3 4 2.某射手射击一次命中环数X的概率分布为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则P(X>7)等于 A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 √ 解析　根据X的概率分布知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 1 2 3 4 3.若随机变量X～0－1分布，P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝3a，则a＝_____. 26 1 2 3 4 4.已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________. 0,1,2 得Y∈{0,1,2}. 对点练习 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.(多选)已知随机变量X的概率分布如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是 A.a＝0.1 B.P(X≤2)＝0.7 C.P(X≥3)＝0.4 D.P(X≤1)＝0.3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　由0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，得a＝0.1， 故A正确； P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确； P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3， 故C错误； P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.3，故D正确. 2.若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　由题意知，{ξ＝0}表示“一次试验失败”，{ξ＝1}表示“一次试验成功”. 设一次试验失败率为p，则成功率为2p， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设离散型随机变量X的概率分布为 若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于 A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 X 0 1 2 3 4 P 0.15 0.15 0.15 0.25 m √ 解析　由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1， 得m＝0.3. 所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么 A.n＝3 B.n＝4 C.n＝10 D.n＝9 √ 解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3， ∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若随机变量η的概率分布如下： 解析　由概率分布知， P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P(η<2)＝0.8，故1<x≤2. η －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是 A.x≤1 B.1≤x≤2 C.1<x≤2 D.1≤x<2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，概率分布如下： A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55 X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 √ 解析　根据概率分布的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的概率分布为 X 0 1 P a b 则a＝________，b＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的概率分布. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以抛掷两次掷出的最大点数构成的概率分布为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.若离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 试求出离散型随机变量X的概率分布. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　由已知可得9c2－c＋3－8c＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故所求概率分布为 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知随机变量X的概率分布如下： 则P(X＝10)等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 X 2 4 6 P a b c √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　由概率分布的性质，得a＋b＋c＝1. 13.设随机变量X的概率分布如下表，则P(|X－2|＝1)＝________. 解|X－2|＝1得X＝1或X＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若随机变量X的概率分布如表所示： 则a2＋b2的最小值为____. 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　根据题意，随机变量X的概率分布为 则有P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中原有的白球的个数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　设袋中原有n个白球，由题意知 可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求随机变量ξ的概率分布； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　由题意得，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以ξ的概率分布如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求甲取到白球的概率. 谢谢观看 解　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况. 则P(A)＝＝， 即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 解得a＝. 例2　设随机变量X的概率分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5). (1)求常数a的值； (2)求P. 解　方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. 方法二　P＝1－P＝1－ ＝. 延伸探究　本例条件不变，求P. 解　∵<X<，∴X＝，，. ∴P＝P＋P＋P ＝＋＋＝. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝. 解　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝， 所以P(X＝1)＝1－＝. － 解析　依题意可得2a＋3a＝5a＝1，∴a＝. 解析　由题意Y＝X且X∈{0,2,4}， A.0 B. C. D. 所以p＋2p＝1，所以p＝，所以P(ξ＝1)＝. 则P等于 故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35. 7.若随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则P(X≤2)＝____. 解析　由题意知，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 解析　X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝； X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝. 则P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝＝， P(ξ＝6)＝＝. ξ 1 2 3 4 5 6 P ∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或. 检验：当c＝时，9c2－c＝9×2－＝>0， 3－8c＝3－＝>0； 当c＝时，9c2－c＝9×2－>1， 3－8c＝3－<0(不适合，舍去).故c＝. X 0 1 P X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m A. B. C. D. 解析　P(X＝10)＝1－－…－＝. 12.(多选)随机变量X的概率分布如表，其中2b＝a＋c，且c＝ab， A.a＋b＋c＝1 B.a＝ C.b＝ D.c＝ 由 解得 故所求概率为P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝. X 1 2 3 4 P m 解析　根据＋＋m＋＝1， 解得m＝， X 0 1 2 3 P a b 解析　由概率分布的性质，知a＋b＝，而 a2＋b2≥＝(当且仅当a＝b＝时等号成立). 15.(多选)已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝0,1,2)，其中a是常数，则 A.P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1 B.a＝ C.P(0≤X＜2)＝ D.以上均不正确 P(X＝n)＝(n＝0,1,2)， ＝＋＋＝1， 解得a＝， 则P(0≤X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. ＝＝＝， P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝； P(ξ＝5)＝＝. ξ 1 2 3 4 5 P 解　因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝. $$