第2章 代数式 习题课件 - 2024--2025学年浙教版七年级数学上册

第2章　代数式 2．1　代数式的概念和列代数式 第1课时　代数式的概念和列简单的代数式 第 1 页 1．把数与表示数的字母用 连接而成的式子叫作代数式． 2．单独一个字母或者一个数也是 ． 运算符号 代数式 第 1 页 (射洪期中)有下列各式： (1)1 a2b；(2)a·3；(3)20%x； (4)－b÷c；(5)；(6)m－3 ℃.其中符合书写要求的有(　　) A．5个　　　　　　B．4个 C．3个 D．2个 第 1 页 【思路分析】根据用字母表示数的书写要求，对各小题的式子进行判断． 【自主解答】 (1)(2)(4)(6)均不符合书写要求，(3)(5)书写正确．故选D. 第 1 页 【名师支招】用字母表示数的书写要求：(1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；(2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；(3)带分数要写成假分数的形式． 第 1 页 【易错原因】对用字母表示数的书写了解不透彻 下列式子中符合规范书写要求的是(　　) A．－1x B．1 xy C．0.3÷x D．－ a 【自主解答】 D 第 1 页 知识点一：代数式的概念 1．在2x2，1－2x＝0，ab，a＞0，0，，π中，是代数式的有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 A 第 1 页 2．下列各式中是代数式的是( ) A．S＝πr2 B．2a＞b C．3x＋y D．π≈3.14 C 第 1 页 知识点二：代数式的书写 3．下列式子中，代数式书写规范的是( ) A．x·6y B．5x2y C. D．x×2·y÷z B 第 1 页 知识点三：用字母表示数 4．用代数式表示“a与b的差的3倍”，正确的是( ) A．3(a－b) B. C．3a－b D．a－3b A 第 1 页 5．苹果的单价为a元/kg，买3 kg苹果需( ) A．a元 B．3a元 C．(a－3)元 D．2a元 B 第 1 页 6．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知这个月的总成本为5 000元，若该厂每月生产x只(x取正整数)，则每只玩具熊猫的成本表示为( ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 C 第 1 页 7．某商店上月收入为a元，本月的收入比上月的2倍还多10元，则本月的收入是(　　) A．(2a＋10)元 B.(10－2a)元 C.2a元 D．(2a－10)元 A 第 1 页 8．一个三位数的百位数字是a，十位数字是0，个位数字是b，这个三位数是 . 100a＋b 第 1 页 9．某县去年城镇居民人均可支配收入为x万元，与前年相比增长y%，则前年城镇居民人均可支配收入为( ) A．x(1－y%) 万元 B．x(1＋y%) 万元 C. 万元 D. 万元 D 第 1 页 10．有一人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一人传染了m人，则第二轮被传染上流感的人数是( ) A．m＋1 B．(m＋1)2 C．m(m＋1) D．m2 C 第 1 页 11．一筐苹果总重x kg，筐本身重2 kg，若将苹果平均分成5份，则每份 重 kg. 12．教学楼大厅的面积为S m2，如果某种长方形地毯的长为a m，宽为 b m，那么大厅需铺这样的地毯 块． 第 1 页 13．用代数式表示下列各数： (1)比x的3倍小1.2的数； (2)比m的一半大n的数； 解：3x－1.2. 解： m＋n. 第 1 页 (3)比23的a倍大c的数； (4)比b的倒数小 a的数． 解：23a＋c. 解： － a. 第 1 页 14．用字母表示图中阴影部分的面积． 第 1 页 解：(1)2a－π( )2＝2a－π. (2)ad＋(b－d)c. 第 1 页 15．(核心素养·数据分析)全国统一鞋号后，成年男鞋共有14种尺码，其中最小的尺码是23.5 cm，各相邻的两个尺码都相差0.5 cm，如果从尺码最小的鞋开始标号，所对应的尺码如下表所示． (1)标号为7的鞋的尺码为多少？ (2)标号为m的鞋的尺码用m如何表示？(m为1～14中的整数) 标号 1 2 3 … 14 尺码 23.5 23.5＋1× 23.5＋2× … 23.5＋13× 第 1 页 解：(1)23.5＋(7－1)×＝26.5 (cm)． 答：标号为7的鞋的尺码为26.5 cm. (2)标号为m的鞋的尺码用m表示为 [23.5＋ (m－1)] cm.(m为1～14中的整数) 第 1 页 16．某生物老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验(单位：粒)，每组种子数依次是5，7，9，11，13，…，则第n组种子数是 ( ) A．(2n＋1)粒 B．(2n－1)粒 C．(2n－3)粒 D．(2n＋3)粒 D 第 1 页 $$复习提升(二)　代数式 第 1 页 【重难点突破】 重难点一：代数式及其值 1．(富川县期末)用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是( ) A．2(a－b)2 B．2a－b2 C．(2a－b)2 D．(a－2b)2 C 第 1 页 2．(环江县期末)若x＝－2，y＝1，则代数式x2－xy－1的值为( ) A．－3 B．5 C．1 D．－7 B 第 1 页 3．当a取任何值时，存在含a的代数式的值总是非负数，则这个代数式可以是 ． 4．