专题01 函数的概念及其表示重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优含多选题）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题01 函数的概念及其表示重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优含多选题） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 区间的定义、表示与运算 题型四 具体函数、抽象函数定义域 题型五 复合函数的定义域 题型六 常见、复杂函数的值域 题型七 根据函数的值域求定义域 题型八 已知函数类型求解析式 题型九 已知f（g（x））求解析式 题型十 函数的表示法 题型十一 分段函数 题型十二 已知分段函数的值求参数或自变量 题型十三 根据分段函数的单调性求参数 题型十四 分段函数的值域或最值 题型十五 求分段函数值 知识点01：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点02：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点03：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 知识点04：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 知识点05：函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点06：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点07：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点08：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（21-22高一上·江苏南通·阶段练习）下列对应中： （1），其中，； （2），其中，，； （3），其中y为不大于x的最大整数，，； （4），其中，，. 其中，是函数的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 2．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 . 3．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【经典例题二 求函数值】 【例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 1．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（    ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 2．（23-24高一上·广东广州·期中）已知，，则 ， ． 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【经典例题三 区间的定义、表示与运算】 【例3】（2024·北京西城·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期末）已知条件：，条件：，命题A：若成立，则成立.若命题是真命题，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【经典例题四 具体函数、抽象函数定义域】 【例4】（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 复合函数的定义域】 【例5】（22-23高一上·湖南衡阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 3．（19-20高一·全国·课后作业）求下列函数的定义域 （1）已知函数定义域是，求的定义域. （2）已知函数定义域是，求的定义域. （3）已知函数定义域是，求的定义域. 【经典例题六 常见、复杂函数的值域】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高二下·安徽六安·期末）已知函数，（），则它的值域为（    ） A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0） 2．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【经典例题七 根据函数的值域求定义域】 【例7】（22-23高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（19-20高一上·广东深圳·期中）已知函数，其值域是，则其定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（19-20高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数的值域是，那么函数的定义域是 . 3．（20-21高一上·河北邯郸·阶段练习）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 【经典例题八 已知函数类型求解析式】 【例8】（22-23高三·全国·对口高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【经典例题九 已知f（g（x））求解析式】 【例9】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意）都有，则（    ） A． B．2022 C．2023 D．2024 2．（22-23高二下·重庆江津·期末）已知函数满足，则 . 3．（23-24高一上·广东湛江·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数，且满足. 【经典例题十 函数的表示法】 【例10】（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 1．（21-22高一·全国·期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·北京·期中）对任意的，若函数的大致图象如图所示（两侧的射线均平行于x轴），则满足条件的a，b的值可以分别为 . 3．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）已知， (1)用分段函数表示的解析式，并作出其图象； (2)指出函数的定义域与值域； (3)解不等式. 【经典例题十一 分段函数】 【例11】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象为折线，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（2024高一·全国·竞赛）定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值是 . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 【经典例题十二 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例12】（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·浙江温州·期中）设函数若，则a=（    ） A． B． C．