第四单元 比 （教学设计）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第四单元　比 教学设计 第1课时　比 的 意 义 教学内容 　　人教版六年级上册教材第48～49页内容及相关练习。 内容简析 　　教材教学比的意义,安排三个层次的教学:首先通过两面旗的尺寸比较引出可以用比来表示它们之间的关系,引导学生初步认识:比是除法关系的另一种表示方式。接着,教材借助飞船的运行路程与时间,用比来表示路程和时间的关系,进一步认识比的意义。最后,通过上述两个实例的引导,抽象出比的意义:两个数的比表示两个数相除。同时,教学比的写法、各部分名称以及比值的概念,并根据分数和除法的关系,给出比的分数形式的写法,沟通比和除法、分数的联系。 教学目标 1. 在具体的情景中理解比的意义,学会比的读法、写法,掌握比的各部分名称及求比值 的方法。 2. 经历探索比与分数、除法之间关系的过程,体会数学知识之间的内在联系,把握比的 意义的本质。 3. 在自主学习中,积累数学活动经验,培养学生分析、概括的能力,感受数学学习的乐趣。 教学重点 　　理解比的意义以及比与分数、除法之间的关系。 教学难点 　　理解比与分数、除法之间的关系,明确比与比值的区别。 教法与学法 1. 本课时属于概念教学,要让学生真正理解比的意义,具有一定的难度。教学时通过具 体情景引发学生的思考和讨论,给予学生现实的背景基础,从而抽象出比的意义,然后通过与除法、分数的对比,加深对概念的理解。 2. 本课时学生的学习主要是从已有的认识出发,通过对生活中例子的观察、讨论、交流、 对比等数学活动,加强对比的意义的理解,从而归纳、抽象、概括出比的意义,沟通知 识间的联系,感受数学学习的乐趣,促进原有知识的重建。 承前启后链 ( 学习 : 比的意义和求比值的方法。 ) ( 延学 : 比的基本性质。 ) ( 复习 : 除法的意义。 ) 教学过程 一、情景创设,导入课题 课件展示法:播放课件,呈现为“神舟”五号飞天的壮景(2003年10月15日,我国第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空。执行此次任务的航天员是杨利伟),然后出现杨利伟向人们展示联合国旗和中华人民共和国国旗。小精灵画外音:杨利伟展示的两面旗都是长15 cm,宽10 cm,怎样表示它们长和宽的倍数关系?你能提出怎样的数学问题?课件播放暂停,由小精灵的问题导入本课课题,鼓励学生由此展开讨论。 预设情况:(1)长比宽多多少厘米?15-10; (2)宽比长少多少厘米?15-10; (3)长是宽的多少倍?15÷10; (4)宽是长的几分之几?10÷15。 教师根据学生的回答揭示课题:今天我们将进一步研究这种倍数关系,它除了用除法表示外,还可以用一种新的数学方法——“比”来表示。(详见配套课件部分) 【品析:用问题引入提高学生学习的兴趣,引发学生的思考,让学生在问题解答过程中,凸显两种数量倍数关系的另一种表示方法。】 游戏激趣法:课前准备一个正方形封闭纸箱,上面留一个椭圆形洞,大小和成人手掌差不多。另外准备红色小球和黄色小球若干。教师把球和空纸箱呈现在学生面前,然后故作为难的样子,说:“老师想做一个摸小球的游戏道具,计划箱子中放入的红球个数是黄球的4倍。现在这里有一堆红球和黄球,怎么放才能符合要求呢?谁能帮我想一下?”学生们会积极地献计献策,通常会出现两种答案:一种是先放红球,然后用除法求出黄球的数量;另外一种是先放黄球,然后用乘法求出红球的数量。教师根据学生的讨论情况,及时引导:“大家想一想,除了这两种方法之外,还有没有其他方法呢?”在启发思考之后,教师适时引入课题——比的意义。 【品析:游戏可以激发学生学习的兴趣,活跃课堂氛围,实际问题的解决把旧知识与新知识衔接起来,令学生轻松愉快地走入新课的学习中。】 二、师生合作,探究新知 ◎引领学生观察教材第48页中的主题图片,提取已知信息。 1. 提取信息:从主题图上,你能获得哪些信息?怎样表示两个数量之间的关系? 2. 教师根据学生回答,课件呈现: ( 相差关系 ) ( 长比宽多 多少厘米？ 15-10 宽比长 少多少厘米？ 15-10 ) ( 长是宽的多少 倍 ？ 15 ÷ 10 宽是长的几分之几？ 15 ÷ 10 ) ( 倍数关系 ) 3. 谈话引导。 ( 两个数量之间的关系，既可以用减法表示它们之间的相差关系，也可以用除法表示它们之间的倍数关系。 ) ( 两个数量之间的倍数关系，还可以用比表示。 ) 4. 用比表示两个同类量的相除关系。 (1)“长是宽的多少倍,宽是长的几分之几”还可以怎样表示? ( 长和宽的比是 15 比 10 ，记作 15 : 10 ，宽和长的比是 10 比 15 ，记作 10 : 15. ) (2)追问:15比10和10比15一样吗?它们有什么不同?(引导学生理解比的前项、后项所表示的意义不同) 5. 用比表示两个不同类量的相除关系。 课件出示:“神舟”五号进入运行轨道后,在距地350 km的高空做圆周运动,平均90分钟绕地球一周,大约运行42252 km。那么飞船进入轨道后平均每分钟飞行多少千米? (1)读题,理解题意,说说知道了哪些信息。 (2)独立解答,说清解题思路。(速度可以用“路程÷时间”表示) (3)尝试用比表示路程和时间的关系。 ( 路程和时间的比是 42252 比 90 ，记作 42252 : 90 ) ◎比较分析,抽象出比的意义。 1.观察比较。 引导学生观察这三个比,说说它们有什么联系与区别。 (引导学生发现这三个比都表示相除的关系,但前两个比中的两个量都表示长度,相比的两个量是同类量;第三个比中的两个量,一个表示路程,一个表示时间,相比的两个量是不同类量,不同类量的比可以表示一个新的量) 想一想,路程与时间的比可以表示哪个量?(速度) 2.引导学生归纳出比的概念。 师: 什么叫比?(板书:两个数的比表示两个数相除) 【品析:指导学生从现实情景中引出两个数量之间的倍数关系,然后用比的形式表示。在比较分析中让学生进一步感受比和除法的联系,加深对同类量比与不同类量比的意义的理解,最后抽象出比的意义,对比的概念形成较为清晰的认识。】 ◎深化理解“比”。 1.自学比的相关知识。 学生自学教材第49页“做一做”之前的内容,思考以下问题:比各部分的名称是什么?怎样求一个比的比值? 2.汇报交流。 (1)比各部分的名称。 课件出示:15∶10=15÷10=,让学生说出比的各部分名称。(板书:前项、比号、后项、比值) (2)比值的意义。 师: 怎样求一个比的比值呢?(比的前项除以比的后项所得的商就是比值) (3)练习:求出下列各比的比值。 3∶5　　　　0.4∶0.16　　　　∶8 【参考答案】　　　 师: 比和比值有什么区别?(引导学生小结:比表示一种关系,而比值是一个数,通常用分数表示,也可以用小数或整数表示) 【品析:自主学习也是学生探索问题、解决问题的重要途径。教师把学习的主动权交给学生,引导学生在抽象概括出比的意义的基础上自主学习比的相关知识,促进学生自主探究能力的发展。】 ◎沟通联系比、分数、除法。 1.师: 同桌讨论一下,比与除法、分数之间有什么联系?比的前项、后项和比值分别相当于分数和除法算式中的什么?比的后项可以是0吗? 讨论后根据学生交流反馈填写下表: 联系 区别 比 前　项 ∶(比号) 后项 比值 一种关系 除法 被除数 ÷(除号) 除数 商 一种运算 分数 分　子 —(分数线) 分母 分数值 一个数 比的后项不可以是0。 2.请尝试用字母表示比和除法、分数之间的内在联系。 板书:a∶b=a÷b=(b≠0) 师: 根据分数与除法的关系,两个数的比还可以写成分数形式。如15∶10可以写成,仍读作“15比10”。 3.理解比赛中的“比”。 师: 足球比赛中的比分3∶0与我们今天学习的比一样吗?(引导学生理解:各类比赛中的比不是我们这节课学习的比,它只是一种计分形式,是比较大小的,是相差关系,不是相除关系) 【品析:在讨论交流中,教师引导学生进一步认识比和除法、分数之间的联系与区别,体会数学知识间的内在联系。】 三、反馈质疑,学有所得 　　在学习例题的基础上,引导学生对知识点及时消化吸收,掌握路程问题的解题思路,教师提出质疑问题,学生在解决问题的过程中,对知识点进行系统整理。 　　质疑一:什么是比?比与除法、分数有什么联系和区别? 学生在讨论后明确:两个数的比表示两个数相除。比与除法、分数是有一定联系的,比的前项相当于除法中的被除数,比的后项相当于除法中的除数,比值相当于除法中的商;比的前项相当于分数的分子,比的后项相当于分数的分母,比值相当于分数值。比与除法、分数是有区别的,比表示两个数的关系,除法是一种运算,分数是一个数。 质疑二:体育比赛中的比是我们今天所学的比吗? 引导学生讨论后明确:体育比赛中的比,并不是表示相除的关系。 【品析:通过反馈质疑,帮助学生理解掌握概念,使学生对比的认识更加完整,知识结构得到进一步完善。】 四、课末小结,融会贯通 1.师: 说说这节课我们学习了什么,你有什么收获或问题。 【品析:通过回顾,理顺各个知识点,让学生明确学习了什么内容,反思自己的知识掌握情况。】 2.趣味阅读。 (1)介绍“黄金比“的知识。(课件出示) 学生阅读教材第51页“你知道吗?” (2)人体中有趣的比。 一个人两臂展开的长度与自己身高的比大约是1∶1; 脚的长度与自己身高的比大约是1∶7; 绕拳头一周的长度与自己的脚的长度的比大约是1∶1,脖子周长与腰围的比大约是1∶2。 【品析:介绍“黄金比”知识,让学生对所学的知识在生活中的应用有更深的体会,并通过介绍“黄金比”的妙处,拓展学生的知识面,让学生产生更强烈的学习欲望。】 五、教海拾遗,反思提升 本节课教学通过现实生活情景的引入,引导学生抽象出“比”的概念,在比较两个数量的关系时,紧扣“比”的意义和实质进行教学,找准学生学习的起点,把握知识的连接点和生长点。同时,让学生结合生活情景,理解和认识“比”,不仅使学生对“比”的意义进一步理解,还帮助学生将“比”融入自己的生活经验中,增进学生对“比”的理解。 我的反思: 板书设计 比 的 意 义 两个数的比表示两个数相除。 15比10记作15∶10 10比15记作10∶15 42252比90记作42252∶90 第2课时　比的基本性质 教学内容 　　人教版六年级上册教材第50～51页内容及相关练习。 