2.1.1等式与不等式第二课时课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2课时　等式与不等式(2) 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 教材要点 要点　不等式的性质 性质1(对称性)　a＞b⇔________． 性质2(传递性)　a＞b，b＞c⇒________． 性质3(加法法则)　a＞b⇔________ 推论1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b 推论2　如果a＞b，c＞d，那么________． 性质4(乘法法则)　⇒________；⇒________． 推论3　⇒________． 推论4(乘方法则)　a＞b＞0⇒________(n∈N＋) 性质5(开方法则)　a＞b＞0⇒________(n∈N＋) 性质6　⇒________；⇒________． b<a a>c a＋c>b＋c a＋c>b＋d ac>bc ac<bc ac>bd an>bn > < > 状元随笔　(1)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的． (2)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a＞b，则ac＞bc.(　　) (2)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　) (3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (4)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　) × × × √ 2．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　) A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax 答案：B 解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.故选B. 3．(多选)若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是(　　) A．ac＞bc B．a－d＞b－c C．＜ D．a3＞b3 答案：BD 解析：因为a>b>0，c<0，所以ac<bc，A错误；因为a>b>0，－d>－c>0，所以a－d>b－c，B正确；因为d<c<0，所以>，C错误；因为a>b>0，所以a3>b3，D正确．故选BD. 4．用不等号填空． (1)如果a＞b ＞0，那么 ________； (2)如果a＞b＞c＞0，那么________. ＜ ＜ 解析：(1)∵a＞b＞0， ∴a2＞b2＞0， ∴＜. (2)∵a＞b＞0， ∴0＜＜， 又c＞0， ∴＜. 题型探究 课堂解透 题型1　利用不等式的性质判断命题的真假 例1　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若＞，则a＞b C．若a3＞b3且ab＜0，则＞ D．若a2＞b2且ab＞0，则＜ (2)(多选)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac2＞bc2 B．＜ C．a－c＞b－c D．＞ 答案：(1)C　(2)CD 解析： (1)A中，若a>b，则ac2>bc2(错)，若c＝0，则A不成立；B中，若>，则a>b(错)，若c<0，则B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，则>(对)，若a3>b3且ab<0，则；D中，若a2>b2，且ab>0，则<(错)，若则D不成立．故选C. (2)对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，A错误；对B，当a＝－1，b＝－2时，<不成立，B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确；对D，由于>0，又a>b，故>，故D正确． 方法归纳 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 跟踪训练1　(1)已知实数0＜a＜1，则下列正确的是(　　) A．＞a＞a2 B．a＞a2＞ C．a2＞＞a D．＞a2＞a (2)(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．ab＞ac B．c＞0 C．ac＜0 D．cb2＜ab2 答案：(1)A　(2)ABC 解析： (1)∵0<a<1，∴取a＝，逐一验证，可知A正确． (2)因为实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0， 所以a>0，c<0， 由b>c，a>0，得ab>ac，故A正确； 由b<a，c<0，得c>0，故B正确； 由a>c，ac<0，得ac<0，故C正确； 由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，当b＝0时，等号成立，故D错误； 故选ABC. 题型2　证明不等式 例2　若bc－ad≥0，bd＞0，求证：. 证明：(法一)∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， ∴bc＋bd≥ad＋bd， 即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd＞0，两边同除以bd，得. (法二)∵＝＝≤0 ∴. 方法归纳 1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小． 2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导． 跟踪训练2　(1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc. (2)若a＜b＜0，求证：＜. 证明： (1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc. 又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc. (2)由于＝＝， ∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴＜0，故＜. 题型3　利用不等式的性质求范围 例3　已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b. 解析： (1)0≤|a|≤3； (2)－1<a＋b<5； (3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2； (4)由－2<a≤3得－4<2a≤6① 由1≤b<2得－6<－3b≤－3② 由①②得，－10<2a－3b≤3. 方法归纳 利用不等式性质求范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解． 跟踪训练3　已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3， (1)求xy的取值范围； (2)求x－2y的取值范围．   解析： (1)∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是2<xy<6. (2)由(1)知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是－5<x－2y<－2. 易错辨析　多次使用同向不等式相加致误 例4　已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围． 解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)， 因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1， －12＜3(a－b)＜6， 所以－17＜2a－4b＜7. 易错警示 易错原因 错解：－1＜a＋b＜5① －4＜a－b＜2② －2＜b－a＜4③ ①＋②再除以2得－＜a＜ ①＋③再除以2得－＜b＜ 所以－23＜2a－4b＜13 错误在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2”与“－＜a＜，－＜b＜”并不等价． 纠错心得 同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法． 课堂十分钟 1．与a＞b等价的不等式是(　　) A．|a|＞|b| B．a2＞b2 C．＞1 D．a3＞b3 答案：D 解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2， 满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1， 所以A，B，C都不正确．故选D. 2．下列结论正确的是(　　) A．若a＞b，c＞b，则a＞c B. 若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D. 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d 答案：D 解析：若a＝1，b＝0，c＝2，则a>b，c>b成立，而此时a<c，所以A错误；1>－2，12<(－2)2，B错误；4>1，－1>－2，4×(－1)<1×(－2)，C错误；由不等式同向可加性知D正确．故选D. 3．(多选)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是(　　) A．＞ B. ＜ C．ac2＞bc2 D. a－c＞b－c 答案：ABD 解析：由不等式的性质，AD显然正确，又a>b>0⇒a2>b2>0⇒<，B正确，当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C错误．故选ABD. 4．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________． y<－y<x 解析：∵－1<y<0，∴0<－y<1，∴y<－y， 又x>1，∴y<－y<x. 5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围． 解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则 解得λ1＝，λ2＝－. 又－(a＋b)≤， －2≤－(a－2b)≤－， 所以－≤a＋3b≤1. $$