九年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷（考试范围：北师大版八下全部内容）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

九年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：北师大版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）下列各图中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江宁波·开学考试）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）某村为了进一步加快农业现代化现建设，在2022年，新修水利工程，确保耕地面积．计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.2倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水x米，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在四边形中，E、F分别是，的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·河南驻马店·开学考试）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．则这些书的本数和人数分别是（    ） A．27，7 B．21，5 C．24，6 D．18，4 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A． B． C． D．3 9．（22-23八年级上·浙江温州·期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．60 10．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（22-23九年级上·山东烟台·开学考试）因式分解： ． 12．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的分式方程有增根，则m为 ． 13．（22-23八年级上·广西防城港·期中）如图，在中，是的垂直平分线，周长为，的长为，则的周长为 ． 14．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地，甲种运输车载重4吨，乙种运输车载重5吨，每种车都不能超载．现已安排甲种车6辆，要一次性完成该物资的运输，则乙种车至少安排 辆． 15．（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，已知在中，，，点P在内，且，，，则 ． 16．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在，，D点在上，，E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，，，则的面积为 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24七年级下·福建厦门·期末）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组 18．（22-23八年级上·山东日照·期末）分解因式 (1)； (2)． 19．（22-23八年级上·浙江宁波·开学考试）先化简，再求值：，其中整数x满足不等式． 20．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）如图所示，在中，是边的垂直平分线，交于E，交于D，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，且的周长为，的周长为，求的长． 21．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 22．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别在和的延长线上，且，连接、、． (1)求证：； (2)若，，，，求的面积． 23．（22-23八年级上·广西南宁·期中）在南宁市创城迎检活动中，某工厂准备用图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子作为花圃，种植花草美化环境．      (1)若现有型板材180张，型板材370张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？ (2)若该工厂准备用不超过30000元的资金去购买、两种型号板材，制作竖式、横式无盖箱子共80个，已知型板材每张30元，型板材每张90元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？ (3)若该工厂新购得130张规格为的型正方形板材，将其全部切割成型或型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式无盖箱子不少于50个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式无盖箱子多少个？ 24．（22-23九年级上·浙江台州·期中）【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：将绕A点逆时针旋转得到，连接， ①求证：G，D，F，三点共线； ②之间的数量关系为 ． 【探索延伸】（2）如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，E是边上一点，当时，求的长度． 25．（23-24八年级下·四川成都·期中）在中，．点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到（）． (1)如图1，当时，求； (2)如图2，在旋转过程中，连接，取中点 F，作射线交直线于点G．当时， 求证：； (3)如图3．当时，点P为线段上一动点，过点E作射线于点N，M为中点，直接写出的最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：北师大版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）下列各图中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．（22-23八年级上·浙江宁波·开学考试）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键． 根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差． 【详解】解：A、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； B、是与的平方的差，能用平方差公式分解因式； C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； D、有一项不含平方，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 3．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形两锐角互余即可得． 【详解】解：依题意，分以下两种情况： （1）如图1，等腰为锐角三角形，顶角为， ， ， （2）如图2，等腰为钝角三角形，顶角为， 综上，顶角的度数为或 故选：C． 4．（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：． 关于的不等式组的解集是， ， 故选：A． 5．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）某村为了进一步加快农业现代化现建设，在2022年，新修水利工程，确保耕地面积．计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.2倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水x米，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程，设原计划每天修水x米，现在每天修水米，已提前20天完成任务为等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天修水x米，现在每天修水米， 根据题意有：， 即， 故选：A． 6．