7.4.2 二项式定理的应用 课件-2025届高三数学一轮复习

第2课时　二项式定理的应用 第7章　 7.4　二项式定理 一、两个多项式乘积的特定项 例1　(1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为 A.10 B.－10 C.2 D.－2 √ (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于 A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 √ 跟踪训练1　(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为 A.12 B.16 C.20 D.24 √ (2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______.(用数字作答) －20 二、系数的最值问题 即n2＋n－156＝0. 解得n＝－13(舍去)或n＝12. 设Tr＋1项的系数最大， 又∵0≤r≤n，r∈N，∴r＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 解　设第Tr＋1项的系数最大， ∵0≤r≤10，r∈N，∴r＝7， ∴展开式中系数最大的项为T8＝ 三、二项式定理的应用 角度1　求余数和整除的问题 例3　(1)试求2 01910除以8的余数； 解　2 01910＝(8×252＋3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1. (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除. 证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9 ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. 跟踪训练3　已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除. 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除. 角度2　证明不等式或求近似值 例4　(1)求1.9975精确到0.001的近似值. 延伸探究　求0.9986的近似值，使误差小于0.001. ＝0.000 06<0.001， 且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001， 故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988. 随堂练习 1.在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是 A.－297 B.－252 C.297 D.207 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.(1－2x)5的展开式中系数最大的项是 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 √ 即r＝0,2,4，对应的系数分别为1,40,80， 故r＝4时， 即第5项是展开式中的系数最大的项. 1 2 3 4 2 3.(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是______. 解析　(x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到： ②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1， 所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2. 25 1 2 3 4 4.230－3除以7的余数为___. 5 解析　230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 又∵余数不能为负数(需转化为正数)， ∴230－3除以7的余数为5. 对点练习 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.－84 B.84 C.－280 D.280 16 √ A.－3 B.－2 C.2 D.3 √ 令10－2r＝2或10－2r＝0，解得r＝4或r＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.1.026的近似值(精确到0.01)为 A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是 A.56 B.84 C.112 D.168 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.0 B.8 C.7 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 √ √ 展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －3 所以40a＋80＝－40，解得a＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.用二项式定理证明1110－1能被100整除. 证明　1110－1＝(10＋1)10－1 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110－1能被100整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　设展开式中第r＋1项的系数最大， 又因为0≤r≤5，r∈N，所以r＝4， 所以展开式中第5项系数最大. 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.0 B.2 C.7 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(1＋x)3(1－x＋x2)2展开式中x3项的系数为 A.1 B.2 C.－1 D.－2 √ 解析　∵(1＋x)3(1－x＋x2)2＝(1＋x)(1＋x3)2＝(1＋x)(1＋2x3＋x6)， ∴展开式中含x3项为2x3，故x3项的系数为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由二项式定理可得 即a除以10的余数为1， 因为a≡b(mod 10)， 所以b的值除以10的余数也为1， 观察选项，只有2 021除以10的余数为1， 则b的值可以是2 021. 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为 A.7 B.8 C.9 D.10 √ 解析　由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a能被11整除，可知a＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　方法一　由二项式定理得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三　由二项式定理的原理可知，展开式的常数项为 谢谢观看 解析　(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x)0·C·(－x)1＋C·(2x)1·C·14·(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2. 解析　由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·xr，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为C＋C·a＝5，所以a＝－1，故选D. 解析　(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中含x3的系数为1×C＋2C＝12. 解析　由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20. 例2　已知n的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项. 解　由已知得C＋C＋C＝79， ∵12＝12(1＋4x)12， 由解得9.4≤r≤10.4. 即T11＝12·C·410·x10＝16 896x10. 跟踪训练2　已知10的展开式中，求该展开式中系数最大的项. 则即 解得≤r≤. ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82. ① 证明　1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1 ＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)， 解　1.9975＝(2－0.003)5≈25－C×0.003×24＋C×0.0032×23＝32－0.24＋0.000 72≈31.761. (2)求证：2≤n<3(n∈N*). 所以n＝1＋C·＋C·＋…＋C· 证明　因为当n＝1时，1＝2； 当n>1时，n＝1＋C·＋C·＋C·＋…＋C·＝1＋1＋C·＋…＋C·>2， 所以n≥2成立. 因为C·＝≤， ≤1＋1＋＋＋…＋<2＋＋＋…＋ ＝2＋＝2＋1－n－1 ＝3－n－1<3. 所以2≤n＜3成立. 解　0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C·(－0.002)＋C·(－0.002)2＋…＋C· (－0.002)6. 由题意知T3＝C(－0.002)2＝15×0.0022 跟踪训练4　利用二项式定理证明：n－1<(n∈N*，且n≥3). 证明　因为n－1＝n－1＝C＋C·＋C·2＋…＋C·n－1＝1＋＋C·2＋…＋n－1>>0， 所以n－1<，即原不等式成立. 解析　(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(1＋x)10，x5的系数为C－C＝207. 解析　∵Tr＋1＝C(－2)rxr为使系数最大，r必须取偶数， ①(x＋1)4中的二次项乘以(x－1)中的一次项x，即Cx2·x＝6x3； 即Cx3×(－1)＝－4x3. ＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2. ＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3 1.的展开式中x2的系数为 解析　根据二项式定理得(1－2x)7展开式的通项为Tr＋1＝(－2)rCxr，则展开式的通项为(－2)rCxr－1.由r－1＝2，得r＝3，所以所求x2的系数为(－2)3C＝－280. (－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3. 2.(x2＋2)5的展开式中的常数项是 解析　5展开式的通项为 Tr＋1＝C·5－r·(－1)r＝(－1)rC. 故(x2＋2)5的展开式中的常数项是 解析　1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13. 解析　在(1＋x)8展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168. 5.设n∈N*，则C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n除以9的余数为 解析　因为C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0. 6.(多选)4的展开式中 解析　(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3的系数C·2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数C·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确； 7.若5展开式中的常数项为－40，则a＝______. Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝C25－rx5－2r. 解析　5展开式的第r＋1项为 因为5的展开式中的常数项为－40， 所以axC22x－1＋C23x＝－40， 8.(1＋x)4的展开式中含x的项为________. 解析　(1＋x)4的展开式通项为Tr＋1＝Cxr， ∴(1＋x)4的展开式中含x的项为1·Cx1＋·Cx2＝4x＋6x＝10x. ＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋102 ＝100(108＋C107＋C106＋…＋1) 10.求(＋3x2)5的展开式中系数最大的项. 由Tr＋1＝C()5－r·(3x2)r＝C3r ，得 ⇒⇒≤r≤. 11.当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是 解析　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数.因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 12.(3x－2)5的展开式中x2的系数为 A.296 B.－296 C.－1 864 D.－1 376 解析　依题意，所求x2的系数为C×32×(－2)3＋2×(－2)5－1×C×33×(－2)2＝－720－64－1 080＝－1 864. 14.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是 A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 解析　由题意可得a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10， a＝C×1010－C×109＋…－C×101＋1， 16.求5的展开式的常数项. 5＝5 其中为常数项的有C4·中的第3项： ＝C·5＋C·4·＋C·3·()2＋C·2·()3＋C··()4＋C·()5. CC·2·； C·2·()3中的第2项： 展开式的最后一项：C·()5. CC··()3； 综上可知，常数项为CC·2·＋CC·()3＋C·()5＝. 方法二　原式＝5 ＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10. 求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝. ()5＋CC()3＋C2·C2·＝24＋＝. $$