6.1.3 向量的减法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6．1.3　向量的减法 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　相反向量 与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作________. (1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0. (2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝________. (3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点二　向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________． (2)三角形法则：已知a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为____________指向____________的向量． －a 0 相反向量 从向量b的终点 向量a的终点 状元随笔　1.准确理解向量减法的三角形法则 (1)向量减法是向量加法的逆运算． 设＋＝，则＝－， 如图，设 ＝， ＝． 由向量加法的三角形法则可知 ＝ ＋， ∴ ＝ －＝－． (2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量． (3)以向量＝，＝为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝＋， ＝－， ＝－. 2．若，是不共线向量，|＋|与|－|的几何意义比较，如图所示，设＝，＝．根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝＋，＝－．因为四边形OACB是平行四边形，所以|＋ |＝||，|－ |＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 基 础 自 测 1．(多选)非零向量m与n是相反向量，下列正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 答案：BCD 解析：非零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|. 2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b 答案：D 解析：＝＝－＝－a－b. 3.－＝________． 解析：＝. 4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________. 解析：＝＝＝a－b＋c. a－b＋c 课堂探究·素养提升 题型1　已知向量作差向量[经典例题] 例1　(1)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d； 【解析】 作法，如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.则＝a－b，＝c－d. (2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围． 【解析】　因为|||－|||≤||≤||＋||， 且||＝9，||＝6， 所以3≤||≤15. 当与同向时，||＝3； 当与反向时，||＝15. 所以||的取值范围为[3，15]. 方法归纳 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 跟踪训练1　(1)如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c； 先作－，再作－－. 解析：如图所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量＝(a－b)－c.则向量即为所求作的向量a－b－c. (2)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 答案：C 解析：由||＝||可知，与垂直，故△ABC为直角三角形，||即斜边BC的中线，所以||＝2. 题型2　向量的减法运算[经典例题] 例2　化简(－)－(－). 【解析】　方法一　(统一成加法)()－ ()＝＝ ＝＝＝0. 方法二　(利用＝)　()－()＝＝()－＝＝＝0. 方法三　(利用＝)　设O是平面内任意一点，则()－()＝＝()－()－()＋()＝＝0. 方法归纳 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 跟踪训练2　(1)在四边形ABCD中，－－＝________； 利用加法、减法的三角形法则求解． 解析：＝＝()＋＝＝. (2)化简下列各向量的表达式： ①＋－；②(－)－(－)；③(＋＋)－(－－). 解析：①＝＝. ②()－()＝()－()＝＝0. ③()－()＝()－()＝＝0. 题型3　向量加减运算几何意义的应用——利用已知向量表示未知向量[直观想象、逻辑推理、数学运算] 例3　(1)已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，用a，b分别表示向量，； 【解析】　如图所示，由向量求和的平行四边形法则可知 ＝＝a＋b. 按照减法的定义可知 ＝＝a－b. (2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 【解析】　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝＝b－a， 故＝＝b－a＋c. 状元随笔　由平行四边形的性质可知 ＝＝，由向量的减法可知：＝－，由向量的加法可知＝＋. 方法归纳 利用已知向量表示其他向量的思路 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法． 常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－ (M，N均是同一平面内的任意点). 跟踪训练3　如图，解答下列各题： (1)用a，d，e表示； (2)用b，c表示； (3)用a，b，e表示； (4)用d，c表示. 利用三角形法则，用已知向量表示未知向量． 解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则 (1)＝＝a＋d＋e. (2)＝＝－＝－b－c. (3)＝＝a＋b＋e. (4)＝－＝－()＝－c－d. $$