2.1.1等式与不等式第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第1课时　等式与不等式(1) 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 1.梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念． 3．掌握不等式的性质． 学科核心素养 1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象) 2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算) 3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理) 4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理) 教材要点 要点一　不等式中的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 符号 语言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 状元随笔　不等式a≥b或a≤b的含义 (1)不等式a≥b含义是指“a＞b, 或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确． (2)不等式a≤b含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确． 要点二　比较两个实数a，b大小的依据 1．文字叙述 如果a－b是________，那么a＞b； 如果a－b________，那么a＝b； 如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立． 2．符号表示 a－b＞0⇔a________b； a－b＝0⇔a________b； a－b＜0⇔a________b. 正数　 等于0 负数 > ＝ < 状元随笔　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等． 基础自测   1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　) (2)若＞1，则a＞b.(　　) (3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.(　　) (4)因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.(　　) √ √ × × 2．某路段竖立的 的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　) A．v＜60 B．v＞60 C．v≤60 D．v≥36 答案：C 3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关 答案：A 解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N.故选A. 4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是___________． x2＋2＞3x 解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)， 又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x. 题型探究 课堂解透 题型1　用不等式(组)表示不等关系 例1　(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________． (2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？   答案：(1)72＋12x＞408　(2)见解析 解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408. (2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 方法归纳 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 跟踪训练1　(1) 中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________． (2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B. 试用不等式表示x，y所满足的不等关系． 食物 甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg) 800 400 答案：(1)7.9≤v＜11.2　(2)见解析 解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2. (2)x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有 即 题型2　实数(式)的比较大小 例2　已知a＞0，试比较a与的大小． 解析：因为a－＝ ＝，a＞0 所以当a＞1时，＞0， 有a＞； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当a＜a＜1时，＜0，有a＜. 综上，当a＞1时，a＞； 当a＝1时，a＝；当0＜a＜1时，a＜. 方法归纳 用作差法比较两个实数大小的四步曲 跟踪训练2　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　) A．p＞q B．p≥q C．p＜q D．p≤q (2)已知b＞a＞0，m＞0，比较与的大小． 答案：(1)C　(2)见解析 　解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p<q.故选C. (2)作差：＝＝.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴＜0，∴＜. 题型3　不等关系的转化及应用 例3　2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．   解析：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元． 由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx. 因为y1－y2＝x＋nx－nx ＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2， 所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 方法归纳 现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题． 跟踪训练3　甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？ 解析：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a＞0，b＞0，a≠b，) 则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝. 乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝＝， 因为＝＝＞0，所以＞. 所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算． 课堂十分钟 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 答案：CD 解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x<y，故B不正确；CD正确．故选CD. 2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是(　　) A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n 答案：D 解析：∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.故选D. 3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是(　　) A. 3或4 B. 4或5 C. 3或5 D. 4或6 答案：B 解析：设宿舍房间数量为x，男生人数为y，则，解得 x＝4，5.所以宿舍可能的房间数量为4或5.故选B. 4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________． x<y 解析：因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) ＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x<y. 5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？ (1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡． 解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则＜. (2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克， 易知淡糖水浓度为，浓糖水浓度为， 则混合后的糖水浓度为， 则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且＜，则＜＜. $$