内容简析 　　教材在第49页“做一做”第3题对商不变的规律和分数的基本性质进行了回顾,在此基础上,启发学生根据比和除法、分数的关系思考:在比中有什么样的规律?首先通过比较比值,直接看出6∶8和12∶16这两个比的比值相等,同时也能看出这两个比的比值和3∶4的比值也是相等的。接下来,让学生探究两个比的比值相等的内在原因。教材给出了根据比和除法的关系类推的过程,再让学生根据比和分数的关系自主探究。在此基础上,概括出比的基本性质。 教学目标 1. 理解和掌握比的基本性质,并能应用比的基本性质化简比,初步掌握化简比的方法。 2. 在自主探索的过程中,沟通比和除法、分数之间的联系,培养观察、比较、推理、概 括、合作、交流等数学能力。 3. 初步渗透转化的数学思想,并使学生认识到知识之间都是存在内在联系的。 教学重点 　　理解比的基本性质。 教学难点 　　正确应用比的基本性质化简比。 教法与学法 1. 本课时引导学生利用已有知识进行比的基本性质的推导。教学时激发学生对已有知 识的回忆,唤起对先前知识学习的经验与方法,引导学生自主探索,并逐步抽象概括出比的基本性质,建立起新的知识结构。 2. 本课时学生的学习主要以学生为主,尊重学生的主体地位,引导学生通过类比、推理、 猜想验证掌握比的基本性质,在总结、巩固中应用比的基本性质。 承前启后链 ( 学习 : 比的基本性质和化简比的知识。 ) ( 延学 : 应用比的知识解决实际问题。 ) ( 复习 : 比的意义及怎样求比值的知识。 ) 教学过程 一、情景创设,导入课题 实物展示法:教师预先准备几面尺寸不同的国旗,然后依次为学生展示:教师展示第一面国旗,指出:这面国旗和杨利伟叔叔在“神舟”五号中向人们展示的国旗一模一样,长也是15 cm,宽同样是10 cm,展示完成,请一位同学上前面来擎着;然后展示第二面国旗,这面国旗的长是60 cm,宽是40 cm,展示完成,再请一位同学上前擎着;最后展示第三面国旗,同时讲解:这是我们升旗所用的国旗,长是180 cm,宽是120 cm,同样,请一位同学上前擎着。由三位学生并排站立双手擎着,面向全体学生,大家就可以很直观地看清楚这三面国旗的外形大小差异了。有了直观比较,然后教师追问:它们都一样吗?能根据它们的长和宽分别列出三个比吗?同学们请仔细观察这三个比的前项和后项,是怎么变化的?它们之间有什么规律?然后揭示课题。 【品析:教师从三面不同大小的国旗入手,引导学生分别列出长和宽的比,在观察比较的基础上发现新问题,引发学生的猜想,激发学生的问题解决意识。】 故事导入法:教师可以用手机播放一段警车启动的声音,然后神情严肃地询问:这是什么声音?相信大部分学生能辨别出来。然后教师继续说:警车响起,是因为有案件发生了,听说在很远的一个偏僻山区刚刚发生一起入室盗窃案。警察通过现场勘察,发现了一个可疑脚印,测量出脚印的长度为25 cm。同学们,你们想不想做一回小小侦探,来找出犯罪嫌疑人呢?学生情绪高涨后,教师介绍有关比的知识:人的身高和脚长的比大约为7∶1,现在罪犯脚印的长度为25 cm,你能推测出罪犯的高度吗?(板书7∶1=(　　)∶25)请你说说你是怎样推测的,从而揭示课题。 【品析:悬疑通常能够激发人们求知探索的欲望,课堂上小侦探的话题很能激发学生探索的兴趣,这样导入课题,不仅能给人留下深刻印象,同时也会收到较好的学习效果。另外,本文通过生活故事引入,激发学生的学习兴趣,在猜想中凸显学生的积极思维,为教学比的基本性质奠定情感基础。】 二、师生合作,探究新知 ◎猜想比的基本性质。 1.师: 我们知道,比与除法、分数之间存在着极其密切的联系,而除法具有商不变的规律分数有分数的基本性质,联系这两个性质想一想,在比中又会有怎样的规律或性质? 预设:比的基本性质。 3. 学生纷纷猜想比的基本性质。 预设:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。 4. 根据学生的猜想,教师板书:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不 变。 【品析:比的基本性质这一内容的学习非常适合培养学生的类比推理能力,学生在掌握商不变的规律和分数的基本性质的基础上,很自然地就能联想到比的基本性质,这不仅激发了学生的学习兴趣,同时也很好地培养了学生的语言表达能力。】 ◎验证比的基本性质。 师: 正如大家猜想的,比和除法、分数一样,也具有属于它自己的性质,那么是否和大家猜想的“比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变”一样呢?这需要我们通过研究来证明。接下来,请大家分成四人小组合作学习,共同研究并验证之前的猜想是否正确。 1. 教师说明合作要求。 (1)独立完成:写出一个比,并用自己喜欢的方法进行验证。 (2)小组讨论学习。 ①每个同学分别向组内同学展示自己的研究成果,并依次交流。 ②如果有不同的观点,则举例说明,然后由组内同学再次进行讨论研究。 ③选派一个同学代表小组进行发言。 2. 集体交流。(要求小组代表结合具体的例子在讲台上进行讲解) 预设:根据比与除法、分数的关系进行验证;根据比值验证。 