第12讲 分式方程解的运用及分式方程的应用-2024-2025学年八年级数学下册（北师大版）

第12讲 分式方程解的运用及分式方程的应用 教学目标：掌握分式的增根和无解问题，会利用增根和无解求出字母的值 会根据题目中的信息找出等量关系，利用分式方程求解 教学重点：分式的增根和无解问题以及分式方程的应用 教学难点：分式方程的增根和无解 考点一、分式方程的参数的确定 1、 直接运用方程的解求参数 知识点再现及解析 例1.请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是＝0这样的分式方程可以是______________. 变式练习1. 1.在中，哪个是分式方程的解，为什么？ 2.关于的方程的解为,则=（ ） A、1 B、3 C、－1 D、－3 3.若分式方程的解为,则=__________. 解题套路： 2、 利用方程的增根求参数的值 知识点再现及解析 增根：是指方程求解后得到都不满足题设条件的根。 分式方程的增根即为：原方程解得的根使最简公分母的值为0的未知数的值。 例2.当m为何值时,解方程会产生增根? 变式练习2. 1.若关于的方程有增根，试解关于的不等式. 2.若方程有增根,则的值为多少. 解题套路： 3、 根据方程无解求参数的值 知识点再现及解析 分式方程无解存在两种情况：①方程化简后的整式方程无解； ②解得的方程的根为增根。 例3.（1）若关于的方程无解,则的值为_________. （2）当为何值时，方程无解？ 变式练习3. 1.若关于的方程无解, 则的值为. 2.若关于的方程无解, 则的值为. 解题套路： 4、根据方程的正负解求参数的值 知识点再现及解析 ①若解为正; ②若解为负 例4.若关于的分式方程的解为正数,求的取值范围. 变式练习4. 1.若方程有负数根,求的取值范围. 2.已知关于的方程解为正数,求的取值范围. 解题套路： 考点二、分式方程的应用 1、销售利润问题 例5.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 变式练习5： 1、我县某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ （3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 解题套路： 2、工程问题 例6.某公司在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，形成下列三种施工方案： 方案①：甲队单独完成此项工程刚好如期完工； 方案②：乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； 方案③：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做也正好如期完工； （1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）如果工程不能如期完工，公司每天将损失3000元，如果你是公司经理，你觉得哪一种施工方案划算，并说明理由． 变式练习6： “端午节”是我国传统佳节，历来有吃粽子的习俗，我市食品加工厂，拥有A、B两条粽子加工生产线，原计划A生产线每小时加工粽子的个数是B生产线每小时加工粽子个数的． （1）若A生产线加工4000个粽子所用的时间与B生产线加工4000个粽子所用时间之和恰好为18小时，则原计划A、B生产线每小时加工粽子各是多少个？ （2）在（1）的条件下，原计划A、B生产线每天均加工100个，由于受其他原因影响，在实际加工过程中，A生产线每小时比原计划少加工100个，B生产线每小时比原计划少加工50个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多加工3小时，B生产线每天比原计划多加工小时，这样每天加工的粽子不少于6300个，求的最小值． 解题套路： 3、 行程应用题 例7、从2017年起，昆明将迎来“高铁时代”，这就意味着今后昆明的市民外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从昆明到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题： （1）普通列车的行驶路程为　　千米； （2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度． 变式练习7： 1、2016年12月28日沪昆高铁已经开通运营，从昆明到某市，可乘普通列车或高铁，已知高铁的行驶里程是400千米，普通列车的行驶里程是高铁的行驶里程的1.3倍． （1）求普通列车的行驶里程； （2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 解题套路： 4、其他类应用题 1、为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？ 2、某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率． 3、据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． 4、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为cm/s． （1）点Q的速度为　 　cm/s（用含的代数式表示）． （2）求点P原来的速度． 课后作业 1． 若关于的方程的根是2，求的值． 2． 对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，例如：，按照这个规定，求方程的解． 3． 当为何值时，分式方程有增根？ 4. 当为何值时，关于的方程会产生增根？ 5． 若关于的方程无解，则的值是多少？ 6． 已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． 7．若关于的不等式组，有且仅有五个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$