0或 D．或 2．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 3．（23-24高一上·天津·期中）已知函数 (1)若，则求满足条件的x的值： (2)解关于x的不等式的解集. 【经典例题十三 根据分段函数的单调性求参数】 【例13】（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是 . 3．（20-21高一上·山西·期中）若函数f(x)，满足对于任意的，都有成立，g(x)=. （1）求b的取值范围； （2）当b=2时，写出f[g(x)]，g[f(x)]的表达式. 【经典例题十四 分段函数的值域或最值】 【例14】（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 1．（22-23高一上·上海长宁·期末）对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为（    ） A．12 B．3 C．14 D．15 2．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知“取整数”函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.当时，函数的解析式为 ；定义：尾数函数，，那么，尾数函数的值域为 . 3．（23-24高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求函数的值域. 【经典例题十五 求分段函数值】 【例15】（2021高二·湖北·学业考试）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 3．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象在x轴上方，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024高三·全国·专题练习）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于集合，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 8．（22-23高一上·广东湛江·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 9．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 10．（21-22高一上·云南大理·期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·单元测试）已知则 ． 12．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 13．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 14．（23-24高一上·广东广州·期中）已知，，则 ， ． 15．（23-24高一下·浙江·阶段练习）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，． (1)将该函数写成分段函数的形式； (2)画出的大致图像并写出的单调区间． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 19．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定设上课开始分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与的函数关系为：． (1)上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)若一个数学难题，需要及以上的接受能力（即）以及分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？ 20．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知定义在R上的函数，满足. (1)求的解析式； (2)若点在图像上自由运动，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数的概念及其表示重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优含多选题） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 区间的定义、表示与运算 题型四 具体函数、抽象函数定义域 题型五 复合函数的定义域 题型六 常见、复杂函数的值域 题型七 根据函数的值域求定义域 题型八 已知函数类型求解析式 题型九 已知f（g（x））求解析式 题型十 函数的表示法 题型十一 分段函数 题型十二 已知分段函数的值求参数或自变量 题型十三 根据分段函数的单调性求参数 题型十四 分段函数的值域或最值 题型十五 求分段函数值 知识点01：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点02：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点03：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 知识点04：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 知识点05：函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点06：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点07：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点08：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（21-22高一上·江苏南通·阶段练习）下列对应中： （1），其中，； （2），其中，，； （3），其中y为不大于x的最大整数，，； （4），其中，，. 其中，是函数的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】B 【分析】利用函数的定义，逐项分析是否满足定义判断即可． 【详解】（1），其中，；满足函数的定义，（1）正确； （2），其中，，，不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确； （3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确； （4），其中，，，当时，对应的，（4）不正确． 故选：B 1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 【答案】C 【分析】由题意转化为求集合的非空子集个数问题. 【详解】由题意可知，是集合A到集合B的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以集合是集合的非空子集，并且非空子集的个数为个. 故选：C 2．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 . 【答案】 【分析】对、、的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数的个数，即可得解. 