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在四边形中，E、F分别是，的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明出是的中位线，得到，然后证明出是等腰直角三角形，进而求解即可． 此题考查了三角形中位线的性质和判定， 勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】连接， ∵E、F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 7．（22-23八年级上·河南驻马店·开学考试）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．则这些书的本数和人数分别是（    ） A．27，7 B．21，5 C．24，6 D．18，4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出不等式组． 设人数为个，则书有本，根据前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，可得，即可解得书有21本，人数为5个． 【详解】解：设人数为个，则书有本， 前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本， ， 解得， 为整数， ， ， 答：书有21本，人数为5个． 故选：B． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由含直角三角形的性质可得出，由旋转知，．由等边对等角的性质，由直角三角形两锐角互余等出，由三角形外角的定义以及性质可得出，再由等角对等边可得出，再由线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴． 由旋转知，． ∵点，B，A在同一条直线上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了含直角三角形的性质，旋转的性质，以及等角对等边，等边对等角的性质，三角形外角的定义以及性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 9．（22-23八年级上·浙江温州·期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．60 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明，，，再结合平方差公式可得答案； 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ∵， ∴； 故选D 10．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至，使，连接，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，推得，设，根据矩形的对边相等可得，求得，根据直角三角形两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 则, 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元一次方程等解题的关键是添加辅助线，构建三角形的中位线． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（22-23九年级上·山东烟台·开学考试）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟记平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键．先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的分式方程有增根，则m为 ． 【答案】4或0 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解分式方程： 去分母得：， 当时， ， 当时， ， 故m的值为4或0． 故答案为∶ 4或0． 13．（22-23八年级上·广西防城港·期中）如图，在中，是的垂直平分线，周长为，的长为，则的周长为 ． 【答案】/11厘米 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，先由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式得到，则的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 14．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地，甲种运输车载重4吨，乙种运输车载重5吨，每种车都不能超载．现已安排甲种车6辆，要一次性完成该物资的运输，则乙种车至少安排 辆． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，理解汽车的载重量与货物的数量之间的关系是解决本题的关键．此题的等量关系是：甲种车运输物资数+乙种车运输物资数吨．设乙种运输车应安排x辆，根据不等关系就可以列出不等式，求出x的值． 【详解】解：设乙种车安排了x辆， ， 解得． 因为x是正整数，所以x最小值是5． 则乙种车至少应安排5辆． 故答案为：5． 15．（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，已知在中，，，点P在内，且，，，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，把绕点C逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，，再求出即可得解． 【详解】解：如图，把绕点C逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，是等腰直角三角形，， ， ，， ， 是直角三角形，， ， ． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在，，D点在上，，E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，设的中点为，连接，由三角形的中位线定理得， ，，，由此可证和均为等边三角形，设 ，则，进而得，则，由此可求出，则 ，，，进而得，然后根据，得，据此可得的面积． 【详解】解：连接， 设的中点为， 连接，，如下图所示： ∵点分别是的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ，，，， ， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 设，则， ∵点是的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：，即 解得：，(不合题意，舍去)， ， ， ， ， 边上的高与边上的高相同， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等，正确的作出辅助线构造三角形的中位线及等边三角形是解决问题的关键． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24七年级下·福建厦门·期末）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组 【答案】（1），见详解（2） 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式及不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ， 则， 将解集表示在数轴上如下： （2）由得， 由得：， 则不等式组的解集为． 18．（22-23八年级上·山东日照·期末）分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，正确选择因式分解的方法是解题的关键． （1）综合利用提公因式法和公式法分解因式即可． （2）直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） 19．（22-23八年级上·浙江宁波·开学考试）先化简，再求值：，其中整数x满足不等式． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，再根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： 整数x满足不等式， 又由分式有意义， ， 原式． 20．