3. 全班验证。 10∶15=10÷15=　　15∶9=15÷9=　　16∶20=(16 )∶(20 ) 4. 完善归纳,概括出比的基本性质。 上题中内可以怎样填?内可以填任意数吗?为什么? (1)学生发表自己的见解并说明理由,教师完善板书。 (2)学生打开书本读一读比的基本性质,教师板书课题。(比的基本性质) 5. 质疑辨析,深化认识。 利用比的基本性质做出准确判断。(对的画“√”,错的画“×”) (1)8∶10=(8+10)∶(10+10)=18∶20。 (　　) (2)12∶16=(12÷6)∶(16÷4)=2∶4。 (　　) (3)0.8∶1=(0.8×10)∶(1×10)=8∶10。 (　　) (4)比的前项乘3,要使比值不变,比的后项应除以3。 (　　) 【参考答案】 (1)×　(2)×　(3)√　(4)× 【品析:学生在猜想的基础上进行小组合作探究,促进学生对知识的理解,培养学生的推理概括能力,同时也真正内化了来自猜想的“比的基本性质”,从而大大提高了合作学习的实效性。】 ◎比的基本性质的应用。 师: 同学们,你们还记得我们学习分数的基本性质的用途吗?什么是最简分数? 今天我们发现的比的基本性质也有一个非常重要的用途——可以化简比,进而得到一个最简单的整数比。 (一)理解最简单的整数比的含义 1.引导学生自学最简单的整数比的相关知识。 预设:前项、后项互为质数的整数比称为最简单的整数比。 2.从下列各比中找出最简单的整数比,并简述理由。 3∶4　18∶12　19∶10　∶　0.75∶2 【参考答案】 3∶4　19∶10　理由略 (二)初步应用 1.化简前项、后项都是整数的比。(课件出示教材第50页例1(1)小题) 学生独立尝试,化简后交流。 (1)15∶10=(15÷5)∶(10÷5)=3∶2。 (2)180∶120=(180÷)∶(120÷)=(　　)∶(　　)。 预设:有除以最大公因数和逐步除以公因数两种方法,但重点强调除以最大公因数的方法。 【参考答案】 60　60　3　2 2.化简前项或后项是分数、小数的比。(课件出示教材第51页例1(2)小题) 师: 对于前项、后项是整数的比,我们只要除以它们的最大公因数就可以了,但是像∶和0.75∶2,这两个比不是整数比,你们能找到化简的方法吗?四人小组讨论研究,找到化简的方法。 学生研究写出具体过程,总结方法,并选代表展示汇报。教师对不同的方法进行比较,引导学生掌握一般方法。 ( 含有分数和小数的比都要先化成整数比，在进行化简。有分数的先乘分母的最小公倍数；有小数的先把小数化成整数，在进行化简。 ) 3.归纳小结:同学们通过自己的努力探索,总结出了将各类比化为最简单的整数比的方法。 ( 化简时，如果比的前项和后项都是整数，可以同时除以它们的最大公因数；遇到分数时，可以同时乘分母的最小公倍数；遇到小数时先转化成分数，在进行化简。 ) 4.方法补充,区分化简比和求比值。 还可以用什么方法化简比?(求比值) 化简比和求比值有什么不同? ( 化简比的最后结果是一个比，求比值的最后结果是一个数。 ) 5.尝试练习。 完成教材第51页“做一做”,然后集体交流。 【参考答案】 2∶1　6∶5　1∶2　5∶1　14∶9　1∶5 【品析:充分发挥学生的主体作用,使学生成为学习的主人。通过自学、独立探究、小组合作等方式,为学生创造一个积极参与数学活动的机会,鼓励学生自主探究,找到化简比的方法。】 三、反馈质疑,学有所得 在学习例1的基础上,引导学生对知识点及时消化吸收,教师提出质疑问题,学生在解决问题的过程中对知识点进行系统整理。 质疑一:什么是比的基本性质? 学生在讨论后明确:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变,这是比的基本性质。 　　质疑二:什么是化简比? 引导学生讨论后明确:比的前项和后项都是整数,而且前项和后项的公因数只有1,这样的比我们称为最简单的整数比。最简单的整数比首先是一个比,它的前项和后项必须是整数,而且前项和后项只有公因数1。 　　质疑三:化简比和求比值有什么不同? 引导学生讨论后明确:化简比的结果必须是一个比,是一个最简单的整数比;求比值的结果是一个数,可以是整数、小数,也可以是分数。 【品析:通过反馈质疑,帮助学生理解掌握概念,使学生对比的认识更加完整,知识结构进一步完善。】 四、课末小结,融会贯通 这节课我们又学习了哪些知识?什么是比的基本性质?应用比的基本性质如何把整数比、分数比、小数比化成最简单的整数比? 【品析:通过归纳总结使学生进一步掌握化简比的方法。】 五、教海拾遗,反思提升 本节课充分尊重学生已有的知识经验,利用知识的迁移,联系比和除法之间的关系,借助商不变的规律和分数的基本性质猜想比的基本性质。在突破难点方面,先让学生通过猜想、推理、对比、验证,观察最简单的整数比的特征,在小组合作中自主探究方法,形成能力。整个教学过程,教师很好地发挥了引导作用。 我的反思: 板书设计 比的基本性质 练　习　十　一 题型结构分析 题号 题型 建议 1 看图填空 本题难度不大,巩固比的意义和求比值的练习,可在课堂上完成。 2 选择 本题可以利用比的基本性质判断。 