精品解析：安徽省安庆市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的，请把正确选项填涂在答题卷上．（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，已知点（，6），则点P位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（　　　） A. 80° B. 50° C. 30° D. 20° 6. 已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. 图①和图② B. 图①和图③ C. 图③ D. 图②和图③ 8. 如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 9. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A. 140° B. 100° C. 50° D. 40° 10. 如图,正△ABC中,点P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合),且∠APD= 60° ,PD交边AB于点D. 设BP= x ,BD= y ,右图为y关于x的函数大致图象，下列判断中正确的是（    ） ①正△ABC中边长为4；②图象的函数表达式是 ， 其中 0＜x＜4；③ m=1 A ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 的三边长分别为，且为整数，则的值是_____________． 12. 如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，1），“炮”位于点（﹣1，2），则“马”位于点 _________． 13. 与直线平行且经过点的直线解析式为________________． 14. 已知一次函数，当时，y的最小值等于_________． 三、 解答题 （满分50分） 15. 在中，，，是的角平分线，求的度数． 16. 在坐标系中作出函数y＝x＋2的图象，根据图象回答下列问题： （1）方程x＋2＝0的解是 　 　； （2）不等式x＋2＞1的解 　 　； （3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是 　 　． 17. 填写下列推理中的空格： 已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求证：AD∥BC． 证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（________________）， ∴∠BAD－∠________＝∠DCB－∠________（等式性质）， 即∠________＝∠________． ∴AD∥BC（________________）． 18. 设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3）、B（0，－2）两点，求此函数的解析式． 19. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，根据图象进行一下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为______： （2）请解释图中点的实际意义：_______ 图象理解（3）求慢车和快车的速度： （4）求线段所表示与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： 问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 20. 如图，点等边内一点，，，是外一点，且，连接． （1）是什么三角形？说明理由； （2）若，，（为大于1的整数），求的度数． （3）当为多少度时，是等腰三角形？ 21. 四川花木看成都，成都花木看温江，温江花木看寿安，“寿安花木编艺”已被列入成都市非物质文化遗产保护名录．寿安镇以“乡村振兴”为目标，通过花木编艺的发展带动社区经济的发展．该镇花木编艺师小李，制作2个“动物”造型编艺品和3个“花瓶”造型编艺品需要成本580元，制作3个“动物”造型编艺品和7个“花瓶”造型编艺品需要成本1120元．小李通过西部花木交易中心销售编艺品并能全部售出，每个“动物”造型编艺品售价500元，每个“花瓶”造型编艺品售价300元．小李每天可以制作1个“动物”造型编艺品或者1.5个“花瓶”造型编艺品，且每月制作的“花瓶”造型编艺品不小于“动物”造型编艺品的2倍（注：每月制作的“动物”造型编艺品、“花瓶”造型编艺品的个数均为整数）．假设小李每月有22天制作编艺品，其中制作“动物”造型编艺品x天，制作两类编艺品的月利润为y元． （1）求小李制作一个“动物”造型编艺品和一个“花瓶”造型编艺品的成本分别是多少元？ （2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的范围； （3）小李每月制作“动物”造型编艺品多少个时，月利润y最大，最大利润是多少元？ 22. 如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx＋b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）． ①求△CGF的面积； ②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由； （3）若（2）中点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＜0），点E在x轴上运动，当m取何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等？请直接写出相应的m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的，请把正确选项填涂在答题卷上．（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 在平面直角坐标系中，已知点（，6），则点P位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，即可解答． 【详解】解：（，6）在第二象限． 故选B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 3. 如图，将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直角三角板的性质得出及的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角板的内角度数，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 4. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得，根据二次根式有意义的条件可得，分别求解即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可得，解得， 根据二次根式有意义的条件可得，解得， 综上所述，自变量x的取值范围是且， 故选：B． 【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，注意分母不能为0，被开方数为非负数． 5. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（　　　） A. 80° B. 50° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】如图，∵∠2＝50°，纸条的两边互相平行， ∴∠4＝∠2＝50°， ∵∠1＝30°， ∴∠3＝∠4−∠1＝50°−30°＝20°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 6. 已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】要求两直线的交点，就是联立解析式构成的方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1）， ∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0， ∴交点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，本题属于基础题型． 7. 在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. 图①和图② B. 图①和图③ C. 图③ D. 图②和图③ 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图②中，利用作法得， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴点到和的距离相等， ∴是的平分线； 在图③中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 故选：A． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质解决问题的关键是掌握角平分线的判定定理． 8. 如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，作∠B或∠C的平分线即可，②不能，③作斜边上的高，④在BC上取点D，使BD=BA即可. 【详解】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①图，作∠ABC的平分线交AC于点D，则分成的两个三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，符合要求； ②图不能被一条直线分成两个小等腰三角形； ③图，作等腰直角三角形斜边上的高AD，则可把它分为两个小等腰直角三角形，符合要求； ④图，在BC上取点D，使BD=BA，作直线AD，则分成的两个三角形的角的度数分别为：36°，72，72°和36°，36°，108°，符合要求． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和三角形的内角和定理，在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原等腰三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能. 9. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A. 140° B. 100° C. 50° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质证得△OCD是等腰三角形，求得得∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证明△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，∠OPM=∠ODM=50°，再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解． 【详解】解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值． ∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM； ∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°， ∴∠COD=2∠AOB=80°， 在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°， ∴∠OCD=∠ODC=50°； 在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON， ∴△CON≌△PON， ∴∠OCN=∠NPO=50°， 同理∠OPM=∠ODM=50°， ∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点． 10. 如图,正△ABC中,点P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合),且∠APD= 60° ,PD交边AB于点D. 设BP= x ,BD= y ,右图为y关于x的函数大致图象，下列判断中正确的是（    ） ①正△ABC中边长为4；②图象的函数表达式是 ， 其中 0＜x＜4；③ m=1 A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】设正△ABC边长为a，根据等边三角形性质可知∠B=∠C=60°，由三角形内角和定理和平角性质得∠CAP+∠APC=120°，∠BPD+∠APC=120°，等量代换可得∠CAP=∠BPD，根据相似三角形判定和性质得CA：BP=CP：BD，代入数值可得y关于x的函数解析式为：；由二次函数性质和图像可得x==2，从而可得a值，即正△ABC边长为4，故①正确；将a值代入可得y关于x的函数解析式为，故②错误；将二次函数解析式配方得，从而可得 m=1，故③正确. 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠CAP+∠APC=120°，∠BPD+∠APC=120°， ∴∠CAP=∠BPD， ∴△CAP∽△BPD， ∴CA：BP=CP：BD， 设正△ABC边长为a， ∴CA=CB=a，CP=CB-BP=a-x， ∵ BP= x ，BD= y ， ∴a：x=（a-x）：y， 即， ∴ y关于x的函数解析式为：， ∵抛物线对称轴为：x==2， ∴a=4， ∴正△ABC边长为4， 故①正确； ∴y关于x的函数解析式为：， 故②错误； ∵， ∴m=1， 故③正确； 综上所述：正确的有①③. 故答案为D. 【点睛】本题主要考查的是动点问题的函数图象，灵活运用等边三角形的性质和二次函数图象的对称性是解题的关键．解题时需要深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 的三边长分别为，且为整数，则的值是_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形三边关系， ∴三角形的第三边x满足：3-1＜x＜3+1，即2＜x＜4， ∵x为整数， ∴x=3， 故答案：3． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 12. 如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，1），“炮”位于点（﹣1，2），则“马”位于点 _________． 【答案】（4，﹣1） 【解析】 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，再建立平面直角坐标系得出答案． 【详解】解：如图所示： “马”位于点（4，﹣1）． 故答案为：（4，﹣1）． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 13. 