【详解】分以下几种情况讨论： ①当、、全为时，只有种； ②当、、中有两个为，一个为时，有种； ③当、、中有两个为，一个为时，有种； ④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种； ⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种. 综上所述，满足条件的函数的个数为个. 故答案为：. 3．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【答案】(1)是函数 (2)不是函数 (3)是函数 【分析】（1）根据函数定义这个函数可以表示为()进行判断； （2）利用函数定义及特殊值进行判断； （3）可以表示为，是一个函数. 【详解】（1）对于任意一个非零实数x，由x唯一确定，所以当时是函数，这个函数也可以表示为(). （2）考虑输入值为4，即当时输出值y由给出，得和.这里一个输入值与两个输出值对应，所以，（，，）不是函数. （3）由题意知，对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应，.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为. 所以（1）是函数；（2）不是函数；（3）是函数. 【经典例题二 求函数值】 【例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【答案】C 【分析】通过赋值得，，由此即可得解. 【详解】由题意在中令，则，解得， 令，则，则， 所以. 故选：C. 1．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（    ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 【答案】C 【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解. 【详解】对于任意实数，满足， 所以当时，， 所以 . 故选：C 2．（23-24高一上·广东广州·期中）已知，，则 ， ． 【答案】 1 【分析】一空把代入解析式即可求解；二空利用，再计算即可. 【详解】因为， 所以； 所以， 所以 ， 所以； 故答案为：1； 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取都为时，代入题中关系式即可证明； （2）令，分析可得，进而可求，令，分析可得，整理得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 取都为时，所以. （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以. 【经典例题三 区间的定义、表示与运算】 【例3】（2024·北京西城·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集和交集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以或， 又集合，所以或. 故选：B 1．（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用集合的并集及区间的表示即可求得结果. 【详解】如图所示， 所以. 故选：. 2．（23-24高一上·上海·期末）已知条件：，条件：，命题A：若成立，则成立.若命题是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由充分条件的概念得且，再解不等式组即可得答案. 【详解】由题意可知：且， 所以且，解得， 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先有，得，结合包含关系列出方程组即可求解. （2）结合A是B的真子集列出不等式组即可求解. 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数m的取值范围是. （2）若AB，则（等号不同时取得），解得，即实数m的取值范围是. 【经典例题四 具体函数、抽象函数定义域】 【例4】（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】（1）根据根式以及0次方的性质即可由不等式求解， （2）根据根式的性质即可求解， （3）根据抽象函数的定义域性质即可求解. 【详解】（1）由得且，∴函数的定义域是． （2）由得，∴函数的定义域是． （3）∵的定义域是， ∴，∴，即的定义域是， ∴，∴， ∴函数的定义域是． 故答案为：；； 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 【经典例题五 复合函数的定义域】 【例5】（22-23高一上·湖南衡阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答. 【详解】函数的定义域为，则，因此在中，， 函数有意义，必有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 1．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论． 【详解】中，，则， 所以函数中，解得， 故选：A． 2．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解. 【详解】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 3．（19-20高一·全国·课后作业）求下列函数的定义域 （1）已知函数定义域是，求的定义域. （2）已知函数定义域是，求的定义域. （3）已知函数定义域是，求的定义域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由定义域，建立不等式，求解不等式可得的定义域. （2）由定义域，根据不等式的性质得，可求得的定义域. （3）由定义域，根据不等式的性质得，先求得的定义域，再建立不等式，求解不等式可得的定义域. 【详解】（1）因为定义域是，所以，解得，所以的定义域是. （2）因为函数定义域是，所以，所以，即，所以的定义域是. （3），故的定义域为， 所以令，解得， 故的定义域是. 【点睛】本题考查抽象函数的定义域的求法，求解时，注意分清两种基本类型的复合函数的定义域的求法，属于中档题. 【经典例题六 常见、复杂函数的值域】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 1．（20-21高二下·安徽六安·期末）已知函数，（），则它的值域为（    ） A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0） 【答案】D 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数 设，则，可得 故的值域为. 故选：D. 2．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可. 【详解】令，则原函数化为函数 函数图像如下：    由对勾函数性质得在上单调递增， 所以当时，函数取最小值 故答案为：2 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 【经典例题七 根据函数的值域求定义域】 【例7】（22-23高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 1．