2.4圆的方程同步练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4圆的方程同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．以为圆心，且经过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．圆关于直线（，）对称，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 3．“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 6．已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆经过两点，且圆心在直线上，则过点的直线与圆相交所截最短弦长为（    ） A．1 B． C． D．2 8．在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（    ） A． B．3 C．3或 D．2 二、多选题 9．若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 10．已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 11．已知直线，，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，为坐标原点，则（    ） A．直线过定点，直线过定点 B． C．的最小值为7 D．若，，则恒满足 三、填空题 12．已知三角形ABC三个顶点的坐标分别是，则三角形ABC外接圆的方程是 . 13．已知A、B为圆C：上两个不同的点（C为圆心），且满足，则 ． 14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 四、解答题 15．已知点，，，直线与轴交于点. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 16．已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 17．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 18．已知圆过点，且圆心在直线上. (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的截距式. (2)若点在直线上运动，求的最小值. 19．长度为6的线段，设线段中点为G，线段的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动. (1)求点G的轨迹方程； (2)设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N.试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】利用圆的定义及标准方程计算即可. 【详解】由题意知，圆心是，圆的半径， 所以圆的方程为． 故选：B． 2．A 【分析】根据题意可知直线经过圆心，整理得（，），结合基本不等式运算求解. 【详解】由圆可得标准方程为， 即圆心为， 因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心， 即，整理得（，）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A． 3．A 【分析】 求出圆心坐标，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程. 【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 故选：A 4．C 【分析】分析可知曲线为以为圆心，半径的上半圆，，根据圆的性质结合图形分析求解. 【详解】因为整理得， 表示以为圆心，半径的上半圆， 设，则，如图所示：    当三点共线时，取到最小值， 当为半圆的右端点时，取到最大值， 即，则， 所以的取值范围是. 故选：C. 5．C 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 6．D 【分析】先给出点的坐标，所求直线应平行于已知直线，且点到这两条直线的距离相等. 【详解】点坐标为，设所求直线方程为 则有 两直线不能重合， 所以 故选：D. 7．B 【分析】设圆心为，半径为，代点求得圆方程，当直线与垂直时，弦长最短. 【详解】设圆的圆心为，半径为， 代入两点有， 解得圆， 圆心，设圆心到直线的距离为， ， 则弦长为，当直线与垂直时，弦长最短为. 故选：B. 8．B 【分析】由已知得，求得的方程，进而得，设，则，从而根据平面向量的数量积求出结果. 【详解】如图，由已知得，则，所以的方程为．    由解得． 设，则，从而． 所以，解得或． 又，所以，即点A的横坐标为3． 故选：B． 9．AD 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 10．BD 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断. 【详解】因为，即， 所以圆心为，半径，故A错误； 又，所以点在圆外，故B正确，C错误； 因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确. 故选：BD 11．AB 【分析】直线方程化简为点斜式，可确定判断A；可判断B；根据在以为直径的圆上，可确定的最小值；根据D，可写出点轨迹方程，与题意冲突，可判断D. 【详解】对于A：可化作，可发现过定点， 同理，过定点，A正确； 对于B：因为，所以恒成立， 因此是以为直径的圆上的点，根据定义，，B正确； 对于C：由题可知的中点为，， 所以在圆上，所以，C错误； 对于D：设，若，则， 化简可得：，与的方程不符合，D错误． 故选：AB． 12．（或） 【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解； 解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解. 【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中. 由题意得解得满足， 所以外接圆的方程为. 解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆. 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 故答案为：（或） 13．2 【分析】利用数量积的运算律，结合圆的性质计算即得， 【详解】依题意，， 由，得，解得， 所以. 故答案为：2 14． 【分析】首先设，代入两点间的距离求和，最后整理方程. 【详解】设，由，得， 可得：，即， 整理得，故动点的轨迹方程为. 故答案为：. 15．(1) (2). 【分析】（1）根据题意求出直线的方程，再令即得； （2）由（1）中的点坐标知，故的外接圆即以为直径的圆，计算即得. 【详解】（1）由题意，，故直线的斜率， 所以直线的方程为. 因为点在轴上，令，得， 所以点的坐标为. （2）因为的顶点坐标分别为，，， 所以，所以的外接圆是以为直径的圆. 又中点为， 所以外接圆的圆心为，半径为， 所以的外接圆的方程为. 16．(1)； (2). 【分析】（1）求出点的坐标，进而求出直线的斜率，再结合垂直关系求出直线的方程. （2）由圆的性质可得线段的中垂线过原点，再借助圆的定义求出轨迹方程即得. 【详解】（1）设点，由，得，直线的斜率，而， 所以直线的方程为，即. （2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心， 又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即， 显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外）， 所以点的轨迹方程是. 17．(1) (2) 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程. （2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 18．(1) (2)20 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，联立求出圆心，再求出点关于直线的对称点，结合反射光线恰好平分圆的圆周，可知知圆心在反射光线上，即可求得直线的点斜式，继而化为截距式； （2）设，求出设为表达式，结合二次函数的最值，即可求得答案. 【详解】（1）由可得，线段的中点为， 故线段的垂直平分线方程为，即， 联立， 即圆心为，半径为， 故圆的方程为； 设点关于直线的对称点为，则， 解得，即，根据光路可逆知在反射光线上； 又反射光线恰好平分圆的圆周，可知在反射光线上； 故，则方程为，即， 故的截距式方程为； （2）点在直线上运动，故设， 则， 当时，取得最小值20. 19．(1)； (2)，证明见解析. 【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG的长度，进而判断出G的轨迹，得到轨迹方程； （2）写出四点的坐标，联立直线与直线的方程求出点M的坐标，联立直线与直线的方程求出N的坐标，再利用坐标求出并与进行比较即可. 【详解】（1）在中，因为G是线段PQ的中点，所以， 所以G的轨迹为以O为圆心，以3为半径的圆， 所以G的轨迹方程为. （2），证明如下： 依题意，下列各点坐标为， 直线的方程为. 因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点， 故设，且. 设直线的方程为， ，解得，即. 设直线的方程为， ，解得，即. 所以          ， 又， 所以.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$