3 计算 求比值练习,可以根据比与分数、除法之间的关系计算解决。 4 解决问题 本题难度不大,是比的基本性质的具体应用。 5 解决问题 本题实际是比较比值的大小,可让学生求出比值后进行比较。 6 解决问题 注意不同单位的比较,明确单位统一的必要。 7 解决问题 本题有一定难度,可以让学生思考怎样把乙数变成相同的量。 8 解决问题 本题有一定难度,注意理解题意。 思考题 解决问题 本题有一定难度,要指导学生把重叠部分当作中间量,找出大长方形和小长方形的份数,再比较。 习题立体分析 第1题:本题是巩固比的意义和求比值的练习,教学时要注意引导学生根据信息写出多个不同的比,提高学生对比的认识。 第2题:本题可以利用比的基本性质进行判断,也可以通过比值进行判断,为后续学习做铺垫。 第3题:本题是求比值的练习,可以在教学比的意义后进行巩固,利用比与除法的关系解决。题中数据的形式有整数比、小数比、分数比,也有小数分数混合的。通过练习有助于提高学生灵活计算的能力。 第4题:是要求把比化成规定后项是100的比,这是比的基本性质的具体应用,为后续百分数的教学做铺垫,初步渗透比例思想。 第5题:学生在充分阅读图示的基础上理解要求钙、磷含量比的高低,实际是比较比值的大小。比较时可以求出小数商进行比较,也可以直接改写成分数的形式进行比较。 第6题:本题是求不同单位的两个量的比,虽然是同类量比,但是要求学生明确单位统一才能比。 第7题:本题要求甲数与丙数的比,从题意上看,甲数和丙数没有直接的联系,可以把两个比中的乙数变成相同的量,这样找出甲数和丙数的对应份数,进行比较。此题主要锻炼学生的发散思维能力,两个数量的比,不一定是具体的数量,还可以是份数。 第8题:此题有一定的难度,比较抽象,可以将数据通过份数来进行思考,从2∶3得出个位比十位多1份,而十位加上2就和个位相同,说明1份就是2,从而巧妙解题。教师在指导学生思考时,不能局限于比,需要发散思维。也为学生后续学习按比解决问题奠定基础。 思考题:此题关键是要理解重叠部分既是大长方形面积的,也是小长方形面积的。这样大长方形的面积就可以转化为6个重叠部分,小长方形的面积转化为4个重叠部分,这样大长方形与小长方形面积的比就是6∶4,也就是3∶2。此题在解答时要抓住关键的中间量,通过练习拓展学生的思维。 习题参考答案 1.(1)14∶8　 (2)16∶10　　10∶26　 (3)18∶12　 2.② 3.　　　1.6 4.(1)98∶100　(2)12∶100　(3)110∶100 5.菠菜的最高,茄子的最低。 6.不对,单位不统一。155∶100=31∶20 7.8∶15　提示:甲数与乙数的比是2∶3,也就是8∶12;乙数与丙数的比是4∶5,也就是12∶15,因此甲数和丙数的比是8∶15。 8.46 思考题　3∶2 提示:重叠部分是大长方形面积的,大长方形的面积是6个重叠部分的面积;重叠部分是小正方形面积的,小正方形的面积是4个重叠部分的面积,所以大长方形和小长方形的面积比是6∶4,即3∶2。 第3课时　 比 的 应 用 教学内容 　　人教版六年级上册教材第54页例2及相关练习。 内容简析 　　例2是按比分配解决实际问题,实际上是“平均分”方法的延伸和拓展。解决此类问题的方法主要有三种:一是把比的前项、后项看作分得的份数,先求出每一份,即把此问题转化为整数的“归一问题”来解决;二是求出前项、后项分别占总数的几分之几,即把问题转化为求一个数的几分之几是多少,用分数乘法解答;三是用比例知识来解答。教材介绍了前两种方法,而且一般以第二种方法为主,因为学生理解了比和分数的关系,并会利用分数乘法解决问题,对这种方法比较容易理解和接受,也有利于加强知识之间的联系。本例题让学生解决按比分配的实际问题与“和倍问题”实质相同。因此教材创设了一个日常生活中比较常见的配制清洁剂稀释液的问题情景,便于学生理解。就问题和提供的信息条件来看,要引导学生理解浓缩液和水的体积之间的关系,理解浓缩液体积+水的体积=稀释液体积。教材重视直观模型的作用,用图示直观地表示比的具体含义,帮助学生从本质上理解数量关系,提高提出问题、分析问题、解决问题的能力。教材按问题解决的三个步骤编排,旨在使学生经历问题解决的完整过程,尤其是养成审题和反思的习惯。 教学目标 1. 能在实例的分析中理解按比分配的实际意义。 2. 初步掌握按比分配的解题方法,运用所学知识解决按比分配的实际问题。 3. 通过贴近学生生活的实例学习,在观察、研讨、交流中让学生感受到数学学习和活动 的乐趣。 教学重点 　　理解按比分配的意义,能运用比的意义解决按比分配的实际问题。 教学难点 　　自主探索解决按比分配实际问题的策略,能运用不同的方法多角度解决按比分配的实际问题。 教法与学法 1. 本课时解决按比分配实际问题时,重视学生认真审题,理清关系,揭示问题的实质,借 助直观模型的作用,引导学生学会各种数学语言的转换,帮助学生理解数量关系,提高提出问题、分析问题、解决问题的能力,形成清晰的解题思路。 2. 本课时学生的学习主要是通过观察、讨论、交流、总结、归纳、抽象、概括等方法 来学习按比分配解决问题,引导学生借助直观图,把问题转化为整数的“归一问题”,即转化为求一个数的几分之几是多少,用分数乘法解答,形成解题策略。 