（19-20高一上·广东深圳·期中）已知函数，其值域是，则其定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为函数是一对一函数，所以根据值域解定义域，只需解不等式或. 【详解】因为函数是一对一函数，所以可以根据值域解定义域， 由 ，解得， ， ， 定义域是：. 故选D 【点睛】本题考查根据值域求定义域，意在考查函数性质和解不等式，属于基础题型. 2．（19-20高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数的值域是，那么函数的定义域是 . 【答案】. 【分析】由可解得结果. 【详解】，由得，即，解得，所以的定义域是. 故答案为：. 3．（20-21高一上·河北邯郸·阶段练习）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将x分别取0，1，2，3时，可得y值依次为，，1，3，即可得答案； （2）解不等式，即可得答案； 【详解】解：（1）当x分别取0，1，2，3时，y值依次为，，1，3， 的值域为1，． （2）， ， 即 即函数的定义域为． 【点睛】本题考查具体函数的定义域和值域求解，考查运算求解能力，属于基础题. 【经典例题八 已知函数类型求解析式】 【例8】（22-23高三·全国·对口高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 1．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解. 【详解】设， 则， 整理得， 所以，解， 所以，所以. 故选：A 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）设的表达式为，由已知可得，解之即可； （2）利用换元法可求解析式； （3）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵，∴． 整理得． 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得 ∴所求函数的表达式为． （2）令，则．∴， ∴所求函数的表达式为． （3）在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为． 【经典例题九 已知f（g（x））求解析式】 【例9】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 1．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意）都有，则（    ） A． B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】依题意采用换元法可令，解得，即函数解析式为，代入计算即可求得结果. 【详解】根据题意，令，则可得 即，又因为函数在定义域内单调，所以可得，解得； 所以，经检验满足题意； 因此. 故选：D 2．（22-23高二下·重庆江津·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】令代入，求出，即是 【详解】令则 所以， 故， 故答案为： 3．（23-24高一上·广东湛江·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数，且满足. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解 【详解】（1）令 ，则， 可得， 所以； （2）因为，可得， 即，消去可得； （3）设， 因为，即， 整理得， 所以，解得， 所以. 【经典例题十 函数的表示法】 【例10】（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ． 故选：A. 1．（21-22高一·全国·期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令班级人数的个位数字为，则（），结合题意讨论写出对应值，由取整函数的定义写出函数关系式. 【详解】设班级人数的个位数字为，令，（）， 当时，，当时，， 综上，函数关系式为. 故选：B. 2．（20-21高一上·北京·期中）对任意的，若函数的大致图象如图所示（两侧的射线均平行于x轴），则满足条件的a，b的值可以分别为 . 【答案】1，（答案不唯一） 【分析】将化为分段函数，逐段与图像对应，根据图像在各段上的变化规律，进而确定解析式的各项系数，进而即得. 【详解】当时，， 由题图可知； 当时， 由题图可知； 当时，， 由题图又可得出①②两式， 由①和③两式可得，此时②和④均成立. 故可取，（注：答案不唯一，满足且即可） 故答案为：1，（答案不唯一） 3．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）已知， (1)用分段函数表示的解析式，并作出其图象； (2)指出函数的定义域与值域； (3)解不等式. 【答案】(1)，作图见解析 (2)函数的定义域为，值域为 (3) 【分析】（1）将函数的解析式表示为分段函数的形式，然后作出函数的图象； （2）根据（1）中的图象可得出函数的定义域和值域； （3）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集. 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 所以，，作出函数的图象如下图所示： （2）解：由（1）中的图可知，函数的定义域为，值域为. （3）解：当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，. 综上所述，不等式的解集为. 【经典例题十一 分段函数】 【例11】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象为折线，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由待定系数法求出，的解析式，再代入求解即可. 【详解】因为在函数的图象上， 当时，设解析式为 ，即， 当时，设解析式为， ，即， ， 即. 故选：B. 1．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】 直接计算得到答案. 【详解】，则. 故选：B. 2．（2024高一·全国·竞赛）定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值是 . 【答案】 【分析】先依据题给条件求得当时的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】由函数满足，可得， 则. 当时，，， 又当时，， 则 当时，的最小值是. 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 【答案】(1)；； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）根据分段函数函数值的求法直接计算； （2）根据分段函数的定义可画出函数图象； （3）根据函数图象可得最值. 【详解】（1），； ，； ，； （2）此分段函数的图象如图所示． 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 图中实线组成的图形就是函数的图象； （3）由函数图象可知，当时，取最大值. 【经典例题十二 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例12】（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解. 