5.2.1 基本初等函数的导数（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

知识复习: 1.求函数在点x0处的导数的方法是: 2.导函数 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. f(x)在x=x0处的导数 f(x)的导函数 x=x0时的函数值 5.2.1 基本初等函数的导数 学习目标: 知识探究1:几种常见函数的导数 0 1 2x 总 结 知识探究2:基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 ① f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ . ②f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝ . ③f(x)＝sinx ④f(x)＝cosx f′(x)＝ . f′(x)＝ . ⑤f(x)＝ax(a>0且a≠1) ⑥f(x)＝ex f′(x)＝ . f′(x)＝ . ⑦f(x)＝logax(a>0且a≠1) ⑧f(x)＝lnx f′(x)＝ . f′(x)＝ . axlna cosx -sinx 0 ex 知识探究2:基本初等函数的导数公式 常函数 幂函数 三角函数 指数函数 对数函数 考点1：求导数 考点2：求切线方程 C [典例2]　曲线f(x)＝2x在点(0,1)处的切线方程为________． [解析]　∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln 2， ∴f′(0)＝ln 2. 故所求切线方程为y－1＝(x－0)ln 2， 即y＝xln 2＋1. [答案]　y＝xln 2＋1 －sin t [大本例4]　已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由。 解：不存在．理由如下：假设曲线y＝sin x，y＝cos x存在一个公共点，其坐标为P(x0，y0)，则这两条曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1， 也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． 故两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直． 综合应用 A 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 －eq \f(1,x2) eq \f(1,2\r(x)) 1.几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝  f(x)＝x f′(x)＝  f(x)＝x2 f′(x)＝  f(x)＝eq \f(1,x) f′(x)＝  f(x)＝eq \r(x) f′(x)＝  求导出错 [典例1]　给出下列命题： ①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝1＝；③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝. 其中正确命题的个数为(　　) A．1　　B．2 C． 3 D．4 [解析]　对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝， ∴y′|x＝1＝，故②正确；显然③，④正确． [典例]点P是曲线y＝ex上任意一点,求点P 到直线y＝x的最小距离. 解:∵(sin x)′＝cos x， ∵kl＝cos x， ∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，eq \f(π,4)]∪[eq \f(3π,4)，π). 1.已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. 2.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为 直线l，则直线l的倾斜角的范围是 (　　) A.[0，eq \f(π,4)]∪[eq \f(3π,4)，π) B.[0，π) C.[eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)] D.[0，eq \f(π,4)]∪[eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)] 3.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围 三角形的面积为________. eq \f(1,2)e2 [典例]已知曲线y＝eq \f(1,x). (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程． (1)解:∵y＝eq \f(1,x)，∴y′＝－eq \f(1,x2). ∴函数y＝eq \f(1,x)在点P(1,1)处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1. ∴曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)， 即:y＝－x＋2. [典例2]已知曲线y＝eq \r(x),求： (1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程； (2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程． [跟踪训练]当常数k为何值时,直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切?请求出切点． 解:设切点为A(x0，xeq \o\al(2,0)＋k)． ∵y′＝2x， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0＝1，,x\o\al(2,0)＋k＝x0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,2)，,k＝\f(1,4)，)) 故当k＝eq \f(1,4)时，切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)， \f(1,2))). $$