承前启后链 ( 学习 : 比的应用。 ) ( 延学 : 比例和比例尺的知识。 ) ( 复习 : 比的意义和比的基本性质。 ) 教学过程 一、情景创设,导入课题 课件展示法:播放课件,呈现“妈妈”在使用清洁剂做家庭卫生,出现清洁剂溶液用完的情况,“妈妈”拿出浓缩液稀释瓶。课件播放“妈妈”语音:我按1∶4的比配制500 mL的稀释液,其中浓缩液和水的体积分别是多少?学生根据“妈妈”提出的问题展开思考,教师引入本课课题。 【品析:以学生生活中常见的素材为载体导入新课,更显得自然,增强了生活与数学的联系,同时“妈妈”的问题引起学生的注意,引发学生的思考,激发学生学习的兴趣。】 情景引入法:教师出示问题:某小学六年级有3个班,五年级有2个班,共同承担面积为100 m2的卫生区的保洁任务,平均每个年级的保洁区有多少平方米?学生很自然地口头列式计算:100÷2=50(m2)。教师提问:这是一道分配问题,同学们是怎么分的?(平均分)六年级3个班和五年级2个班共同承担同样多的卫生区的保洁任务,你们觉得合理吗?为什么?教师根据学生回答,引出研究问题:在日常生活中,很多分配问题都不是平均分的,今天我们继续研究分配问题。 【品析:教师通过一个现实问题的解决,创设平均分配和分配不合理的矛盾情景,让新课导入顺理成章,将所有学生都置于不合理的“分配”情景中,激发了学生的好奇心和探究欲望,引起了学生对问题的思考,突出了学生是课堂的主体,为学生饶有兴趣地解决问题奠定基础。】 二、师生合作,探究新知 ◎引领学生分析教材第54页例2中的主题图片,提取已知信息,并找出待解决的问题。 1.理解三个量之间的关系。 提问:在稀释溶液的过程中,我们是如何操作的?这三个量之间有什么关系? (引导学生明确稀释过程中存在三个量:稀释液、浓缩液、水,渗透数量关系浓缩液的体积+水的体积=稀释液的体积) 2.整理获得的信息:按1∶4的比配制500 mL的稀释液,其中浓缩液和水的体积分别是多少? 这里的浓缩液和稀释液指的是什么?(浓缩液是纯清洁剂,稀释液是加水之后的清洁剂) 500 mL指的是什么?(配好后稀释液的体积) 1∶4表示哪两个量之间的关系?具体指什么?(浓缩液和水的关系,具体指1份浓缩液和4份水) 要求的是什么?(浓缩液和水的体积分别是多少) ◎自主学习,交流探讨,体会不同算法。 1. 画图分析,理解关系。 师:按1∶4的比配制溶液,怎样画图表示? 教师提问:从图中你知道了什么?怎样理解1∶4? 学生讨论: ①按1∶4配制稀释液,就是把总体积平均分成5份,浓缩液占1份,水占4份; ②按1∶4配制稀释液,浓缩液占总体积的;水占总体积的。 2. 列式解答。 师:根据我们的讨论,你们能用学过的知识解答吗?在小组内交流,说说你是怎样想的。 预设①:每份是500÷5=100(mL),浓缩液有100×1=100(mL),水有100×4=400(mL)。 追问:这里的5表示什么?(把总体积平均分成5份) 预设②:浓缩液有500×=100(mL),水有500×=400(mL)。 追问:表示什么?(浓缩液占总体积的) 呢?(水占总体积的) ◎回顾与反思。 反思1:比较这两种方法,你觉得哪种方法更好一些?为什么?(第二种) 明确:浓缩液和水的比是1∶4,就是浓缩液是1份,水是4份,因此浓缩液占总体积的,水占总体积的。 反思2:这道题做得对不对?如何进行检验? 明确:可以把求得的浓缩液和水的体积相加,看是否是500 mL;可以算一算浓缩液与水的体积比是不是1∶4。 小结:要看清楚1∶4到底是哪两个量之间的比。 【品析:借助直观图帮助学生充分理解1∶4的含义,从而引导学生对1∶4展开充分的联想,使学生透彻地理解题中数量间的关系,然后让学生尝试列式解答,再通过交流,明确按比分配问题的基本方法。】 三、反馈质疑,学有所得 在学习例2的基础上,引导学生对知识点及时消化吸收,教师提出质疑问题,学生在解决问题的过程中对知识点进行系统整理。 质疑一:已知总数量和各部分量的比,怎样求各部分量? 学生在讨论后明确:先求总份数,再求各部分量占总份数的几分之几,最后求各部分量。 质疑二:按比分配是指分谁?怎么分? 引导学生讨论后明确:把两种量按照一定的比来进行分配。 【品析:通过反馈质疑,帮助学生理解按比分配的解题思路,形成计算策略,提高学生解决实际问题的能力。】 四、课末小结,融会贯通 　　通过本次课的学习,你有哪些收获?在今后做按比分配的实际问题时应该注意什么问题?在我们生活中有很多是要用比的知识来解决的问题。 【品析:让学生自己抓住“收获”“感受”来进行课堂总结,可以再次让学生对所学知识进行梳理,培养评价、反思的能力,让学生更加深切地感受数学的魅力。】 五、教海拾遗,反思提升 本课在教学中引导学生认真审题,理清题中关键概念及三个量之间的关系,帮助学生充分认识500 mL的含义,通过直观模型引导学生理解1∶4的含义,同时在回顾反思中帮助学生建构知识,形成解题策略。在练习中,教师应不局限于问题解决,而是引导学生学会各种数学语言的转换,倡导解题方法的多样化,实现学生知识与能力的双提高。 