精品解析：广东省广州市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

广东省广州市2023-2024学年第一学期九年级数学期末模考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线沿着x轴向右平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，则得到的抛物线的解析式为（ ）． A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 4. 若函数y＝的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣3 B. m＜﹣3 C. m＞3 D. m＜3 5. 不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则n的值最可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝40°．将△ABC绕着点B逆时针方向旋转得△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝（　　） A. 90° B. 80° C. 75° D. 70° 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. k≥ B. k且k≠0 C. k<且k≠0 D. k 8. 如图，⊙O直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝1，与x轴负半轴的交点坐标是（x1，0），且－1＜x1＜0，它的部分图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③9a＋3b＋c＜0；④3a＋c＜0，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有______个． 12. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为 __． 13. 已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是______________________． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转度得到，若，则值为______． 15. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 16. 图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面______ 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为、、． （1）画出绕着点O顺时针旋转得到的； （2）写出点坐标． 19. 已知关于x的方程x2+ax+16=0， （1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值 （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根 20. 如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中，分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交AB于D，求的度数． 21. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 22. 如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E． （1）求证：是的平分线； （2）若，，求的长． 23. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，点坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出不等式的解集； （4）若为直角三角形，直接写出值． 25. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省广州市2023-2024学年第一学期九年级数学期末模考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转180度后与自身重合的图形． 2. 将抛物线沿着x轴向右平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，则得到的抛物线的解析式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出原抛物线的顶点坐标，再根据平移得出新抛物线的顶点坐标，根据坐标写出解析式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为（0，3），将抛物线沿着x轴向右平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，则得到的抛物线的顶点坐标为（2，6），则得到的抛物线的解析式为； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，解题关键是把二次函数平移问题转化为二次函数顶点平移，利用顶点坐标写出解析式． 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 4. 若函数y＝的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣3 B. m＜﹣3 C. m＞3 D. m＜3 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得m﹣3＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得m﹣3＞0， 解得m＞3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，当k＞0时，图像在第一、三象限内，根据这个性质即可解出答案. 5. 不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则n的值最可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得蓝球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在， ， 解得：， 即n的值最可能是6． 故选：C 【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题关键是熟练掌握概率公式． 6. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝40°．将△ABC绕着点B逆时针方向旋转得△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝（　　） A. 90° B. 80° C. 75° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据旋转的性质即可得． 【详解】解：， ， ， ， 由旋转可知，点绕点旋转后的对应点分别为点， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. k≥ B. k且k≠0 C. k<且k≠0 D. k 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：k≤且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及其根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 8. 如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD． 【详解】解：∵⊙O的直径垂直于弦， ∴ ∵，， ∴CE=1 ∴CD=2． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能求出CE=DE是解此题的关键． 9. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设点A的坐标为，．则． ∴点B的纵坐标为． ∴点B的横坐标为． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝1，与x轴的负半轴的交点坐标是（x1，0），且－1＜x1＜0，它的部分图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③9a＋3b＋c＜0；④3a＋c＜0，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的对称轴和与y轴的交点位置判断出①正确，根据函数图象与x轴有两个交点坐标判断出②正确，根据当时，函数值小于0，判断出③正确，由对称轴得，再根据当时，函数值小于0，判断出④正确． 【详解】解：∵函数图象对称轴在y轴右边， ∴， ∵函数图象与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵函数图象与x轴有两个交点坐标， ∴，故②正确； 根据二次函数图象的对称性，它与x轴的另一个交点坐标在2和3之间， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 当时，，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是能够通过函数图象判断出各项系数之间的关系． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有______个． 【答案】26 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为1-0.35，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋子中白球有x个，根据题意，得：＝1-0.35， 解得：x＝26， 即布袋中白球可能有26个， 故答案为：26． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为 __． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：把代入中得， 解得． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知的值是解题的关键． 13. 已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是______________________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别把点、、代入反比例函数求出，即可比较出大小． 【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特点，函数图象上点的坐标满足函数解析式，理解这一点是解题关键，此题也可以利用反比例函数的性质解题． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转度得到，若，则的值为______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质．先根据旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， ， ， ， ，即旋转角为， ， 故答案为：． 15. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键． 16. 图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握根据方程特征选择恰当的解法是解题的关键． （1）利用公式法求解可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得：， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 18. 如图，的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为、、． （1）画出绕着点O顺时针旋转得到的； （2）写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别确定A，B，C绕O点顺时针旋转后的，从而可得答案； （2）根据的位置可得其坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 由的位置可得坐标为：； 【点睛】本题考查的是坐标与图形，画旋转图形，掌握旋转的性质并进行画图是解本题的关键． 19. 已知关于x的方程x2+ax+16=0， （1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值 （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根 【答案】（1）a=8或﹣8；（2）a=﹣10，方程的另一个根为8． 【解析】 【分析】（1）由题意可得方程的判别式△=0，由此可得关于a的方程，解方程即得结果； （2）把x=2代入原方程即可求出a，然后再解方程即可求出方程的另一个根． 【详解】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根， ∴a2－4×1×16=0， 解得a=8或﹣8； （2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2， ∴22+2a+16=0，解得a=﹣10； 此时方程为x2﹣10x+16=0， 解得x1=2，x2=8； ∴a=﹣10，方程的另一个根为8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的解法以及根的判别式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键． 20. 如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中，分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交AB于D，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由内角和定理求出，由旋转的性质得到，，得到，再由三角形内角和定理求出，由三角形外角的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 21. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4） 【解析】 【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数； （2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题； （4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名； （2）喜爱“体育”的人数为（名， 补全图形如下： （3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名； （4）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E． （1）求证：是的平分线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，再由，得，由平行线的性质得，又因为等腰三角形得，等量代换即可得证； （2）在中，由勾股定理即可求半径． 【小问1详解】 证明：连接OD； ∵与BC相切于点D ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的平分线； 【小问2详解】 解：∵ ∴在中； ∵， ， 设圆的半径为r， ∴ 解得， ∴圆的半径为3 ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟悉角平分线的定义与性质是解决本题的关键． 23. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）在中，令，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式； （3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得． 【小问1详解】 解：在中，令得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 即w与x之间函数关系式为：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为， 即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 24. 已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，点坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出不等式的解集； （4）若为直角三角形，直接写出值． 【答案】（1）， （2） （3）不等式的解集为：或 （4）n值为：-6，6，， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，根据的坐标待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求得直线与轴交于点，根据求解即可 （3）由图象可得，直线在双曲线上方部分时，求得的取值范围； （4）分分别为直角三角形的斜边，三种情况讨论，根据勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 把代入，得， 所以反比例函数解析式为， 把代入，得， 解得， 把和代入，得， 解得， 所以一次函数的解析式为； 【小问2详解】 设直线与轴交于点， 中，令，则， 即直线与轴交于点， ∴； 【小问3详解】 由图象可得，不等式的解集为：或. 【小问4详解】 ，， ， ，， ①当是斜边时， 解得: 或. ①当是斜边时， 解得: ①当是斜边时， 解得: 的值为：-6，6，，. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数结合，勾股定理，解一元二次方程，第三问中注意分类分类是解题的关键． 25. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，； 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【小问1详解】 解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； 【小问3详解】 存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$