【详解】因为， 令，则可化为， 当时，，即，解得（负值舍去），即， 当时，，即， 而，故上述不等式无解； 综上，， 若，则，解得（负值舍去）； 若，则，解得（舍去）； 综上：. 故选：A. 1．（22-23高一上·浙江温州·期中）设函数若，则a=（    ） A． B． C．0或 D．或 【答案】A 【分析】根据分段函数每段函数值的正负分析可得，，由，可得，解得或，再结合，代入解析式求解即可. 【详解】由题意当时，；当时，， 又，故，， 因此，即， 解得或， 又，故或，解得. 故选：A 2．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ，即，所以， 所以， 依题意， 而，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. 3．（23-24高一上·天津·期中）已知函数 (1)若，则求满足条件的x的值： (2)解关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过解方程求得正确答案. （2）通过解不等式求得正确答案. 【详解】（1）由得或， 解得. （2）由得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 【经典例题十三 根据分段函数的单调性求参数】 【例13】（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的单调性可得答案. 【详解】因为是R上的增函数， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，对，且都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：B 2．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分段函数是上的减函数，直接建立的不等关系，从而求出结果. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得， 故答案为：. 3．（20-21高一上·山西·期中）若函数f(x)，满足对于任意的，都有成立，g(x)=. （1）求b的取值范围； （2）当b=2时，写出f[g(x)]，g[f(x)]的表达式. 【答案】（1）；（2）；. 【解析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果； （2）先讨论的符号，再代入分段函数解析式中，即得的解析式；利用分段函数的解析式，直接代入的解析式，即得的解析式. 【详解】解：（1）因为任意的，都有成立，故设任意的时，有，即分段函数在R上单调递增， 故当时，单调递增，即，即； 当时，单调递增，即对称轴，即； 且在临界点处，左边取值不大于右边取值，即，即 . 综上，b的取值范围是； （2）当b=2时，，又， 故当时，即时，， 当时，即时，， 故； 当时，，则， 当时，，则， 故. 【点睛】关键点点睛： 本题解题关键在于：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点. 【经典例题十四 分段函数的值域或最值】 【例14】（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意求的解析式，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 作出的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 1．（22-23高一上·上海长宁·期末）对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为（    ） A．12 B．3 C．14 D．15 【答案】D 【分析】将表示为分段函数的形式，由此求得的元素，进而求得正确答案. 【详解】当，，； 当，，； 当，，； 当，，； 当时，，， 所以，所以中所有元素的和为. 故选：D 2．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知“取整数”函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.当时，函数的解析式为 ；定义：尾数函数，，那么，尾数函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据取整函数的定义可得. 【详解】由题意当时，， 当时，， 当时，， 故； 当为整数时，，此时， 当为非整数时，， 故的值域为 故答案为：； 3．（23-24高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求函数的值域. 【答案】(1)图象见解析； (2). 【分析】（1）借助一次函数、二次函数的图象，结合分段函数特征作出函数的图象. （2）利用一次函数、二次函数的性质求出函数的值域. 【详解】（1）依题意，当时，，则函数在上的图象是抛物线在的部分， 当时，，则函数在上的图象是直线在的部分， 当时，，则函数在上的图象是抛物线在的部分，如图， （2）当时，的取值集合为， 当时，的取值集合为， 当时，的取值集合为， 所以函数的值域为. 【经典例题十五 求分段函数值】 【例15】（2021高二·湖北·学业考试）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论． 【详解】解：， 当时，，所以或； 当时，，所以， 所以不等式的解集是，，， 故选：A． 1．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数成立等式，即可解出的值，再代入求解即可. 【详解】根据题意，若， ， 则必有，即， 则， 即，则， 解得：或（舍去）， ， 故选：B. 2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 98 97 【分析】根据分段函数的定义计算，注意自变量的范围即可． 【详解】由已知得：； 记，其中等号右端有个， 则 其中f右上角的数值代表的是f的个数， 注意从到这个过程中，的个数减少了2， 同样的推理可知： 故答案为：98，97 3．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)-2 (2). 【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，然后从内到外计算； （2）分，分别求解，注意检验. 【详解】（1），由于，故，解得 故， 所以. （2）当时，，解得，舍去； 当时，，解得或-1， 其中不符合题意，舍去； 综上所述，. 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 2．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，先分类讨论求得的值，再分类讨论求得的值，从而得解. 【详解】设，则， 当时，由，解得，当时，由，解得， 于是或， 当时，由或，解得或，因此； 当时，由或，解得或，因此， 所以实数a的值为或. 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象在x轴上方，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数的图象得出二次项系数的正负和根的判别式的符号，可得选项. 【详解】当时，成立， 当，解得．综上可得 故选：B 4．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 二、多选题 6．