我的反思: 板书设计 比 的 应 用 第四单元复习教案 复习内容 　　人教版六年级上册教材第四单元“比”第48～56页。 知识梳理 内容 重点知识 比的意义 1.两个数的比表示两个数相除。 2.在两个数的比中,比号前面的数叫作比的前项,比号后面的数叫作比的后项。 3.比的前项除以后项所得的商,叫作比值。 比的基本性质 1.比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。 2.化简比:化简时,如果比的前项和后项都是整数,可以同时除以它们的最大公因数;遇到小数时先转化成整数,再进行化简;遇到分数时,可以同时乘分母的最小公倍数。 比的应用 首先要认真审题,看清楚是对哪个数量进行分配,是按什么比分配的;如果题目没有直接给出比,我们要先根据题目信息求出比,再按比分配。 复习目标 1. 在活动中对“比”的知识进行梳理、分类,从而体会知识间的内在联系。 2. 进一步理解比的意义,能够正确熟练地化简比、求比值,能合理地应用比的意义解决 一些实际问题。 3. 渗透一些复习的方法,培养学生分析问题和解决问题的能力。 复习重点 　　理清本单元的知识脉络,使之系统化,条理化,学生能够熟练运用比的知识解决实际问题,在探索中进一步提高解决问题的能力。 复习难点 　　理解和掌握单元复习的方法,能够主动复习,熟练掌握比的应用,发展数学思考。 复习方法 1. 通过回顾与整理,帮助学生理清本单元知识结构,进一步掌握比的有关概念,会求比值、 化简比,提高学生的解题能力;在梳理和沟通中,让学生感悟相关知识的联系和区别。 2. 本课时学生的学习主要是通过运用知识解决实际问题,在回忆整理,练习交流、总结 反思中提升。 复习过程 一、揭示课题,明确目标 谈话引入法:在第四单元,我们主要学习了哪些知识?小组内讨论交流。学生讨论交流后,教师出示讨论题: (1) 比的意义是什么? (2) 什么是比的基本性质? (3) 怎样运用比解决实际问题?举例说一说。 师: 今天这节课,我们就来一起整理与复习有关比的知识。(出示课题) 【品析:师生共同回顾本单元所学知识,使学生理清本单元数学知识脉络,沟通数学知识间的联系,使数学知识更加系统化。】 情景引入法:2016年6月20日NBA总决赛第七场在勇士主场举行,最终骑士以93∶89战胜勇士,历史首次总决赛落后大逆转,骑士迎来队史首冠。你知道这里的93比89的含义吗?它与我们数学知识中的比有什么不同?你知道哪些数学知识中的比?(揭示课题) 【品析:通过情景引入,引导学生沟通篮球比赛中的比与数学知识中的比的不同含义,加深对数学知识中比的理解,同时引入对比的知识的整理与复习,形成对比的充分认识,形成脉络。】 二、回顾整理,形成体系 ◎比的意义。 1.教师提问:同学们,我们学习的第四单元的课题是什么?(比)这一单元都有哪些内容?每个内容所涉及到的概念及知识都是什么?(同桌两人合作完成,教师巡视指导) 2.畅所欲言,请个别学生说一说。 学生可能说:这个单元学习了三个内容: ①比的意义:知道了什么是比,什么是比值。 ②比的基本性质:知道了怎样化简比及比的基本性质。 ③比的应用:利用比的有关知识能解决一些生活中的实际问题。 教师根据学生的叙述,有条理地在黑板上板书。 3.提问。 问(1):什么是比?什么是比值? 学生1:两个数的比表示两个数相除。例如:6÷4写作6∶4,读作6比4。 6∶4=6÷4==1.5 6是这个比的前项,4是这个比的后项,1.5是6∶4的比值。 学生2:比的前项除以后项所得的商,叫作比值。比值可以用分数表示,也可以用小数或整数表示。 问(2):比与除法、分数的联系与区别是什么?请学生以小组讨论的形式完成下面的表格。 相互关系 区别 比 ∶(比号) 比值 一种关系 除法 被除数 除数 分数 分数值 4.练一练。 完成教材第55页“练习十二”第5、6题,独立完成,集体交流。 【参考答案】　5.关系和性质略　2∶3　3∶4　5∶6　6.(1)4　50　0.8　(2)1.25　4∶5　　(3)0.1 ◎比的基本性质。 1.比的基本性质。 问(3):比的基本性质是什么? 学生3:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。 问(4):比的基本性质为什么要将“0”除外? 学生4:因为除数和分母不能为0,所以比的后项也不能为0。 问(5):足球比赛中用的2∶0与我们学的比一样吗?(学生以小组讨论的形式完成) ( 足球比赛中记录的“ 2 : 0 ”的意义只表示某一队与另一队比赛的进球数，不表示两队所得分数的 倍 比关系，这与数学中的比的意义不同，它虽然借用了比的写法，但它不是严格意义上的“比”。 ) 2.化简比。 问(6):如何化简比?举例说明。 完成教材第56页“练习十二”第9题,独立完成,集体交流。 【参考答案】　9.10∶4∶1　提示:三个数的比化简,要除以三个数的公因数。 问(7):化简比与求比值有什么不同? 学生:化简比的最终结果是一个最简单的整数比;求比值的最终结果是一个数,可以是小数、分数或整数。 【品析:通过归纳进一步理解比的基本性质,熟练地求比值和化简比。】 ◎解决按比分配问题。 1.题组练习。 (1)一种糖水,糖和水的质量比是1∶10。现有330 g水,需要加多少克的糖,才能配制出这种糖水? (学生独立解决,个别交流) (2)一种糖水,糖和水的质量比是1∶10。现有330 g糖水,其中含糖和水各多少克? ①学生独立完成解答,请两名不同做法的同学板演。 ②老师引导学生比较做法,明确思路,即“把比看作份数来想和把比看作分数来想”,完成板书。 ③老师指出:一般提倡大家用后一种思路去做,因为这对后续的学习很有帮助,也可以将比的知识与分数的知识更好地结合起来。 (3)比较:这两道题有什么相同点和不同点? (分组讨论,集体交流) 【参考答案】　(1)330÷10=33　33×1=33(g) (2)330÷(10+1)=30(g)　糖:30×1=30(g)　水:30×10=300(g)　(3)略 2.完成教材第56页“练习十二”第10、11题。 讨论知道: (1)第10题是三个数的连比,表示水泥、沙子、石子的份数关系。 (2)第11题长、宽、高的比是3∶2∶1,既可以先直接按比分配求出4条长、4条宽和4条高的长度,再求出每条长、宽、高的长度;也可以先用120÷4,求出一组长、宽、高的总长,再按比分配,分别求出长、宽、高的长度。 【参考答案】 10.20÷(2+3+5)=2(t)　水泥:2×2=4(t)　沙子:2×3=6(t)　石子:2×5=10(t) 11.120÷4=30(cm)　30÷(1+2+3)=5(cm)　长:5×3=15(cm) 宽:5×2=10(cm)　高:5×1=5(cm) 【品析:巩固“按比分配解决问题”的解法,优化思路,使学生的解题思路更深刻,更完善。】 三、探索实践,强化提高 1.化简下面各比,并求出比值。 35∶14　　　∶　　　0.9∶1.35　　　2∶ 2.图书室买来540本新书,其中是连环画,其余的是文艺书和科技书,且文艺书和科技书的比是3∶2。三种书各有多少本? 【参考答案】　1.5∶2　 2.5　　3∶2　1.5　 2∶3　　9∶1　 9 2.540×=180(本)　540-180=360(本)　3+2=5　360÷5=72(本)　72×3=216(本) 72×2=144(本) 四、评价总结,提升能力 　　这节课我们整理复习了哪些内容?你掌握了哪些有关比的知识?你觉得在比的意义、比的基本性质和比的应用中有哪些地方需要注意?你最大的收获是什么?有什么新发现? 五、教海拾遗,反思提升 　　比是本册教材中的重点单元,复习时重点是梳理知识,建构网络,在回顾整理中沟通联系,提升方法。关于按比分配解决实际问题,要引导学生根据实际情况思考,把生活语言转化为数学语言,找准比与总量之间的对应关系。学生经过复习,绝大多数能够明显提高,但也有少部分学生对数量关系的把握不够,需要进一步强化。 我的反思: 练 习 十 二 题型结构分析 题号 题型 建议 1 解决问题 巩固按比分配解决问题,难度不大,可在课堂上完成。 2~4 解决问题 按比分配的巩固练习。题中比的形式不同,要引导学生类推,学生可在课堂上完成。 5 计算 比、除法、分数、比的基本性质、化简比的复习整理,难度不大,可在课堂上完成。 6 填空 强调比、除法、分数的联系,难度不大,学生需理清题目。 7 解决问题 综合运用分数乘法解决问题。 8 解决问题 根据题目信息,写合适的比。 9~11 解决问题 不同形式的按比分配解决实际问题,并且是三连比,要引导学生类推。 习题立体分析 第1～4题:巩固按比分配解决实际问题。题中的条件不是以比的形式出现的,要引导学生将现实语言转化为数学语言理解。 第5～6题:强化比、分数、除法的内在联系,沟通三者的区别与联系,注重知识的整理和综合化。 第7题:比与分数乘法的综合运用,有一定的难度,教学时要引导学生把握“剩下”的分配这一关键句,理清题目思路。 第8～11题:生活中有关的比,教学中要引导学生用数学的眼光来审视生活中的比,把生活中的比用数学语言表达、理解,同时要结合具体的情景进行思考。 习题参考答案 1.303÷(51+50)=3(人)　男婴儿:51×3=153(人)　女婴儿:50×3=150(人) 2.200÷(1+9)=20(mL)　蜂蜜:20×1=20(mL)　水:20×9=180(mL) 3.56÷(1+7)=7(名)　救生员:7×1=7(名)　游客:7×7=49(名) 4.46+44+50=140(人)　一班:70×=23(棵)　二班:70×=22(棵)　三班:70×=25(棵) 5.关系和性质略　2∶3　3∶4　5∶6　 6.(1)4　50　0.8　(2)1.25　4∶5　　(3)0.1 7.西红柿:800×=320(m2)　茄子:(800-320)÷(1+2)=160(m2) 黄瓜:160×2=320(m2) 8.略　9.10∶4∶1　提示:三个数的比化简,要除以三个数的公因数。 10.20÷(2+3+5)=2(t)　水泥:2×2=4(t)　沙子:2×3=6(t)　石子:2×5=10(t) 11.120÷4=30(cm)　30÷(1+2+3)=5(cm) 长:5×3=15(cm)　宽:5×2=10(cm)　高:5×1=5(cm) ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$