(渌口区期中)若练习本每本a元，铅笔每支b元，那么代数式8a＋3b表示的意义是 ． a2(答案不唯一) 买8本练习本和3支铅笔需要的钱数 第 1 页 重难点二：整式的相关概念 5．下列式子：x2＋1，，，－5x，0中，整式的个数是( ) A．2 B．5 C．4 D．3 C 第 1 页 6．(弥勒期末)下列结论中正确的是(　　) A．单项式－ xy2z的系数是－，次数是4 B．单项式m的次数是1，没有系数 C．单项式 的系数是 ，次数是3 D．多项式2x2＋xy＋53是三次三项式 A 第 1 页 7．若2xmy3与－3xyn是同类项，则m＋n的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 C 第 1 页 8．把多项式7－5x3＋10x－6x2按x降幂排列得 . 9．多项式x4＋(a－2)x3－(b＋1)x－3与多项式x4＋3x3－4x－3相等，则a＝ ，b＝ . －5x3－6x2＋10x＋7 5 3 第 1 页 重难点三：整式的加减 10．(港南区期中)下列计算中正确的是( ) A．3a2－a2＝3 B．m＋n＝2m2 C．3x2＋x2＝4x5 D．5x2y3－5y3x2＝0 D 第 1 页 11．(岑溪期末)将(3x＋2)－2(2x－1)去括号正确的是( ) A．2x＋2－2x＋1 B．3x＋2－4x＋1 C．3x＋2－4x－2 D．3x＋2－4x＋2 D 第 1 页 12．(青秀区期中)若多项式36x2－3x＋5－(－3x3－12mx2＋5x－7)化简后不含二次项，则m3的值是 . －27 第 1 页 13．化简：x－3(1－2x＋x2)＋2(－2＋3x－x2)． 解：原式＝x－3＋6x－3x2－4＋6x－2x2 ＝(－3x2－2x2)＋(x＋6x＋6x)＋(－3－4) ＝－5x2＋13x－7. 第 1 页 14．(港南区期末)有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空：b－c 0，a＋b 0，c－a 0； (2)化简：|b－c|＋|a＋b|－|c－a|. ＜ ＜ ＞ 第 1 页 解：(2)b－c＜0，a＋b＜0，c－a＞0， 原式＝c－b＋(－a－b)－(c－a) ＝c－b－a－b－c＋a ＝－2b. 第 1 页 重难点四：规律探究 15．观察下列等式： 第1个等式：a1＝＝ ×(1- )； 第2个等式：a2＝＝ ×( - )； 第3个等式：a3＝＝ ×( - )； … 第 1 页 请回答下列问题： (1)按上述等式的规律，列出第4个等式： a4＝ ＝ ； (2)用含n的式子表示第n个等式． 解：(2)an＝ ＝×( - ). 第 1 页 重难点五：整式加减运算的应用 16．如图，学校要利用专款建一长方形的自行车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为(2a＋3b)m，宽比长少(a－b)m. (1)用a，b表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若a＝30，b＝10，每米护栏造价80元，求建此停车场所需的费用． 第 1 页 解：(1)依题意得长方形停车场的宽为(2a＋3b)－(a－b)＝(a＋4b)m. (2)护栏的总长度为2(a＋4b)＋(2a＋3b)＝(4a＋11b)m. (3)由题意得(4×30＋11×10)×80＝18 400(元)． 答：若a＝30，b＝10，每米护栏造价80元，建此车场所需的费用是18 400元． 第 1 页 【综合与实践】 17．阅读理解： 阅读下面方框内的材料，解答相应的问题： 对称式： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式．例如：式子abc中任意两个字母交换位置，可得到式子bac，acb，cba，因为abc＝bac＝acb＝cba，所以abc是对称式．而式子a－b中字母a，b交换位置，得到式子b－a，因为a－b≠b－a，所以a－b不是对称式． 第 1 页 问题解决： (1)给出下列式子：①a＋b＋c，②a2b，③a2＋b2，④b，其中是对称式的是 (选填序号)； (2)①写出一个系数为－2，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； ①③ 第 1 页 解：(2)①根据题意可写出对称式为－2a4b4. ②根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式为a2b＋ab2＋1或2a3＋2b3－1(系数相同加上常数即可，答案不唯一)． 第 1 页 拓广探索： (3)已知A＝a2b－2b2c＋ ac2，B＝a2b－4b2c，求5A－3B，并直接判断所得结果是否是对称式． 第 1 页 (3)原式＝5(a2b－2b2c＋ ac2)－3(a2b－4b2c) ＝5a2b－10b2c＋2ac2－3a2b＋12b2c ＝5a2b－3a2b－10b2c＋12b2c＋2ac2 ＝2a2b＋2b2c＋2ac2， 根据对称式的定义，可知2a2b＋2b2c＋2ac2不是对称式． 第 1 页 $$第2课时　列代数式 第 1 页 用字母表示数，字母和数一样可以参与 ，可以用式子把 简明地表示出来． 运算 数量关系 第 1 页 (长沙中考)为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为(　　) A．8x元 B．10(100－x)元 C．8(100－x)元 D．(100－8x)元 【思路分析】根据题意，用字母表示数，由总价＝单价×数量列代数式． 【自主解答】 C 第 1 页 说出下列代数式的意义： (1)圆珠笔每支售价a元，练习簿每本售价b元，那么3a＋4b表示什么？ (2)长方形的长、宽分别为a，b，那么a(b＋1)表示什么？ 【自主解答】 (1)3a＋4b表示3支圆珠笔与4本练习簿的总价格． (2)a(b＋1)表示长为a，宽为(b＋1)的长方形的面积． 第 1 页 【易错原因】混淆平方和(差)与和(差)的平方 “a的2倍与b的和的平方”用式子表示为 ；“a与b的平方差”用式子表示为 . 【自主解答】 (2a＋b)2　a2－b2 第 1 页 知识点一：列代数式 1．用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”，正确的是( ) A．(2a＋b)2 B．2(a＋b)2 C．2a＋b2 D．(a＋2b)2 C 第 1 页 2．买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买3个足球和2个篮球共需 ( ) A．5mn元 B．6mn元 C．(3m＋2n)元 D．(2m＋3n)元 C 第 1 页 3．某件商品按原售价降低a元后，又降20%，现售价为b元，那么该商品的原价为( ) A.( b＋a)元 B.( b＋a )元 C．(5b＋a)元 D．(5a＋b)元 B 第 1 页 4．[教材P68例4(4)变式]春节游广西，探寻千年古韵，品味地道年味！有游客m人，到北海银滩游玩，需要住宿，如每n个人住一间房，结果还有一个人无房住，则客房的间数是( ) A. B.－1 C. D.＋1 A 第 1 页 5．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20 m3，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋2)元．该地区某家庭上月用水量为25 m3，则应缴水费 元． [20a＋5(a＋2)] 第 1 页 知识点二：代数式的意义 6．下列代数式的意义表述中不正确的是(　　) A．a＋2b的意义是a与2b的和 B．x－ 的意义是x与 的差 C．m(n＋3)的意义是m乘以(n＋3) D．(a＋b)2的意义是a加上b的平方 D 第 1 页 7．关于代数式7a的意义说法错误的是( ) A．表示7与a的和 B．表示7与a的积 C．表示单价为7元的钢笔买了a支的总价 D．表示这个长方形的面积 A 第 1 页 8．一个长方形的花园长为a，宽为b，如果长增加x，那么新的花园面积为( ) A．a(b＋x) B.b(a＋x) C．ab＋x D．a＋bx B 第 1 页 9．某商场书包原价为m元，在9月份开学之季，商家开展优惠活动，现售价为(0.8m－30)元，则下列说法中，符合题意的是( ) A．原价减30元后再打8折 B．原价打8折后再减30元 C．原价打2折后再减30元 D．原价减30元后再打2折 B 第 1 页 10．一种储蓄的年利率为a%，存入本金一年后的本息和为b元，则存入的 本金为 元．(本息和＝本金＋利息) 第 1 页 11．某轮船顺水航行3 h，已知轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，轮船共航行 km. 12．(西城区期中)如果一个足球价格为a元，那么3a可以表示3个足球的总价．类似地，请赋予式子4x＋2y一个实际意义： 0 ． 3(a＋b) 已知一支钢笔4元，一 支铅笔2元，购买x支钢笔和y支铅笔共计(4x＋2y)元(答案不唯一) 第 1 页 13．将下列代数式用文字语言表示： (1)(a＋b)2； (2)a2＋b2. 能说出这两个式子有什么不同吗？ 第 1 页 解：(1)(a＋b)2表示a与b的和的平方． (2)a2＋b2表示a与b的平方和． 第一个式子先算和，再算乘方，第二个式子先算乘方，再算和． 第 1 页 14．某校准备组织教师去桂林旅游，甲旅行社说：“如果买一张全票，其余人享受半价优惠”．乙旅行社说：“全部按全票价的6折优惠”．若全票价为1 780元，设教师人数为x，甲旅行社的收费为y甲，乙旅行社的收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费．(用代数式表示) 第 1 页 解：y甲＝1 780＋×1 780×(x－1) ＝1 780＋890(x－1)(元)， y乙＝0.6×1 780x＝1 068x(元)． 第 1 页 15．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，… 第 1 页 (1)按此规律摆下去，第6个图案有多少个三角形； (2)按此规律摆下去，第n个图案有多少个三角形(用含n的代数式表示)． 第 1 页 解：(1)第1个图案有4个三角形，即4＝3×1＋1， 第2个图案有7个三角形，即7＝3×2＋1， 第3个图案有10个三角形，即10＝3×3＋1， 第4个图案有13个三角形，即13＝3×4＋1， … 第6个图案有19个三角形，即3×6＋1＝19. 第 1 页 (2)按此规律摆下去， 第n个图案有(3n＋1)个三角形． 第 1 页 $$2．2　代数式的值 第 1 页 1．如果把代数式里的字母用一个 代入，那么计算后得出的结果叫作这个代数式的一个值． 2．代数式里的字母可以用不同的数代入，但所取的数值必须使 和它表示的 有意义． 数 代数式 实际数量 第 1 页 当a＝2，b＝－1，c＝－3时，求下列各代数式的值： (1)b2－4ac; (2)a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac； (3)(a＋b＋c)2. 【思路分析】把a，b，c的值代入各式计算即可求出值． 第 1 页 【自主解答】 (1)当a＝2，b＝－1，c＝－3时， b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－3) ＝1＋24＝25. 第 1 页 (2)当a＝2，b＝－1，c＝－3时， a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ＝22＋(－1)2＋(－3)2＋2×2×(－1)＋2×(－1)×(－3)＋2×2×(－3) ＝4＋1＋9－4＋6－12＝4. (3)当a＝2，b＝－1，c＝－3时， (a＋b＋c)2＝(2－1－3)2＝ 4. 第 1 页 【名师支招】求代数式的值一般分为两个步骤∶ 第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”； 第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称“计算”． 代入求值时常用的方法有直接代入法和整体代入法． 第 1 页 知识点一：直接代入法 1．当x＝1时，代数式4－3x的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A 第 1 页 2．若x＝－3，y＝1，则2x－y＋1的值为(　　) A．6 B．4 C．－3 D．－6 D 第 1 页 3．若x＝1，则|x－4|的值是(　　) A．3 B.－3 C．5 D．－5 A 第 1 页 4．当a＝2，b＝3时，(a＋b)2 a2＋b2(选填“>”“<”或“＝”)． 5．当x＝－2时，代数式 的值是 . ＞ - 第 1 页 6．当a＝－1，b＝2，c＝3时，求下列代数式的值： (1)3a－2b＋c; 　　 解：原式＝3×（－1）－2×2＋3 ＝－4. 第 1 页 (2) . 解：原式＝ ＝－. 第 1 页 知识点二：求代数式的值的应用 7．人们通常用c表示摄氏温度(℃)，f表示华氏温度( )，c与f之间的关系式为c＝ (f－32)，当华氏温度为59 时，摄氏温度为(　　) A．－15 ℃ B．15 ℃ C．112.6 ℃ D．95.8 ℃ B 第 1 页 8．(新邵县模拟)我们在计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”来计算，计算方法如下：假定每个小方格的边长为1个单位长度，S为图形的面积，L是边界上的格点数，N是内部格点数，则有S＝＋N－1，请根据此方法计算图中四边形ABCD的面积S＝ . 21 第 1 页 9．当x＝7与x＝－7时，代数式3x4－2x2＋1的两个值( ) A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．既不相等也不互为相反数 A 第 1 页 10．若(2m＋1)2＋2|n－3|＝0，则代数式mn的值是( ) A．－ B．－ C. D．8 B 第 1 页 11．若m－n＝2，则(m－n)2－2(m－n)的值为 . 0 第 1 页 12．按照如图所示的程序计算，当输入n的值为－3时，则输出的结果是 . 132 第 1 页 13．人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关，如果用a表示一个人的年龄，b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么有b＝0.8(220－a)． (1)正常情况下，一个15岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ (2)一个45岁的人运动时，10 s的心跳次数为22次，他有危险吗？ 第 1 页 解：(1)当a＝15时， b＝0.8(220－a)＝0.8×(220－15)＝164(次)． 答：在运动时一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次． 第 1 页 (2)因为10 s心跳次数为22次， 所以1 min心跳次数为22×6＝132(次)， 当a＝45时，b＝0.8(220－a) ＝0.8×(220－45)＝140＞132， 所以这个人没有危险． 第 1 页 14．如图，试用字母a，b表示阴影部分的面积，并求出当a＝12，b＝4时各阴影部分的面积．(π取3.14) 第 1 页 解：图①：S阴影＝ab－π×( )2× ＝ab－ b2. 当a＝12，b＝4时，S阴影≈41.72. 图②：S阴影＝a2＋b2－a(a＋b)× ＝a2＋b2－ (a＋b)． 当a＝12，b＝4时，S阴影＝64. 第 1 页 15．对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法： 第 1 页 如图①，分别过三角形的顶点A，C作铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；过点B作铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高．则三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半，即S＝ dh. 如图②，每个小方格的边长为1，A，B，C，D均在格点(方格线的交点)上，请根据以上方法计算图②中三角形ABC的面积S＝ . 20 第 1 页 $$2.3 整式的概念 第1课时　整式的概念 第 1 页 1．由数与字母及其幂的 组成的代数式叫作单项式，单独一个 也可看作单项式． 2．单项式中，与字母相乘的数叫作单项式的 ，所有字母的指数的 叫作单项式的次数，单独一个不为0的数其次数为 . 3．几个单项式的 叫作多项式，其中的每个 叫作多项式的项，不含字母的项叫作 ，次数最高的项的次数叫作这个多项式的 . 4．习惯上把单项式和多项式统称为 ． 乘积 数 系数 和 0 和 单项式 常数项 次数 整式 第 1 页 单项式－22x2y3的系数是______，次数是______. 【思路分析】不要把系数的指数当作字母的指数一同计算． 【自主解答】 －4　5 第 1 页 说出下列多项式的项、常数项、次数． (1)－9x＋21；　(2)5x2－2x＋7. 【思路分析】在识别多项式的各项时，应连同它们前面的符号． 【自主解答】 (1)－9x＋21的项是－9x，21，常数项是21，次数是1. (2)5x2－2x＋7的项是5x2，－2x，7，常数项是7，次数是2. 第 1 页 【名师支招】 1．单项式的系数是指单项式中的数字因数，并且包括它前面的符号． 2．单项式的次数是指所有字母的指数的和，不包括系数中的指数． 3．多项式的次数是由多项式中次数最高的单项式的次数来决定的，求多项式的次数必须通过求组成多项式中每一个单项式的次数才能得到． 第 1 页 知识点一：单项式的概念 1．下列代数式中，不是单项式的是( ) A．－3x2 B．a C．3 D. D 第 1 页 2．单项式－2a2b的系数和次数分别是( ) A．－2和2 B．－2和3 C．2和2 D．2和3 B 第 1 页 3．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是( ) A．－2xy2 B．3x2 C．2xy3 D．2x3 D 第 1 页 4．指出下列单项式的系数和次数． (1)－3x5; (2)a3bc2; (3)－1; (4) . 解：(1)－3x5的系数是－3，次数是5. (2)a3bc2的系数是1，次数是6. (3)－1的系数是－1，次数是0. (4) 的系数是 ，次数是1. 第 1 页 知识点二：多项式的概念 5．下列式子 ab，，＋，x2＋x－3中，多项式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 第 1 页 6．指出下列多项式的项、次数和常数项． (1)x4－x2－1；(2)－3a2－3b2＋1. 解：(1)x4－x2－1的项是x4，－x2，－1，次数是4，常数项是－1. (2)－3a2－3b2＋1的项是－3a2，－3b2，1，次数是2，常数项是1. 第 1 页 知识点三：整式的概念 7．在3x2，－5，，，ax－by，x2－ y2中，整式有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C 第 1 页 8．一个五次多项式，它的任何一项的次数(　　) A．都小于5 B．都等于5 C．都不小于5 D．都不大于5 D 第 1 页 9．下列说法中正确的是( ) A．－mn的系数是－1 B．－22x2y2是五次单项式 C．ab＋a－6的常数项是6 D．3x2y2＋2xy＋x2是三次多项式 A 第 1 页 10．若3xa＋1－b＋2是一个四次单项式，则(－b)a的值为( ) A．9 B．8 C．－9 D．－8 D 第 1 页 11．如图是一名同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，则补充的内容可以是 ． 2x3(答案不唯一) 第 1 页 12．如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式，如：x3＋3xy2＋4xz2＋2y3是3次齐次多项式，若ax＋3b2－6ab3c2是齐次多项式，则x的值是 . 1 第 1 页 13．已知多项式 xm＋1y2＋xy－4x3＋1是六次多项式，单项式 x2ny5－m与该多项式的次数相同，求(－m)3＋2n的值． 解：由题意，得m＋1＋2＝6，2n＋5－m＝6， 解得m＝3，n＝2, 则(－m)3＋2n＝(－3)3＋2×2 ＝－27＋4 ＝－23. 第 1 页 14.已知整式(a－1)x3－2x－(a＋3)． (1)若它是关于x的一次多项式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 第 1 页 解：(1)若它是关于x的一次式，则a－1＝0， 所以a＝1，常数项为－(a＋3)＝－4. (2)若它是关于x的三次二项式， 则a－1≠0，a＋3＝0， 所以a＝－3，最高次项为－4x3. 第 1 页 15．【观察与发现】x2y，－3x2y2，5x2y3，－7x2y4，9x2y5，－11x2y6，…. (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第n(n大于0的整数)个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 13x2y7 －15x2y8 第 1 页 解：(1)由题意可知 单项式的系数依次为1，－3，5，－7，9，－11，…，(－1)n＋1(2n－1)， y的指数依次为1，2，3，4，5，6，…，n， 故第7个单项式是13x2y7， 第8个单项式是－15x2y8. 故答案为13x2y7，－15x2y8. 第 1 页 (2)由(1)可得出第n个单项式为 (－1)n＋1(2n－1)x2yn， 它的系数为(－1)n＋1(2n－1)，次数为2＋n. 第 1 页 $$第2课时　合并同类项 第 1 页 1．把所含字母 并且相同字母的 也相同的 称为同类项． 2．一般地，在多项式中，要把同类项的系数 合并成一项，这叫作合并同类项．合并同类项时，字母和字母的指数 ． 3．合并同类项后，多项式的次数和项数分别是几，则称此多项式为几次几项式． 4．把只有一个字母的多项式的各项按照该字母的指数由大到小(或由小到大)排列，称为 排列． 相同 指数 单项式 相加 不变 降幂(或升幂) 第 1 页 合并同类项： a2－3ab＋5－a2－3ab－7. 【思路分析】利用乘法的分配律，再根据合并同类项的法则进行计算． 【自主解答】 a2－3ab＋5－a2－3ab－7＝a2＋(－a2)＋(－3ab)＋(－3ab)＋5＋(－7)＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(－2)＝－6ab－2. 