2024年九年级数学中考专项训练——二次函数和几何综合阅读题

中考专项训练——二次函数和几何综合阅读题 1．某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx上移动，从而产生一组不同的抛物线y＝ax2+bx（如图2）． （1）若k＝1． ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离； （2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，若，直接写出当a满足什么条件时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 2．根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况 素材 （1）在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． （2）幼苗在生长过程中，叶片是越长越张开． 问题解决 任务1 确定心形叶片的形状 ㅤㅤ如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 任务2 研究心形叶片的尺寸 ㅤㅤ如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，点C，C′是叶片上的一对对称点，CC′交直线AB于点G．求．叶片此处的宽度CC′． 任务3 探究幼苗叶片的生长 ㅤㅤ小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分． ㅤㅤ如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线PD（点P为叶尖）与水平线的夹角为45°．三天后，叶片根部D长到与点P同一水平位置的D′处时，叶尖Q落在射线OP上（如图5所示），求此时幼苗叶片的长度QD′． 3．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷泉安全通道？ 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）． 素材1 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧． 7 素材2 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM＝4m，水柱最高点离地面3m．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度． 素材3 安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域． 问题解决 任务1 确定喷泉形状 在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． 任务2 确定喷泉跨度的最小值 若喷水管OA最高可伸长到2.25m，求出喷泉跨度OB的最小值． 任务3 设计通道位置及儿童的身高上限 现在需要一条宽为2m的安全通道CD，为了确保进入安全通道CD上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为多少？（精确到0.1m） 4．鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表： s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）根据表中数据预测足球落地时，s＝　 　m； （2）求h关于s的函数解析式； （3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．一次防守中守门员面对足球后退，已知后退过程中守门员速度为2.5m/s，最大防守高度为2.6m． ①求守门员后退到足球正下方所需时间； ②这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 5．【初步思考】 （1）如图1．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD＝2∠EAF．求证：EF＝BE+FD． 小阳发现此题是证明线段的和（差）问题，根据证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长CB至点H，使BH＝DF，连接AH，易证△ABH≌△ADF，得出①　 　＝AF，∠BAH＝∠DAF． 第二步：∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF，∠BAD＝2∠EAF，得出∠BAE+∠DAF＝∠EAF，所以②　 　＝∠EAF． 第三步：易证△EAH≌△EAF，得出③　 　＝EF，于是BE+④　 　＝EF，即EF＝BE+FD. 【问题解决】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD＝2∠EAF，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，求△DEF的周长． 6．【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，求CD的长．”经过小组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将△BCD绕点B逆时针旋转60°到△BAE，连接DE．则△BDE是等边三角形，所以DE＝BD＝5，导角可得∠DAE＝90°，所以． （1）请补全图形； 【探究应用】（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．D为△ABC外一点，且∠ADB＝50°，，求∠ADC的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长 　 　． 7．【问题提出】 （1）如图1，AB与CD相交于点O，连接AC、BD，∠A＝∠D，9OA＝11OD，若OB的长为1.8，则OC的长为 　 　． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCE中，AB∥CE，AB＝BC，点D在边CE上，且CD＝AB，连接BD，点F在BD上，连接AF、CF、EF，CF＝EF，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，四边形ABCD是某动物园的野生动物观赏区，经测量，AB＝BC＝CD＝AD，工作人员计划将该野生动物观赏区进行扩建，在对角线AC上取点E，在边BC的延长线上取点F，连接BE、EF、DF，EF与CD交于点G，根据工作人员的规划要求，BE与EF相等，EF与CD互相垂直，在扩建部分（△CDF区域内）新增加一种野生动物，请你判断∠CDF与∠ADC之间的数量关系，并说明理由． 8．综合与实践 【问题情境】 如图1，小颖将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在射线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点B'与点D重合时，请直接写出四边形BEDF是哪种特殊的四边形？ 答：　 　． 【问题解决】 （2）在矩形纸片ABCD中，若边AB＝2，． ①请判断A'B'与对角线AC的位置关系并仅就图3给出证明； ②当B'D＝1时，请直接写出此时AE的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$