精品解析：内蒙古呼和浩特市第四中学2023—2024学年上学期九年级月考数学试卷

2023~2024学年初三年级12月份月考数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 2. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 图象位于一、三象限 C. 图象与坐标轴无交点 D. 图象关于原点对称 3. 如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，圆锥的侧面积为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线l长为（ ） A. 6 B. 9 C. 3 D. 4 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 7. 如图，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为4，OC=3，则弦AB的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 8. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ） A. 120° B. 180° C. 240° D. 300° 9. 一个封闭的不透明袋子中有形状、大小完全相同的一个红球，两个黄球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后从袋子中再次摸出一个球，则两次摸到的小球颜色为一红一黄的概率为（　　） A. B. C. D. 10. 一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（ ） A. B. 5 C. D. 8 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，，则的半径长为______． 12. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有________个． 13. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，则截面有水部分的面积为______． 14. 已知的内接正方形的面积为4，则的内接正六边形的面积为________． 15. 如图，函数，的图像与平行于x轴的直线分别相交于A，B两点，且点A在点B的右侧，点C在x轴上，的面积为2，则______． 16. 如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则圆O的半径为______． 三、解答题（共72分） 17. 为等腰三角形，O为底边的中点，腰与相切于点D．求证：是的切线． 18. 已知点，在反比例函数（m是常数）的图象上．如果，而且，同号，那么，有怎样的大小关系？为什么？ 19. 如图，的直径AB为20cm，弦，的平分线交于D，求BC，AD，BD的长． 20. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 　 　，圆心角β＝　 　度； （2）补全条形统计图； （3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率． 21. 已知：如图，在中， 、为互相垂直的两条弦，且，，，D、E为垂足． 求证：四边形为正方形． 22. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出不等式的解集． 23. 如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． （1）求证：平分． （2）已知半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留π）． 24. 百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年初三年级12月份月考数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项判定即可． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故此选项不符合题意； B、通常加热到时，水沸腾，是必然事件，故此选项不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故此选项不符合题意； D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 图象位于一、三象限 C. 图象与坐标轴无交点 D. 图象关于原点对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、反比例函数的，图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故原说法错误，符合题意； B、反比例函数的，图象分布在第一、三象限，故原说法正确，不符合题意； C、反比例函数中，图象与坐标轴无交点，正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点对称，正确，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵分别与相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，圆锥的侧面积为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线l长为（ ） A. 6 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面积为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，圆锥的母线为l， ∴， 解得：，负值舍去， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数及反比例函数图像与性质，解题关键是结合函数解析式及选项图像判断m，n的取值范围是否相符．先根据一次函数图像判断m，n的取值范围，确定的取值范围后，即可判断反比例函数图像中的m，n的取值范围是否一致，从而判断选项是否正确． 【详解】A选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，A选项错误； B选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，B选项错误； C选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像相符，C选项正确； D选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像不符，D选项错误． 故选：C． 6. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系．掌握“时直线与圆相交，时直线与圆相切，时直线与圆相离”是解题的关键，先求出一元二次方程的解，然后分两种情况讨论即可得解． 【详解】解：由得， ， 解得，， ∴或． ∵圆心O到直线l的距离， ∴当时，，则直线l与相切， 当时，，则直线l与相交， ∴直线l与的位置关系是相交或相切． 故选：D． 7. 如图，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为4，OC=3，则弦AB的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先根据垂径定理得到AC=BC，再利用勾股定理计算出AC=，然后利用AB=2AC求解． 【详解】解：连接OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC=BC， 在Rt△AOC中，∵OC=3，OA=4， ∴AC==， ∴AB=2AC=． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 8. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ） A. 120° B. 180° C. 240° D. 300° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r， ∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2πr2=πrR， ∴R=2r， 设圆心角为n，有=2πr=πR， ∴n=180°． 故选B． 考点：圆锥的计算 9. 一个封闭的不透明袋子中有形状、大小完全相同的一个红球，两个黄球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后从袋子中再次摸出一个球，则两次摸到的小球颜色为一红一黄的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：画出树状图，如下： 共9种等可能的情况，其中两次摸到的小球颜色为一红一黄的情况有4种， ∴； 故选：A． 10. 一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出方程的解，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半作答． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， ∵， ∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13， ∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即， 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圆的半径，熟记直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，，则的半径长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题利用了垂径定理和勾股定理求解， 连接，根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：连接， 的直径垂直于弦，， ， ， ， 由勾股定理可得， ， 解得， 故答案为：5． 12. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有________个． 【答案】 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【详解】解：设袋中有黄球x个，由题意得： ， 解得：， 则白球可能有（个）； 故答案为：． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数． 13. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，则截面有水部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，扇形面积的求解，连接，过O作，交于点E，交圆于点D，由于水面的高为可求出的长，在中利用三角函数的定义可求出的度数，由垂径定理可知，，进而可求出的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积． 【详解】解：连接，过O作，交于点E，交圆于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知的内接正方形的面积为4，则的内接正六边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据题意，求出的半径，进而求出正六边形的边长，再根据正多边形的面积公式，进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， ∵正方形的中心角为， ∴的半径为， ∵正六边形的中心角为， ∴正六边形的边与的两条半径构成等边三角形， ∴正六边形的边长为， ∴弦心距为：， ∴正六边形的面积为； 故答案为：． 15. 如图，函数，的图像与平行于x轴的直线分别相交于A，B两点，且点A在点B的右侧，点C在x轴上，的面积为2，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接、，设直线与y轴的交点为D，根据反比例函数图像上的点的性质可得 ，，则可得，再根据与同底等高，面积相等，即可求出的值． 本题主要考查了反比例函数图像的性质：从反比例函数图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点所构成的直角三角形的面积等于．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：连接、，设直线与y轴的交点为D， ∵A，B两点分别 在函数，的图像上， ∴， ， ． 轴， ， ， ． 故答案为：4． 16. 如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则圆O的半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，由勾股定理可计算出AC的长，根据面积关系 ，即可求得半径． 【详解】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF ∵⊙O为的内切圆，切点分别为D、E、F ∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∴ ∵ ∴ 即 ∴OD=2 即⊙O的半径为2 故答案为：2 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理，图形的面积等知识，利用面积关系解答是关键． 三、解答题（共72分） 17. 为等腰三角形，O为底边的中点，腰与相切于点D．求证：是的切线． 【答案】 证明：过点O作于点E，连接，， 与相切于点D， ， 为等腰三角形，O是底边的中点， 是的平分线， ，即是的半径， 经过的半径的外端点且垂直于， 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 过点O作于点E，连结，，根据切线的性质得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出是的平分线，根据角平分线的性质得出，从而证得结论． 【详解】 18. 已知点，在反比例函数（m是常数）的图象上．如果，而且，同号，那么，有怎样的大小关系？为什么？ 【答案】 ，理由如下： 在反比例函数中，，所以，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 同号， 点A和点B在同一个象限内， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】略 19. 如图，的直径AB为20cm，弦，的平分线交于D，求BC，AD，BD的长． 【答案】BC=16cm，AD=BD=10cm． 【解析】 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC= =16（cm）； ∵CD是∠ACB的平分线， ∴， ∴AD=BD， ∴AD=BD= ×AB=10（cm）． 20. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 　 　，圆心角β＝　 　度； （2）补全条形统计图； （3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率． 【答案】（1）50，144； （2） 补全条形统计图如下： （3）480 （4） 【解析】 【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题； （2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题； （3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 （1）本次调查的样本容量是： 10÷20%=50， 则圆心角β=360°×= 144°， 故答案为：50，144； 【小问2详解】 成绩优秀的人数为： 50-2-10-20=18(人)， 【小问3详解】 1200×（人） 答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人； 【小问4详解】 画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为 【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 已知：如图，在中， 、为互相垂直的两条弦，且，，，D、E为垂足． 求证：四边形为正方形． 【答案】 证明：，，， ， ∴四边形为矩形， 且， 又， ， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】先证明四边形为矩形，再根据垂径定理可得，由此可得四边形为正方形． 本题主要考查了垂径定理和正方形的判定．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： （2） （3）和 【解析】 【分析】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，待定系数法求函数的解析式，函数的增减性． （1）由A点在反比例函数上，可求出m，得到反比例函数解析式，再由B点在反比例函数图象上，求出n，由待定系数法求出一次函数解析式； （2）由上问求出的函数解析式联立方程求出C点的坐标，由，从而求出的面积； （3）由图象观察函数的图象在一次函数图象的上方时对应的x的范围． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数上， ， 反比例函数解析式为：， 又∵在反比例函数的图象上， ，即， 又∵，是一次函数图象上的点， 联立方程组得：， 解得， 一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：点C在一次函数上， 另，，即， ，， ，，， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 由图象知：当和时函数的图象在一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为：和． 23. 如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． （1）求证：平分． （2）已知半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留π）． 【答案】（1） 证明：连接， ∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，可得到，从而得到，再由，可得，即可； （2）设交于点H，根据垂径定理可得，可证明，可得，从而得到是等边三角形，进而得到，再由弧长公式计算，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点H， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，求弧长，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，垂径定理，求弧长，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润为980元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设利润为w元， 当时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当x=10时，w取得最大值，此时w=980， ∵980>480， ∴当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元， 答：当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $