4.5指数函数与对数函数的实际应用（练习）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（北师大版2021·基础模块上册）

4.5指数函数与对数函数的实际应用 同步练习 基础巩固 1.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ） ①这几年生活水平逐年得到提高； ②生活费收入指数增长最快的一年是2014年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年； ④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善。 A．1 B．2 C．3 D．4 2.某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（   ） A． B． C． D． 3.某地2018年人均GDP(国内生产总值)为8000元，预计以后年增长率为，使该地区人均GDP超过16000元，至少要经过（    ）（参考数据：，） A．4年 B．5年 C．8年 D．10年 4.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元. 5.已知某城市2015年年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为 1%(不考虑其他因素)。 (1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式． (2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)? 能力进阶 6.某电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，这种产品每次降价的百分率是(　　)。 A．18% B．20% C．19% D．17% 7.某工厂年来某产品总产量与时间(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，不正确的是（    ）    A．前三年总产量增长的速度越来越快 B．前三年总产量增长的速度越来越慢 C．第年后至第年这种产品停止生产了 D．第年后至第年间总产量匀速增加 8.某厂 2006 年的产值是 a万元，计划以后每一年的产值比上一年增加20%，则该厂 2010 年的产值（单位：万元）为（ ）。 A.a（1 + 20%）5 B. a（1 + 20%）4 C.a+ 4a× 20% D.a+ 5a × 20% 9.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为 . 10．某城市2018年年底人口总数为90万，假定今后每年新增人口是上一年的2%（不考虑其他因素），设经x年，人口总数达到y万. （1）试写出y关于x的函数关系式； （2）求2023年年底该城市人口总数（精确到1万）； （3）求到哪一年年底该城市人口总数达到110万. 素养提升 11.一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 12.在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？ 13.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%． （1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世界人口是1970年的2倍？ （2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ 14.一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5指数函数与对数函数的实际应用 同步练习 基础巩固 1.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ） ①这几年生活水平逐年得到提高； ②生活费收入指数增长最快的一年是2014年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年； ④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确； “生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确； “生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确； “生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确.故选：C. 2.某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C. 3.某地2018年人均GDP(国内生产总值)为8000元，预计以后年增长率为，使该地区人均GDP超过16000元，至少要经过（    ）（参考数据：，） A．4年 B．5年 C．8年 D．10年 【答案】C 【解析】依题意， ，则，解得. 又，则至少要经过年；故答案为C. 4.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元. 【答案】2250. 【解析】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250. ∴每台彩电的原价为2 250元；故答案为：2250. 5.已知某城市2015年年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为 1%(不考虑其他因素)。 (1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式． (2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)? 【答案】见解析. 【解析】（1） y关于x的函数关系式是y＝200×(1＋1%)x＝200×1.01x，x≥0。 （2）设至少需要经过x年该城市人口达到210万。 则200×1.01x＝210，1.01x＝1.05，xlg1.01＝lg1.05，解得x≈5， 答：至少需要经过5年，该城市人口总数达到210万。 能力进阶 6.某电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，这种产品每次降价的百分率是(　　)。 A．18% B．20% C．19% D．17% 【答案】B. 【解析】设每次降价的百分率为x，则375×(1－x)3=192，(1－x)3=0.512，1－x=0.8，x=20%；答案为B. 7.某工厂年来某产品总产量与时间(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，不正确的是（    ）    A．前三年总产量增长的速度越来越快 B．前三年总产量增长的速度越来越慢 C．第年后至第年这种产品停止生产了 D．第年后至第年间总产量匀速增加 【答案】A. 【解析】对于AB，根据图象可知前三年总产量增长的速度是先快后慢，即增长速度越来越慢，A错误，B正确； 对于C，第年总产量未发生变化，可见产品停止生产了，C正确； 对于D，第年，总产量模型为直线模型，体现为匀速增长，D正确；故选：A. 8.某厂 2006 年的产值是 a万元，计划以后每一年的产值比上一年增加20%，则该厂 2010 年的产值（单位：万元）为（ ）。 A.a（1 + 20%）5 B. a（1 + 20%）4 C.a+ 4a× 20% D.a+ 5a × 20% 【答案】B. 【解析】设新设备的价值为单位1，每年增值为20%，则第二年设备的价值为（1+20%），所以经过4年后此批设备的价值为 a（1+20%）4；故答案为B. 9.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为 . 【答案】. 【解析】设新设备的价值为单位1，每年消耗为b%，则第二年设备的价值为（1-b%），所以经过n年后此批设备的价值为． 10．某城市2018年年底人口总数为90万，假定今后每年新增人口是上一年的2%（不考虑其他因素），设经x年，人口总数达到y万. （1）试写出y关于x的函数关系式； （2）求2023年年底该城市人口总数（精确到1万）； （3）求到哪一年年底该城市人口总数达到110万. 【答案】 【解析】（1）y关于x的函数关系式是y=90（1+0.02）x,x∈N. （2）因为从2018年年底到2023年年底，所以 x=2023-2018=5， 所以y=90（1+0.02）5≈99. 答：2023年年底该城市人口总数为99万. （3）设经过x年，该城市人口总数达到110万. 则 90（1+0.02）x=110， 所以， 即2018+11=2029. 答：到2029年底，该城市人口总数达到110万. 素养提升 11.一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】A 【解析】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，则，整理可得：，，，， ，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A. 12.在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？ 【答案】大约需要23年. 【解析】设经过年后的野兔有只，由题意知， ，令，即，则. 两边取常用对数得，. 所以大约需要23年. 13.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%． （1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世界人口是1970年的2倍？ （2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ 【答案】（1）1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍； （2）指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况． 【解析】（1）设1650年后年，人口是1650年的2倍， 即有， 两边取常用对数，可得， 即有； 设1970年后年，人口是1970年的2倍， 即有， 两边取常用对数，可得， 即有． 则有1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍； （2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿； 而2003年世界人口还没有达到72亿． 由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况． 14.一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式。 【答案】. 【解析】由题意，今后m年内，年产量随时间变化的增长率为1+p%， 又原来的年产量是a件， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$