与直线平行且经过点的直线解析式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用两直线平行值相等和待定系数法求函数解析式．根据与已知直线平行可知，设出函数解析式把点的坐标代入求出值即可得到函数解析式． 【详解】解：与直线平行， ， 设函数解析式为， ， 解得：， 直线解析式为． 14. 已知一次函数，当时，y的最小值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】解∶∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质，对于一次函数，当时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；当时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小；熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 三、 解答题 （满分50分） 15. 在中，，，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理可得的度数，再由角平分线可求角的度数，再次利用三角形内角和定理即可求的度数． 【详解】，， ， 是的角平分线， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 16. 在坐标系中作出函数y＝x＋2的图象，根据图象回答下列问题： （1）方程x＋2＝0的解是 　 　； （2）不等式x＋2＞1解 　 　； （3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是 　 　． 【答案】（1）x=-2；（2）x＞-1；（3）-4≤x≤0 【解析】 【分析】画出函数图象 （1）方程x＋2＝0的解即为y＝x＋2与x轴交点的横坐标； （2）不等式x＋2＞1的解即为y＝x＋2中纵坐标大于1的图象对应的横坐标的取值范围； （3）若-2≤y≤2，则y＝x＋2的函数值在-2到2之间对应图像的横坐标的范围． 【详解】解：y=x+2 列表如下： 图象如下图所示： （1）由图形可得，方程的解是， 故答案为； （2）由图象可得，不等式的解是， 故答案为； （3）若，则的取值范围是， 故答案为． 【点睛】本题考查一次函数的图象、一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题． 17. 填写下列推理中的空格： 已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求证：AD∥BC． 证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（________________）， ∴∠BAD－∠________＝∠DCB－∠________（等式性质）， 即∠________＝∠________． ∴AD∥BC（________________）． 【答案】已知；1；3；2；4；内错角相等，两直线平行 【解析】 分析】利用已知条件和等式性质，推出∠2＝∠4，利用平行线判定理之“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（已知）， ∴∠BAD－∠1＝∠DCB－∠3（等式性质）， 即∠2＝∠4． ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；1；3；2；4；内错角相等，两直线平行． 【点睛】 本题考查平行线判定方法，属于基础题，需要熟练掌握平行线判定理——内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 18. 设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3）、B（0，－2）两点，求此函数的解析式． 【答案】y=5x-2 【解析】 【详解】试题分析：直接把A点和B点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可． 试题解析：把A(1,3)、B(0,−2)代入y=kx+b得，解得， 所以此函数解析式为y=5x−2. 19. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，根据图象进行一下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为______： （2）请解释图中点的实际意义：_______ 图象理解（3）求慢车和快车的速度： （4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： 问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 【答案】（1）900； （2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． （3）慢车的速度为=75（km/h）；快车的速度为150km/h． （4）y=225x﹣900．自变量x的取值范围是4≤x≤6． （5）第二列快车比第一列快车晚出发0.75h． 【解析】 【分析】直接从图上的信息可知（1）中是900； （2）根据图象中的点的实际意义即可知道，图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇； （3）利用速度和路程之间的关系求解即可； （4）分别根据题意得出点C的坐标为（6，450），把（4，0），（6，450）代入y=kx+b利用待定系数法求解即可； （5）把x=4.5代入y=225x﹣900，得y=112.5，所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75（h），即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h． 【详解】（1）900； （2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． （3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为=75（km/h）； 当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为=225（km/h），所以快车的速度为150km/h． （4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶=6（h）到达乙地，此时两车之间的距离为6×75=450（km），所以点C的坐标为（6，450）． 设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把（4，0），（6，450）代入得，解得. 所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x﹣900． 自变量x的取值范围是4≤x≤6． （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h． 把x=4.5代入y=225x﹣900，得y=112.5． 此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75（h），即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h． 20. 如图，点是等边内一点，，，是外一点，且，连接． （1）是什么三角形？