（2024高三·全国·专题练习）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别计算各选项函数的定义域与值域，再根据“交汇函数”的定义可判断各选项. 【详解】由“交汇函数”定义可知，“交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为， A选项：的定义域，值域， 则，A选项错误； B选项：的定义域，值域， 则，B选项正确； C选项：的定义域，值域， 则，C选项错误； D选项：的定义域，值域， 则，D选项正确； 故选：BD. 7．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于集合，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABC 【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】图①中能看到函数的值域不是集合B的子集，不符合函数定义： 图②和③中，从集合A到集合B存在一对多的对应关系，不符合函数的定义： 图④符合函数的定义. 故选：ABC 8．（22-23高一上·广东湛江·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 【答案】AC 【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案. 【详解】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数； C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数. 故选：AC 9．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【答案】AD 【分析】根据给定的年产量与时间的函数关系图，结合函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图， 可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确； 第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确. 故选：AD. 10．（21-22高一上·云南大理·期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义域不同判断A，根据对应法则不同判断B，根据定义域、对应法则相同判断CD. 【详解】与两个函数的定义域不一致， A中两个函数不表示同一个函数； 两个函数的对应关系不一致， B中两个函数不表示同一个函数； 与两个函数的定义域均为，对应关系也相同， C中两个函数表示同一个函数； D中的两个函数虽然自变量的选取字母不一致，但其对应关系和定义域是完全一样 的，两个函数表示的是同一个函数. 故选：CD. 11．（24-25高一上·上海·单元测试）已知则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 12．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】（1）根据根式以及0次方的性质即可由不等式求解， （2）根据根式的性质即可求解， （3）根据抽象函数的定义域性质即可求解. 【详解】（1）由得且，∴函数的定义域是． （2）由得，∴函数的定义域是． （3）∵的定义域是， ∴，∴，即的定义域是， ∴，∴， ∴函数的定义域是． 故答案为：；； 13．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分，和进行不等式求解. 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 14．（23-24高一上·广东广州·期中）已知，，则 ， ． 【答案】 1 【分析】一空把代入解析式即可求解；二空利用，再计算即可. 【详解】因为， 所以； 所以， 所以 ， 所以； 故答案为：1； 15．（23-24高一下·浙江·阶段练习）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由定义表示中的最小者，分类讨论解不等式即可. 【详解】令，解得或， 令，解得， 当或时，，由，可得：，所以； 当时，，由，可得：或，所以. 综上，由，可得． 故答案为： 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，． (1)将该函数写成分段函数的形式； (2)画出的大致图像并写出的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析，增区间为，减区间为． 【分析】（1）根据绝对值函数去掉绝对值符合即可得分段函数解析式； （2）根据一次函数的解析式画图即可. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 所以； （2）作出函数的图像如下图所示：    由图可知，函数的增区间为，减区间为． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由的定义域，要求的定义域，解不等式组即可； （2）由的定义域为，可得，则要求的定义域，解不等式组即可. 【详解】（1）∵的定义域为，∴要求的定义域， 即解不等式组，解得或， 故的定义域为． （2）∵的定义域为，∴， 则，即的定义域为， ∴要求的定义域，即解不等式组， 解得，故的定义域为． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 19．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定设上课开始分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与的函数关系为：． (1)上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)若一个数学难题，需要及以上的接受能力（即）以及分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？ 【答案】(1)开始10分钟接受能力最强，且能维持5分钟； (2)不能. 【分析】（1）分别求出各段的最大值即可得解； （2）分段求解不等式即可得解. 【详解】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为， 因为当时，， 当时，，当时，. 所以开讲后分钟接受能力最强，且能维持分钟. （2）当时，， 解得， 当时，，满足要求， 当时，， 解得， 故分钟分钟， 老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题． 20．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知定义在R上的函数，满足. (1)求的解析式； (2)若点在图像上自由运动，求的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）用替换已知中的，然后解方程； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，① 所以，② 由①②可解得：. （2）由题知：， ∴ （当且仅当，即时取“＝”）. ∴的最小值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $$