4.5指数函数与对数函数的实际应用（教案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（北师大版2021·基础模块上册）

课 题 4.5指数函数与对数函数的实际应用 课 型 新授课 课 时 1 授课班级 授课时间 授课教师 教材分析 教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第四章； 教材内容：包括实数指数幂、指数函数、对数、对数函数、指数函数与对数函数应用； 地位与作用：指数函数与对数函数是两类基本初等函数，是提高数学运算能力、培养数形结合思想和数学建模能力的重要内容．它们在人口增长统计、文物考古鉴别、航海卫星定位等方面发挥着重要作用，在财经、金融、公共服务、信息技术等领域有广泛应用。 本单元我们将在整数幂的基础上推广幂的概念，学习实数幂的相关定义和运算性质、指数函数的图像与性质、对数定义及运算法则、对数函数的图像与性质、指数函数与对数函数的实际应用等内容，感悟数学与现实的关联，把握事物的本质，形成理性思考问题的品质和精神． 学情分析 1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高； 2.通过指数函数、对数函数学习，本节课将进一步学习指数函数与对数函数的实际应用； 3.职业高考学生在初中学业水平中处于中下游，因此教学中需从实际生活实例出发，加强前后知识的衔接性、串联性，回顾指数函数、对数函数学习，本节课将进一步学习指数函数与对数函数的实际应用. 学习目标 1.理解指数函数、对数函数的概念； 2.学生运用自主探讨、合作学习，学会绘制指数函数、对数函数的图像，通过观察、分析、归纳指数函数、对数函数的性质，掌握利用数形结合的方法，研究指数函数、对数函数的实际应用提高其发现问题、分析问题及解决问题能力； 3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质 学习重难点 1. 理解指数函数、对数函数的概念； 2. 学会绘制指数函数、对数函数的图像； 3. 掌握利用数形结合的方法，研究指数函数、对数函数的实际应用 教学方法 讲授法、谈话法、谈论法 课前准备 教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案； 学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本； 教学媒体 教学课件PPT、多媒体展板 教学过程 第一课时 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 活动一： 创设情境 生成问题 观察思考 我们学习的基本初等函数，可以描述、刻画客观世 界中某一类事物运动变化的规律.例如，用一次函数模型可以描述生活中的“线性增长”(直线增长)现象.利用指数函数与对数函数的相关知识建立函数模型，可以描述、刻画科学与技术、经济与社会、生产与生活中的“指数增长”和“对数增长”现象. 思考并尝试利用初中所学知识解 通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容 活动二： 调动思维 探究新知 例1 开展人口普查，对于调整、完善人口政策，推 动人口结构优化， 促进人口素质提升具有重要意义.第七次全国人口普查结果显示，2020年年末全国大陆总人口为141178万人，其中城镇常住人口90 199万人，占总人口的比例(常住人口城镇化率)为63.89%与2010年相比，提高了14.21个百分点. （1） 假设此后每年都增加700万人口，20年后我国 大陆人口总数是多少？ （2）假设此后每年人口的平均增长率是1%(每年都在前一年基础上增加1%),20年后我国大陆人口总数约为多少？(单位:万，结果精确到0.01) 分析（1）这是经济社会中的“线性增长”现象，即每年增加量保持不变，每年增加700万人口，20年共增加14000万人口，因此总共人口为155178万. （2）这是经济社会中的“指数增长”现象，即每年按照一定的增长率(成倍数)增长。我们首先考查逐年增长的情况，从中发现每一年都是前一年的(1+1%)倍(也可采用后一年与前一年的比值发现规律)，即呈指数增长， 最后利用指数函数知识解决问题。 2020年年末人口约为141178万； 经过1年人口约为141178(1+1%)万； 经过2年人口约为141178(1+1%)(1+1%)=141178(1+1%)2万； 经过3年 人口约为141178(1+1%)2(1+1%)=141178(1+1%)3万； …… 经过x年人口约为141178(1+1%)x万. 解 （1）因为每年增加700万人口，20年共增加20×700万=14000 万人口，因此20年后我国大陆人口为155178万(15.5178亿). （2） 设经过x年，我国人口为y万，由题意得 y=141 178(1+1%)x. 