说明理由； （2）若，，（为大于1的整数），求的度数． （3）当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】（1）是等边三角形，见解析 （2） （3）当的度数为或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质． （1）根据全等三角形的性质得到，，由等边三角形的性质得到，求得；即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到根据勾股定理的逆定理得到，于是得到，即可得到结论； （3）分三种情况：①要使，需，根据周角的定义得到，得到方程求得；②要使，需．由于，，于是得到求得；③要使，需．由于于是得到． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ∴是等边三角形， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①要使，需． ∵，， ∴ ∴； ②要使，需． ∵，， ∴， ∴ ∴； ③要使，需． ∵ ∴． 综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形． 21. 四川花木看成都，成都花木看温江，温江花木看寿安，“寿安花木编艺”已被列入成都市非物质文化遗产保护名录．寿安镇以“乡村振兴”为目标，通过花木编艺的发展带动社区经济的发展．该镇花木编艺师小李，制作2个“动物”造型编艺品和3个“花瓶”造型编艺品需要成本580元，制作3个“动物”造型编艺品和7个“花瓶”造型编艺品需要成本1120元．小李通过西部花木交易中心销售编艺品并能全部售出，每个“动物”造型编艺品售价500元，每个“花瓶”造型编艺品售价300元．小李每天可以制作1个“动物”造型编艺品或者1.5个“花瓶”造型编艺品，且每月制作的“花瓶”造型编艺品不小于“动物”造型编艺品的2倍（注：每月制作的“动物”造型编艺品、“花瓶”造型编艺品的个数均为整数）．假设小李每月有22天制作编艺品，其中制作“动物”造型编艺品x天，制作两类编艺品的月利润为y元． （1）求小李制作一个“动物”造型编艺品和一个“花瓶”造型编艺品的成本分别是多少元？ （2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的范围； （3）小李每月制作“动物”造型编艺品多少个时，月利润y最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）小李制作一个“动物”造型编艺品的成本为140元，制作一个“花瓶”造型编艺品的成本为100元； （2）y=60x+6600（0＜x≤）； （3）小李每月制作“动物”造型编艺品8个时，月利润y最大，最大利润是7080元． 【解析】 【分析】（1）根据制作2个“动物”造型编艺品和3个“花瓶”造型编艺品需要成本580元，制作3个“动物”造型编艺品和7个“花瓶”造型编艺品需要成本1120元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，并写出x的范围； （3）根据（2）中的结果和一次函数的性质，x的取值范围，可以求得小李每月制作“动物”造型编艺品多少个时，月利润y最大，最大利润是多少元． 【小问1详解】 解：小李制作一个“动物”造型编艺品的成本为a元，制作一个“花瓶”造型编艺品的成本为b元， 由题意可得：， 解得， 答：小李制作一个“动物”造型编艺品的成本为140元，制作一个“花瓶”造型编艺品的成本为100元； 【小问2详解】 由题意可得： y=（500-140）x+（300-100）×1.5×（22-x）=60x+6600， ∵每月制作的“花瓶”造型编艺品不小于“动物”造型编艺品的2倍， ∴1.5×（22-x）≥2x， 解得x≤， 即y与x之间函数关系式是y=60x+6600（0＜x≤）； 【小问3详解】 由（2）知：y=60x+6600， ∴y随x的增大而增大， ∵0＜x≤且每月制作的“动物”造型编艺品、“花瓶”造型编艺品的个数均为整数， ∴x为整数且22-x为偶数， ∴x=8时，y取得最大值，此时y=7080， 答：小李每月制作“动物”造型编艺品8个时，月利润y最大，最大利润是7080元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，列出相应的不等式和函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 22. 如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx＋b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）． ①求△CGF的面积； ②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由； （3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＜0），点E在x轴上运动，当m取何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等？请直接写出相应的m的值． 【答案】（1）点C的坐标为（-3，7），直线AB的解析式为y=x+10；（2）①；②存在，最大值为；（3）当m取-13或-10或-3时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等． 【解析】 【分析】（1）先求得点C的坐标（-3，7），再将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，即可得到直线AB的解析式； （2）①先求得点G、F的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； ②由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大，据此求解即可； （3）需要分情况进行讨论，画出图形，依据全等三角形的对应顶点的位置，即可得到m的值． 【详解】解：（1）将点C（a，7）代入y=x，可得a=-3， ∴点C的坐标为（-3，7）， 将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，可得 ，解得， ∴直线AB的解析式为y=x+10； （2）①∵点E的坐标是（﹣15，0）． ∴当时，y=和y=-15+10=-5， ∴点F的坐标为（-15，35），点G的坐标为（-15，-5）， ∴； ②存在，理由如下： 由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大， 令，则y=10， ∴点B的坐标为（0，10）， ∵点M为y轴上OB的中点， ∴点M的坐标为（0，5）， 设直线MC的解析式为y=ax+5， 将C（-3，7）代入得：7=-3a+5， 解得，， ∴直线MC的解析式为y=x+5， 当时，y=， ∴点P的坐标为（-15，15）， ∴PM﹣PC=CM=； （3）∵B（0，10），A（-10，0）， ∴OA=OB=10，则∠CAO=∠ABO=45°， 分三种情况讨论： ①当△OAC≌△QCA，如图： ∴∠CAO=∠QCA=45°， ∴QC⊥OA，即CQ∥轴， ∴CQ经过点E， ∴m=-3； ②当△ACO≌△ACQ， ∴∠CAO=∠CAQ=45°， ∴QA⊥OA，即QA经过点E， ∴即点E、点A重合， ∴m=-10； ③当△ACO≌△CAQ， ∴∠CAO=∠ACQ=45°，AO=CQ， ∴CQ∥轴， ∴四边形AOCQ平行四边形，CQ=AO=10，AE=3， ∴m=-13； 综上，当m取-13或-10或-3时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$