第 1 页 【名师支招】合并同类项的方法：(1)合并同类项时，字母和字母的指数不变；(2)若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0；(3)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(4)在一个多项式中，如果含有多个不同的同类项，则可以利用加法交换律、加法结合律和分配律将同类项进行合并． 第 1 页 知识点一：同类项的概念 1．下列单项式中，与单项式2a2b3是同类项的是( ) A．－ab4 B．2a3b2 C．3b3a2 D．－2a2b2c C 第 1 页 2．若－3x2yn与2xmy3是同类项，则m－n的值是( ) A．3 B．2 C．－1 D．－3 C 第 1 页 知识点二：合并同类项 3．合并同类项－4a2b＋3a2b＝(－4＋3)a2b＝－a2b时，依据的运算律是 (　　) A．乘法交换律 B．分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律 B 第 1 页 4．下列运算中，正确的是( ) A．3a＋2b＝5ab B．2a3＋3a2＝5a5 C．5a2－4a2＝1 D．3a2b－3ba2＝0 D 第 1 页 5．若－2xym＋xny3＝－xny3，则m＋n的值是 . 4 第 1 页 6．合并同类项： (1)3ab－a2－2ba－3a2; (2)3a2－1－2a－5＋3a－a2. 解：原式＝ab－4a2. 解：原式＝2a2＋a－6. 第 1 页 知识点三：多项式的排列 7．把多项式2x2y3－x4y＋5＋3x5y2按x的升幂排列后，第三项是( ) A．5 B．－x4y C．2x2y3 D．3x5y2 B 第 1 页 8．将多项式x2y＋6x4＋5x3y2－2按x的降幂排列为 . 6x4＋5x3y2＋x2y－2 第 1 页 知识点四：两个多项式相等 9．下列两个多项式是否相等？ x3－5x2＋3x2－7x＋2，x3－2x2＋5x－12x＋2. 解：因为x3－5x2＋3x2－7x＋2＝x3－2x2－7x＋2， x3－2x2＋5x－12x＋2＝x3－2x2－7x＋2， 所以这两个多项式相等． 第 1 页 10．若关于x的多项式3x3－4x2＋x＋k2x2－5中不含x2项，则k的值为 (　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 C 第 1 页 11．多项式x7y2－3xm－1y3＋xm－2y4＋x3y5是按x的降幂排列，则整数m＝ . 12．如果两个关于x的多项式4x2－bx－5＋c与ax2＋2x－3相等，则a＋bc＝ . 7或6 0 第 1 页 13．把下列多项式合并同类项，并指出它们分别是几次几项式． (1)4xy－3x2－3xy－2xy＋2x2； 解：原式＝(4xy－3xy－2xy)＋(－3x2＋2x2) ＝－xy－x2， 是二次二项式． 第 1 页 (2)a4b－2a3b2－5a2b2＋2b2a3－b5； 解：原式＝a4b－5a2b2－b5， 是五次三项式． 第 1 页 (3)3x4－x3＋x－x4＋3x2－2x2＋3. 解：原式＝2x4－x3＋x2＋x＋3， 是四次五项式． 第 1 页 14．李老师给同学们出了一道题：当a＝0.35，b＝0.28时，求7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3的值．小明说：老师给的a，b的值是多余的．小华说：不给这两个条件就求不出结果，所以不是多余的．谁说的有道理？为什么？ 第 1 页 解：小明说的有道理，理由： 　7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3 ＝(7a3＋3a3－10a3)＋(6a3b－6a3b)＋(3a2b－3a2b)＝0， 即无论a，b 为何值，代数式的值恒为0， 所以小明的说法是正确的． 第 1 页 15．已知关于x，y的多项式xy3－3x4＋x2ym＋2－5mn是五次四项式(m，n为有理数)，且单项式5x4－myn－3的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． 第 1 页 解：(1)由题意可知2＋m＋2＝5， 解得m＝1， 又因为单项式5x4－myn－3的次数与该多项式的次数相同，都是5， 所以4－m＋n－3＝5， 而m＝1，解得n＝5， 所以m＝1，n＝5. 第 1 页 (2)当m＝1，n＝5时， 关于x，y的多项式为xy3－3x4＋x2y3－25， 这个多项式按x的降幂排列为 －3x4＋x2y3＋xy3－25. 第 1 页 16．如果整式A与整式B的和为实数a，我们称A，B为a的“友好整式”，例如：x－4与－x＋5为1的“友好整式”；2ab＋3与－2ab＋4为7的“友好整式”．若关于x的整式2x2＋kx＋6与－2x2－3x＋k－1为n的“友好整式”，求n的值． 第 1 页 解：由题意可知 n＝(2x2＋kx＋6)＋(－2x2－3x＋k－1) ＝2x2＋kx＋6－2x2－3x＋k－1 ＝(k－3)x＋k＋5， 令k－3＝0， 则k＝3， 所以n＝3＋5＝8. 第 1 页 $$2．4　整式的加法与减法 第1课时　去括号 第 1 页 1．一个多项式的相反多项式就是把它的各项 得到的多项式．即和为 的两个多项式互为相反多项式． 2．去括号法则： 括号前是“＋”，可以直接去掉括号，原括号里各项符号都 ； 括号前是“－”，去掉括号和它前面的“－”时，原括号里各项符号均要 ． 反号 0 不变 改变 第 1 页 先去括号，再合并同类项： (5a－3a2＋1)－(4a3－3a2)． 【思路分析】通过去括号、合并同类项对多项式进行化简．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 【自主解答】 原式＝5a－3a2＋1－4a3＋3a2 ＝－4a3＋5a＋1. 第 1 页 【名师支招】 1．去括号法则也可以从分配律的角度来理解，即括号前是“＋”时，相当于用“＋1”乘括号中的每一项；括号前是“－”时，相当于用“－1”乘括号中的每一项． 2．括号前有数字因数时，应利用分配律，先将该数与括号内的各项分别相乘，再去括号． 第 1 页 【易错原因】运用分配律时，易漏乘项 (5a－3b)－3(a2－2b)． 【自主解答】 原式＝5a－3b－3a2＋6b ＝－3a2＋5a＋3b. 第 1 页 知识点一：相反多项式 1．－a＋3b－7的相反多项式是( ) A．a＋3b－7 B．a＋3b＋7 C．a－3b－7 D．a－3b＋7 D 第 1 页 2．多项式2a－3b＋c与多项式 的和为0. －2a＋3b－c 第 1 页 知识点二：去括号 3．化简－(x－3y)的结果是( ) A．x－3y B．－x＋3y C．－x－3y D．x＋3y B 第 1 页 4．下列各式中，去括号错误的是( ) A．a＋(b－c)＝a＋b－c B.a－(b－c)＝a－b＋c C．a＋(－b＋c)＝a－b＋c D.a－(－b－c)＝－a＋b－c D 第 1 页 5．去掉下列各题中的括号： (1)x－( 3y - )＝ ； (2)m＋(－n＋a－b )＝ ； (3)－(－4x－6y＋3 )＝ ； (4)( a＋ b )－( - c＋ )＝ . x－3y＋ m－n＋a－b 4x＋6y－3 a＋ 第 1 页 知识点三：去括号与合并同类项 6．把－3a－(2a－1)去括号，再合并同类项的结果是( ) A．5a－1 B．－5a＋1 C．a－1 D．a＋1 B 第 1 页 7．将下列各式去括号，并合并同类项． (1)(7y－2)－(7－4y)；　　　　 (2)(3x＋2y)＋(4x＋3y)； 解：原式＝7y－2－7＋4y ＝11y－9. 解：原式＝3x＋2y＋4x＋3y ＝7x＋5y. 第 1 页 (3)(2x2－5x)－(3x2－5x＋1); (4)－(x3＋xy)＋(3x3－7xy)． 解：原式＝2x2－5x－3x2＋5x－1 ＝－x2－1. 解：原式＝－x3－xy＋3x3－7xy ＝2x3－8xy. 第 1 页 8．在等式1－a2＋2ab－b2＝1－(　　)中，括号里应填( ) A．a2－2ab＋b2 B．a2－2ab－b2 C．－a2－2ab＋b2 D．－a2＋2ab－b2 A 第 1 页 9．已知a－b＝5，c＋d＝－6，则－(b－c)＋(a＋d)的值为( ) A．－1 B．1 C．－11 D．11 A 第 1 页 10．若多项式mx2－(1－x＋6x2)化简后不含x的二次项，则m的值为 . 6 第 1 页 11．计算： (1)4a4－3a2＋3a－(－a4＋2a2＋a)； 解：原式＝4a4－3a2＋3a＋a4－2a2－a ＝5a4－5a2＋2a. 第 1 页 (2)ab－(4ab＋3b2)－(2a2＋2ab－b2)； 解：原式＝ab－4ab－3b2－2a2－2ab＋b2 ＝－2a2－5ab－2b2. 第 1 页 (3)－(－3a2－2ab＋9)－(5ab＋4a2－6)； 解：原式＝3a2＋2ab－9－5ab－4a2＋6 ＝－a2－3ab－3. 第 1 页 (4)3a2－[7a2－2a－(a2－a)＋1]； 解：原式＝3a2－(7a2－2a－a2＋a＋1) ＝3a2－7a2＋2a＋a2－a－1 ＝－3a2＋a－1. 第 1 页 (5)(2x2y＋5y－y2)－(3y2－2x2y＋3y)． 解：原式＝2x2y＋5y－y2－3y2＋2x2y－3y ＝－4y2＋2y＋4x2y. 第 1 页 12．化简求值：5xy2－[2x2y－(2x2y－3xy2)]，其中x＝1，y＝－. 解：原式＝5xy2－2x2y＋2x2y－3xy2 ＝2xy2. 当x＝1，y＝－ 时， 原式＝2×1×( - )2＝. 第 1 页 13．【阅读材料】 为了简化计算，提高计算速度，我们在日常的加减运算中，通常会利用运算律来计算较长且繁杂的代数式．例如计算1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100时我们可以运用加法的运算律来简化计算，即1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050. 第 1 页 请根据阅读材料给出的方法计算： (1)a＋(a＋m)＋(a＋2m)＋(a＋3m)＋…＋(a＋100m)； (2)(m＋3m＋5m＋…＋2 023m)－(2m＋4m＋6m＋…＋2 024m)． 第 1 页 解：(1)a＋(a＋m)＋(a＋2m)＋(a＋3m)＋…＋(a＋100m) ＝(a＋a＋…＋a)＋(m＋2m＋3m＋…＋100m)， ＝101a＋(m＋100m)×50 ＝101a＋5 050m. 第 1 页 (2)(m＋3m＋5m＋…＋2 023m)－(2m＋4m＋6m＋…＋2 024m) ＝(m－2m)＋(3m－4m)＋(5m－6m)＋…＋(2 023m－2 024m) ＝－m×1 012 ＝－1 012m. 第 1 页 $$第2课时　整式的加减 第 1 页 整式加减的一般步骤：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 ，然后再 ． 去括号 合并同类项 第 1 页 已知A＝3x2＋2x－1，B＝－2x2－3x＋5.求A－2B. 【思路分析】把A＝3x2＋2x－1，B＝－2x2－3x＋5代入A－2B化简即可． 【自主解答】 因为A＝3x2＋2x－1，B＝－2x2－3x＋5，所以A－2B＝(3x2＋2x－1)－2(－2x2－3x＋5)＝3x2＋2x－1＋4x2＋6x－10＝7x2＋8x－11. 