当x=20时，y=141178(1+1%)20. 利用科学计算器可求得y≈172263.99万. 所以，假设每年都增加700万人口，20年后我国大陆人口为155178 万；假设每年人口的平均增长率是1%,经过20年后我国大陆人口约为172263.99万. 分析理解 比较两种增长方式，随着时间推移，“指数增长” 方式更具有爆发性. 探究两种增长方式的特点，并分别列举社会生活中的“线性增长”和“指数增长”现象. 一般地，形如y=kax(a＞0，且a≠1，k≠0)的函数称 为指数型函数， 这是生活实际中常见的和实用的函数模型。其中， 当a＞1时，该函数叫作指数增长模型，如我们常说的“指数爆炸”现象所蕴含的就是这种模型；当0＜a＜1时，该函数叫作指数衰减模型，如考古工作中的碳14衰减现象所蕴含的就是这种模型. 例2 2020年12月8日，中国、尼泊尔两国共同向 全世界正式宣布， 世界第一高峰珠穆朗玛峰的最新海拔高程为8848.86 m. 由于珠穆朗玛峰气候多变、高寒缺氧、环境复杂，对测量装备、测绘技术和测绘人员有很高的要求，因此精确测量珠穆朗玛峰高程是一个国家测绘技术水平和能力的综合体现。已知海拔高程y(m)与大气压强x(Pa)之间的关系可用函数y =klnx+c来近似描述，其中c，k可看成常量.又知登顶过程中，海平面的大气压强为1.013×105 Pa，北坳营地海拔7028m，大气压强约为4.21×104 Pa. （1） 当大气压强为3.81×101 Pa时，海拔高程是 多少？ （2） 当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的 海拔高程为8844.43m 时，大气压强为多少？ 解 海平面的海拔高程为0m.将 x1=1.013×105， y1=0， x2=4.21×10'， y2=7 028, 分别代人函数关系式 y =klnx+c 解得 k≈-8004.203，c≈92255.180. 于是，大气压强与海拔高程的关系式近似为 y=8004.203ln x+92255.180. ① （1）当x=3.81×104时， y=8004.203×ln(3.81×104)+92255.180 ≈7827.090. 所以，当大气压强为3.81×10 Pa时，海拔高程约 为7827.090m. （2）把y=8844.43代人①式， 8844.43=8004.203lnx+92255.180, lnx=10.421➩x=e10421≈33556.974≈3.36×104. 所以，当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的 海拔高程为8844.43m 时，大气压强约为3.36×104 Pa,约为海平面大气压强的. 分组讨论，解答例题 通过讨论，掌握指数函数、对数函数在实际生活中的应用 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化； 活动三： 巩固练习 素质提升 例1 2021年5月11日，国家统计局公布第七次全国人口普查主要情况，数据显示，我国人口总数约是14.1亿，如果人口的年自然增长率为0.5%，则约几年后我国人口总数将不小于14.5亿（结果保留整数）？ 解 设年后我国人口总数达到14.5亿.依题意， 得 14.1×(1+0.5%)x≥14.5. 即1.005x≥,两边取常用对数得 ， 所以·解得x≥5.6. 因为x是自然数，所以约6年后我国人口总数将达到14.5亿. 例2 设在离海平面高度m处的大气压是ykPa ,y与x的函数关系是   y=Cekx, 这里C,k都是常量．已知某地某天在海平面与1000m高空的大气压强分别是101kPa及90kPa，求在600m高空的大气压强，并求大气压强是96kPa 处的高度（结果保留整数）. 解 已知y=Cekx，其中C,k是待定的常数.依已知条件得x=0时，y=101；x=1000时，y=90，由此可列方程组 由①得C=101，代人②得 , 即1000k=ln0.8911，故1000k≈﹣0.1153，所以 .   因此y与x的函数关系近似是 ． 当x=600时，得 . 当y=96时，得 , . 因此. 故在600m高空处，大气压强约为94kpa,在442m高 空处，大气压强约为96kpa. 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误 活动四： 课堂小结作业布置 （1） 课堂小结 （2） 作业布置 完成课本中P145 ——练习1./2./3. 活动五： 板书设计 4.5指数函数与对数函数的实际应用 1、 指数型函数 练习 小结 二、例1 练习 作业 三、例2 活动六： 教学反思 （留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$