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）如图所示，在中，是边的垂直平分线，交于E，交于D，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，且的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识． （1）已知，求出的度数．又因为垂直平分，根据线段垂直平分线的性质易求出的度数． （2）利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解． 【详解】（1）， ， 又垂直平分，， ， ； （2）是的垂直平分线， ，， 的周长． 的周长， ， ． 21．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，得出，，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案； （2）根据（1），得出是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理，求出度数即可． 【详解】（1）证明：将绕点按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 是等腰三角形， ∴， ， 即的度数为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 22．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别在和的延长线上，且，连接、、． (1)求证：； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)10． 【分析】（1）结合平行四边形的性质，只需要证明可证得结论； （2）根据平行四边形的性质可得，利用角的直角三角形的性质，勾股定理可求解的长，再由三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴°，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形全等，勾股定理，三角形的面积，角的直角三角形的性质等知识的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等，勾股定理，三角形的面积，角的直角三角形的性质等知识是解题的关键． 23．（22-23八年级上·广西南宁·期中）在南宁市创城迎检活动中，某工厂准备用图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子作为花圃，种植花草美化环境．      (1)若现有型板材180张，型板材370张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？ (2)若该工厂准备用不超过30000元的资金去购买、两种型号板材，制作竖式、横式无盖箱子共80个，已知型板材每张30元，型板材每张90元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？ (3)若该工厂新购得130张规格为的型正方形板材，将其全部切割成型或型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式无盖箱子不少于50个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式无盖箱子多少个？ 【答案】(1)可制作竖式无盖箱子40个，可制作横式无盖箱子70个 (2)最多可以制作竖式无盖箱子60个 (3)最多可以制作竖式无盖箱子90个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设可制作竖式无盖箱子个，可制作横式无盖箱子个，由题意：现有型板材180张，型板材370张，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可以制作竖式无盖箱子个，则制作横式无盖箱子个，由题意：不超过30000元的资金去购买、两种型号板材，型板材每张30元，型板材每张90元，列出一元一次不等式，解不等式即可； （3）型可以看成三列，每一列可以做成3个型或1个型，130个型就有列，则最后型的数量一定是3的倍数，设可以制作竖式箱子个，制作横式箱子个，由题意列出二元一次方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：设可制作竖式无盖箱子个，可制作横式无盖箱子个， 由题意得：， 解得：， 答：可制作竖式无盖箱子40个，可制作横式无盖箱子70个； （2）解：设可以制作竖式无盖箱子个，则制作横式无盖箱子个， 由题意得：， 解得：， 最大为60， 答：最多可以制作竖式无盖箱子60个； （3）解：型可以看成三列，每一列可以做成3个型或1个型，130个型就有列，   材料恰好用完， 最后型的数量一定是3的倍数， 设可以制作竖式无盖箱子个，制作横式无盖箱子个， 个竖式无盖箱子需要1个型和4个型，1个横式无盖箱子需要2个型和3个型，1个型相当于3个型，130个型就有列， ， ， 、均为整数，， ，，，， 答：最多可以制作竖式无盖箱子90个． 24．（22-23九年级上·浙江台州·期中）【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：将绕A点逆时针旋转得到，连接， ①求证：G，D，F，三点共线； ②之间的数量关系为 ． 【探索延伸】（2）如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，E是边上一点，当时，求的长度． 【答案】（1）①见解析②（2）成立，理由见解析（3）5 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题．解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． （1）①证明，得到，结合，得出结论； ②由得到，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）过点C作交的延长线于点G，利用勾股定理求得的长． 【详解】（1）①证明：将绕A点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴G，D，F，三点共线； ②解：．理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立；理由如下： 如图2，延长到点G．使．连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图3，过点C作，交的延长线于点G， 由【探索延伸】可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． ∴． 故答案为：5． 25．（23-24八年级下·四川成都·期中）在中，．点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到（）． (1)如图1，当时，求； (2)如图2，在旋转过程中，连接，取中点 F，作射线交直线于点G．当时， 求证：； (3)如图3．当时，点P为线段上一动点，过点E作射线于点N，M为中点，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最大值，的最小值， 【分析】（1）如图1，过点E作交的延长线于点H， 根据题意求得，再根据特殊直角三角形的性质进而求得上的高，代入面积公式算出结果； （2）①如图，在线段上截取，连接，可证得四边形是平行四边形，得出，可证，得出，由，即可推出结论； （3）连接AE，取的中点，的中点Q，连接，可证是等腰直角三角形，得出：，再由点是的中点，可得：，且，利用勾股定理得，当B、Q、M三点共线时，的最小值，当点P与点E重合时，此时，的最大值．． 【详解】（1）解：如图1，过点E作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到． ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）如图，在线段上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：连接，取的中点，的中点Q，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点S是的中点， ∴，且， ∵M是的中点，S是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， 在中，， 当B、Q、M三点共线时，的最小值， 当点P与点E重合时，， 此时，的最大值． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$