第 1 页 【名师支招】 1．两个整式相减时，减式一定要先用括号括起来． 2．整式的加减实质是合并同类项，具体步骤是：去括号，合并同类项． 3．利用分配律去括号时应注意：①连同括号外因数的符号一起运算，同号得正，异号得负；②不得漏乘项． 第 1 页 【易错原因】在求两个整式的差时没有添加括号 已知A＝2x2－7x＋1，B＝3x2＋x－4，C＝5x2－10x－5.求A＋B－C. 【自主解答】 A＋B－C＝2x2－7x＋1＋(3x2＋x－4)－(5x2－10x－5)＝2x2－7x＋1＋3x2＋x－4－5x2＋10x＋5＝2x2＋3x2－5x2＋(－7x＋x＋10x)＋ (1－4＋5)＝4x＋2. 第 1 页 知识点一：多项式的和与差 1．多项式－a2－1与3a2－2a＋1的和为( ) A．2a2－2a B．4a2－2a＋2 C．4a2－2a－2 D．2a2＋2a A 第 1 页 2．多项式x2－y2减去x2＋y2所得的差是(　　) A．－2y2 B．2y2 C．2x2 D．－2x2 A 第 1 页 3．一个整式与x2－y2的和是x2＋y2，则这个整式是(　　) A．2x2 B．2y2 C．－2x2 D．－2y2 B 第 1 页 知识点二：整式的加减 4．已知M＝2a＋b，N＝4a－3b，则2M－N的结果为( ) A．－2b B．－b C．4b D．5b D 第 1 页 5．化简： (1)2(2a－b)－(2b－3a)； 解：原式＝4a－2b－2b＋3a ＝7a－4b. 第 1 页 (2)2x2－3(x2＋x－1)＋(x2－x＋2)． 解：原式＝2x2－3x2－3x＋3＋x2－x＋2 ＝－4x＋5. 第 1 页 知识点三：整式的加减求值 6．先化简，再求值： (1)(4a＋3a2－3＋3a3)＋(a－4a3)，其中a＝－2； 解：原式＝4a＋3a2－3＋3a3＋a－4a3＝－a3＋3a2＋5a－3. 当a＝－2时，原式＝－(－2)3＋3×(－2)2＋5×(－2)－3＝7. 第 1 页 (2)2(2x－3y)－(3x＋2y＋1)，其中x＝2，y＝－0.5. 解：原式＝4x－6y－3x－2y－1＝x－8y－1. 将x＝2，y＝－0.5代入，得 原式＝2－8×(－0.5)－1＝2＋4－1＝5. 第 1 页 知识点四：整式加减的应用 7．若长方形的长是3a，宽是2a－b，则长方形的周长是( ) A．10a－2b B．10a＋2b C．6a－2b D．10a－b A 第 1 页 8．化简 (－4x2＋2x－8)－( x -1 )的结果为( ) A．－x2－3 B．－x2－1 C．x2＋3 D．－x2＋1 B 第 1 页 9．已知x－3y＝4，那么代数式x－3y－3(y－x)－2(x－3)的值为( ) A．12 B．13 C．14 D．16 C 第 1 页 10．某校组织若干师生到德天瀑布进行社会实践活动．若学校租用45座的客车x辆，则余下20人无座位；若租用60座的客车则可少租用2辆，且最后一辆还没坐满，则乘坐最后一辆60座客车的人数是( ) A．(200－60x)人 B．(140－15x)人 C．(200－15x)人 D．(140－60x)人 C 第 1 页 11．若m，n互为相反数，则2(m－3n)＋4(2n－1)的值为 . －4 第 1 页 12．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中(x－1)2＋ |y＋1|＝0. 解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y ＝－5x2y＋5xy， 因为(x－1)2＋|y＋1|＝0， 所以x＝1，y＝－1， 所以原式＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝0. 第 1 页 13．已知A＝2x2＋3xy－2x－1，B＝－x2＋xy－1，若3A＋6B的值与x的值无关，求y的值． 第 1 页 解：3A＋6B ＝3(2x2＋3xy－2x－1)＋6(－x2＋xy－1) ＝6x2＋9xy－6x－3－6x2＋6xy－6 ＝15xy－6x－9 ＝(15y－6)x－9 因为3A＋6B的值与x的值无关， 所以15y－6＝0，即y＝. 第 1 页 14．对于任意式子A，B，定义A☆B＝2A－3B. (1)求(－4)☆3的值； (2)先化简式子( a - 3 )☆(－a2＋2a＋1)，再求当a＝－2时，该式子的值． 第 1 页 解：(1)(－4)☆3＝2×(－4)－3×3 ＝－17. (2)原式＝2( a -3)－3(－a2＋2a＋1) ＝a－6＋3a2－6a－3 ＝3a2－5a－9， 当a＝－2时， 原式＝3×(－2)2－5×(－2)－9＝13. 第 1 页 微专题4：整式加减中的化简绝对值 第 1 页 【方法指导】先确定绝对值中代数式的正负，再去绝对值．注意绝对值含有括号的作用． 已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b－c|－2|a－b|＋3|c－a|. 第 1 页 【思路分析】因为b－c 0，a－b 0，c－a 0，所以|b－c|＝ ，|a－b|＝ ，|c－a|＝ . 【自主解答】 ＞ ＞ ＜ b－c a－b a－c 由数轴可得c＜b＜0＜a， 所以b－c＞0，a－b＞0，c－a＜0， 所以|b－c|－2|a－b|＋3|c－a| ＝b－c－2(a－b)＋3(a－c) ＝a＋3b－4c. 第 1 页 【针对训练】 1．有理数在数轴上的对应点如图，化简：a＋|a＋b|－|b－a|＝ . a－2b 第 1 页 2．有理数a，b，c在数轴的位置如图，化简：|a|＋|b|＋|a＋b|＋|c－b|＝ . －2a－b＋c 第 1 页 $$