精品解析：广东省东莞市2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学模拟试题

2023—2024学年度第一学期第一次质量自查试卷九年级数学 （总分120分，120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 2. 一元二次方程2x2+x+1=0根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是( ) A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 4. 一元二次方程的根是（　　） A B. 5 C. 不能确定 D. 或5 5. 等腰△ABC的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程x2−10x+m=0的两个实数根,则m的值是( ) A. 24 B. 25 C. 26 D. 24或25 6. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线表达式是 A. B. C. D. 7. 用配方法将化成的形式为（ ）． A. B. C. D. 8. 在设计人体雕像时，使雕像上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比， 可以增加视觉美感．如果雕像高度为 2 m，设雕像下部高为 x m，则 x 满足（ ） A. x2=2(2-x) B. (2-x)2=2x C. x2=2(2+x) D. (2+x)2=2x 9. 已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 小明从二次函数的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确的信息是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 一元二次方程x2﹣x=0的根是_____． 12. 若是方程的一个根，则代数式的值是_______． 13. 已知点都在二次函数（k是常数）的图象上，则a与b的大小关系为a______b（填“＞”或“＜”） 14. 若抛物线y＝x2－2x－2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为____________． 15. 二次函数的对称轴是直线，则b的值是___________． 16. 白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场． 17. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x＝_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，共18分） 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知关于x的一元二次方程的一个根为． （1）求a的值及方程的另一个根； （2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长． 20. 已知 是二次函数，且函数图象有最高点． （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少． 四、解答题（二）（本大题共3小题，共27分） 21. 如图，已知点，点，抛物线(h，k均为常数)与线段AB交于C，D两点，且，求k的值． 22. 用长10米的铝合金条制成“目”字形的落地窗框如图所示，问宽（）为多长时，该窗户的透光面积为3平方米（铝合金条的宽度不计）． 23. 春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 24. 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件． （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？ 25. 如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第一学期第一次质量自查试卷九年级数学 （总分120分，120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值． 【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， ∴函数有最小值为6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值． 2. 一元二次方程2x2+x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式，即可判断该方程的根的情况. 【详解】由题意可知该一元二次方程的判别式为，，所以方程没有实数根，故选D. 【点睛】本题主要考查一元二次方程，根据判别式得出根的情况是解答本题的关键. 3. 已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是( ) A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】C 【解析】 【详解】∵x=1是方程x2+bx-2=0的一个根， ∴x1x2= =-2， ∴1×x2=-2， 则方程的另一个根是：-2， 故选：C． 4. 一元二次方程的根是（　　） A. B. 5 C. 不能确定 D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴或， ∴或， 故选：D． 5. 等腰△ABC的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程x2−10x+m=0的两个实数根,则m的值是( ) A. 24 B. 25 C. 26 D. 24或25 【答案】D 【解析】 【分析】结合根与系数的关系，分已知边长4是底边和腰两种情况讨论． 【详解】方程x2-10x+m=0的有两个实数根，则△=100-4m≥0，得m≤25， 当底边长为4时，另两边相等时，x1+x2=10，∴另两边的长都是为5，则m=x1x2=25； 当腰长为4时，另两边中至少有一个是4，则4一定是方程x2-10x+m=0的根，代入得：16-40+m=0 解得m=24． ∴m的值为24或25． 故选D． 【点睛】考查了：①一元二次方程的根的判别式，②方程的根与系数的关系，③分类讨论的思想． 6. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位， 抛物线的解析式为，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减． 7. 用配方法将化成的形式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过加上一次项系数一半的平方再减去一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，将一般式转化为顶点式即可． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数一般式到顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键． 8. 在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比， 可以增加视觉美感．如果雕像高度为 2 m，设雕像下部高为 x m，则 x 满足（ ） A. x2=2(2-x) B. (2-x)2=2x C. x2=2(2+x) D. (2+x)2=2x 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，雕像上部高为（2-x）m，根据雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，即可得出关于x的一元二次方程，即可得解． 【详解】解：设雕像下部高为xm，则雕像上部高为（2-x）m， 根据题意得：，即x2=2（2-x）． 故选A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，进而得出一元二次方程． 9. 已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根的判别式，可得出，选项A不符合题意；将代入一元二次方程中可得出，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意． 【详解】解：根据题意得∶， ∴，选项A不符合题意； ∵是一元二次方程的实数根， ∴，选项B不符合题意； ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式一，根与系数的关系是解题的关键． 10. 小明从二次函数的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确的信息是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①因为函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，c＜0，故此选项正确； ②由函数图象开口向上可知，a＞0，由①知，c＜0， 由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=-＞0，故b＜0，故abc＞0；故此选项正确； ③把x=-1代入函数解析式，由函数的图象可知，x=-1时，y＞0即a-b+c＞0；故此选项正确； ④因为函数的对称轴为x=-=，故2a=-3b，即2a+3b=0；故此选项错误； ⑤当x=2时，y=4a+2b+c=2×（-3b）+2b+c=c-4b， 而点（2，c-4b）在第一象限， ∴⑤c-4b＞0，故此选项正确． 其中正确信息的有①②③⑤． 故选A． 【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 一元二次方程x2﹣x=0的根是_____． 【答案】x1=0，x2=1 【解析】 【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为x1=0，x2=1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 12. 若是方程的一个根，则代数式的值是_______． 【答案】﹣12 【解析】 【分析】把x＝m代入方程得出2m2＝m﹣6，移项可得2m2﹣m＝﹣6，把4m2﹣2m化成2（2m2﹣m），将2m2﹣m＝﹣6代入计算即可． 【详解】解：∵x＝m是方程2x2＝x﹣6的一个根， ∴2m2＝m﹣6， ∴2m2﹣m＝﹣6， ∴4m2﹣2m ＝2（2m2﹣m） ＝2×（﹣6） ＝﹣12． 故答案为：﹣12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把2m2﹣m当作一个整体来代入． 13. 