2.1.2基本不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

2．1.2　基本不等式 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 1.掌握基本不等式(a＞0，b＞0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 学科核心素养 1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程．(直观想象、逻辑推理) 2．会用基本不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算) 教材要点 要点　基本不等式 定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥______，当且仅当a＝b时，等号成立． 推论：对任意a，b≥0，必有____________，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中称为正数a，b的________，称为正数a，b的____________． 2ab 算术平均数 几何平均数 状元随笔　不等式与不等式a2＋b2≥2ab的异同   a2＋b2≥2ab 适用 范围 a，b∈R a＞0，b＞0 文字 叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 “＝”成 立的条件 a＝b a＝b 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当a，b同号时，≥2.(　　) (2)函数y＝x＋的最小值为2.(　　) (3)6和8的几何平均数为2.(　　) (4)不等式a2＋b2≥2ab与有相同的适用范围．(　　) √ × × × 2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 C．＞ D．≥2 答案：D 解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以＞0，＞0，所以≥2(当且仅当a＝b时取等号)，即≥2成立．故选D. 3．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2 B．a C． D．3 答案：D 解析：a>1，所以a－1>0， 所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3. 当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．故选D. 4．已知x，y都是正数． (1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________． (2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________． 2 解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值． (2)xy≤＝＝， 即xy的最大值是. 当且仅当x＝y＝时xy取最大值． 题型探究 课堂解透 题型1　利用基本不等式比较大小 例1　若a≥b＞0，试比较a, ，b的大小． 解析：∵a≥b>0，∴ ≤ ＝a，∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2， ∴. 又a>0，b>0，则 ≥ ＝. 由a>0，b>0，得， ∵≥ ， ∴， ∵－b＝≥0 ∴≥b ∴a≥≥b. 方法归纳 一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号． 跟踪训练1　(1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b (2)已知a＞b＞c，则与的大小关系是_____________________. D 解析：(1)∵0<a<1，0<b<1且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D. (2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立． 题型2　利用基本不等式证明不等式 例2　已知a，b，c＞0，求证：≥a＋b＋c. 证明：∵a，b，c，均大于0， ∴＋b≥ 2＝2a， 当且仅当＝b时等号成立． ＋c≥2＝2b，当且仅当＝c时等号成立． ＋a≥2＝2c，当且仅当＝a时等号成立． 相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c， ∴≥a＋b＋c. 方法归纳 (1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0. (2)在利用基本不等式a＋b≥2或(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式． (3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用． 跟踪训练2　已知实数x，y均为正数，求证：(x＋y)()≥25. 证明：(x＋y)＝4＋9＋＝13＋， 又因为x>0，y>0，所以>0，>0， 由基本不等式得，≥2＝12，当且仅当＝时，取等号， 即2y＝3x时取等号，所以(x＋y)≥25. 题型3　利用基本不等式求最值 例3　(1)对于代数式＋4x. ①当x>0时，求其最小值；②当x<0时，求其最大值． 解析：(1)①∵x>0，∴>0，4x>0. ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，原式的最小值为8. ②∵x<0，∴－x>0. 则－＝＋(－4x)≥2＝8，当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8. ∴当x<0时，原式的最大值为－8. (2)设0<x<，求4x(3－2x)的最大值； (3)已知x>2，求x＋的最小值． 解析：(2)∵0<x<，∴3－2x>0，∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． ∴y的最大值为. (3)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6. 当且仅当x－2＝， 即x＝4时，x＋取最小值6. 方法归纳 应用基本不等式解题的关键在于“拼”、“凑”、“拆”、“合”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构． 跟踪训练3　(1)若0＜x＜，则y＝x(1－2x)的最大值是(　　) A． B． C．1 D．4 (2)已知x＞1，求y＝的最小值． 答案：(1)B　(2)4 解析：(1)∵0<x<，∴1－2x>0， ∴y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号．(也可用二次函数配方法求解．) (2)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1， 所以y＝＝＝＝4t＋≥2 ＝4. 当且仅当4t＝，即t＝，x＝时取等号． 所以y＝的最小值为4. 课堂十分钟 1．关于命题p：∀a，b∈R，ab≤，下列说法正确的是(　　) A．¬p：∃a，b∈R，ab≥ B．不能判断p的真假 C．p是假命题 D．p是真命题 答案：C 解析：∵命题p：∀a，b∈R，ab≤， ∴¬p：∃a，b∈R，ab＞，故A错误； 当a，b一正一负时，ab＜0，≥0，ab≤； 当a，b中至少一个为0时，ab＝0，≥0，ab≤； 当a，b均为负数时，a＋b＝－(－a－b)≤－2， 整理得ab≥，当且仅当a＝b时取等号； 当a，b均为正数时，a＋b≥2，整理得ab≤，当且仅当a＝b时，取等号． ∴命题p：∀a，b∈R，ab≤是假命题，故B，D均错误，C正确．故选C. 2．下列命题中正确的是(　　) A．当a，b∈R时，≥2＝2 B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4 C．当a＞4时，a＋≥2＝6 D．当a＞0，b＞0时， 答案：B 解析：A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，(a>0，b>0)，所以D不正确．故选B. 3．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 答案：C 解析：由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 4．已知t＞0，求y＝的最小值． 解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立，即函数y＝(t＞0)的最小值是－2.   5．设a>0，b>0，证明：≥a＋b. 证明：∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴≥a＋b. $$