已知点都在二次函数（k是常数）的图象上，则a与b的大小关系为a______b（填“＞”或“＜”） 【答案】＞． 【解析】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较两个点离直线x=2的远近得到a、b的大小关系． 【详解】解：∵y=2（x-2）2+k（k是常数）， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=2， ∴点A离直线x=2远，点B离直线x=2较近， ∴a＞b， 故答案：＞． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14. 若抛物线y＝x2－2x－2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为____________． 【答案】y＝－x－2 【解析】 【分析】将抛物线一般式写为顶点式确定A的坐标，再令x=0确定B的坐标，设直线的一般式代入A、B两点即可求解. 【详解】解：y＝x2－2x－2= (x-1)2－3，则A（1，-3）；令x=0，则y=-2，即B（0，-2）， 设直线解析式为y=kx+b，代入AB两点可得： ，解得，k=-1，b=-2， 则直线的解析式为：y＝－x－2. 故答案为y＝－x－2. 【点睛】本题结合一次函数解析式的求解考查了二次函数的顶点式相关概念. 15. 二次函数的对称轴是直线，则b的值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由，可得对称轴是直线，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴．解题的关键在于熟练掌握：二次函数的对称轴为直线． 16. 白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场． 【答案】5 【解析】 【分析】设共有x个飞机场，每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：，把相关数值代入求正数解即可． 【详解】设共有x个飞机场． ， 解得 ， （不合题意，舍去）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可知：＝（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝（x+1）2+（x﹣1）2＝2x2+2＝6， 即x2＝2，解得：x＝或x＝﹣． 故答案为±． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用以及解一元二次方程，理解并运用新定义是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，共18分） 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）直接开平方即可求解； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 19. 已知关于x的一元二次方程的一个根为． （1）求a的值及方程的另一个根； （2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长． 【答案】（1）a的值为2，方程的另一个根为； （2）三角形周长为8或7． 【解析】 【分析】（1）将代入原方程可得出关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再将a的值代入原方程解一元二次方程即可得出结论； （2）结合（1）以及等腰三角形的性质和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论． 小问1详解】 解：将代入方程中，得：， 解得：， ∴原方程， 解得：． ∴a的值为2，方程的另一个根为； 小问2详解】 解：结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3， ∴或． ∴三角形的周长为8或7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及三角形三边关系，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键． 20. 已知 是二次函数，且函数图象有最高点． （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少． 【答案】（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值； （2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案． 试题解析：解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3； （2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少． 四、解答题（二）（本大题共3小题，共27分） 21. 如图，已知点，点，抛物线(h，k均为常数)与线段AB交于C，D两点，且，求k的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】 解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）， ∴AB=4， ∵抛物线y=-（x-h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=AB=2， ∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h==c+1， ∴2=-[c-（c+1）]2+k， 解得，k=． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 22. 用长10米的铝合金条制成“目”字形的落地窗框如图所示，问宽（）为多长时，该窗户的透光面积为3平方米（铝合金条的宽度不计）． 【答案】宽（）为米或1米时，该窗户的透光面积为3平方米 【解析】 【分析】设宽（）为x米，则长为米，根据长方形的面积公式列出关于x的一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：设宽（）为x米，则长为米， 根据题意，得， 即， 解得，， 则长为2或3满足题意， 答：宽（）为米或1米时，该窗户的透光面积为3平方米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程并会求解是解答的关键． 23. 春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了个人 （2）经过三轮传染后共有人会患流感 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； 【小问2详解】 解：（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 五、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 24. 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件． （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？ 【答案】（1）每件童装应降价20元，（2）当x=15时，函数有最大值，即童装一天的销售利润最多为1250元． 【解析】 【分析】（1）表示出销售数量，找到等量关系即可解题，（2）求出二次函数的表达式，化成顶点式即可解题． 【详解】解：（1）设降了x元，则日销售量增加2x件，依题意得： （40-x）（20+2x）=1200， 化简整理得：（x-10）(x-20)=0， 解得：x=10或x=20， ∵让顾客得到更多的实惠， ∴每件童装应降价20元， （2）设销售利润为y， y=（40-x）（20+2x）， y=-2（x-15）2+1250， ∴当x=15时，函数有最大值，即童装一天的销售利润最多为1250元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，中等难度，建立等量关系是解题关键． 25. 如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4） 【解析】 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式． （2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值． （3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标． 【详解】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点， ∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）． 将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2； 将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=． ∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2． （2）如图1， 设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t． ∵， ∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t． 又∵N点在抛物线上，且xN=t， ∴yN=﹣t2+t+2． ∴． ∴当t=2时，MN有最大值4． （3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）． 如图2， 以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形． （i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）， 由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2， 从而D为（0，6）或D（0，﹣2）． （ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点， 由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6； 由D2（0，﹣2），M（2，1）易得D2M的方程为y=x﹣2． 由两方程联立解得D为（4，4）． 综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）． 【点睛】本题考查了二次函数、锐角三角函数、平行四边形，解题的关键是求出函数的解析式，利用数形结合的思想求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$