5.1 导数的概念及其几何意义（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1 导数的概念及其几何意义 1.了解物理学和几何学中两类变化率问题，领会其中由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法．(逻辑推理) 2．理解函数平均变化率的含义，会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学建模、数学运算) 3．理解导数(瞬时变化率)的概念，会用导数的定义求函数在某点处的导数．(数学建模、数学运算) 学习目标 2 新知探究 问题1：在跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系： 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？ 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 3 问题1 高台跳水运动员的速度 请计算对应时间段的平均速度： 定义: 平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率. 令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则 理解： 1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3, 变式: O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1 f(x2)-f(x1) 1.平均变化率 一般地，函数　 　在区间上 的平均变化率为 割线的斜率 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度． 再计算： 问题1 高台跳水运动员的速度 思考：(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? (1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态. (2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态. 思考：（1）瞬时速度与平均速度有什么关系？ （2）你能利用这种关系求运动员在 t =2s时的瞬时速度吗？ 瞬时速度： 物体在某一时刻的速度 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 问题1 高台跳水运动员的速度 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 △t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内 当△t = – 0.01时, 当△t = 0.01时, 当△t = – 0.001时, 当△t =0.001时, 当△t = –0.0001时, 当△t =0.0001时, △t = – 0.00001, △t = 0.00001, △t = – 0.000001, △t =0.000001, …… …… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1. 表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”. 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 探究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 导函数的定义 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数.那么，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数.即: 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)等于 函数f(x)的导(函)数f'(x)在x0处的函数值 由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值 一差、二化、三极限 微思考 在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数在x＝x0处的值f′(x0)与函数y＝f(x)在x＝x0处的导数相同吗？它们有什么区别与联系？ 答：不相同(1)两者的区别：f′(x0)是一个具体的值，而f′(x)是由于函数y＝f(x)在其定义域R内每一点都存在导数而定义在R上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数． (2)两者的联系：y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值． [例1]　求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． 课堂练习 题型一　平均变化率 C 2m 二、导数的几何意义: 如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点，PQ为C的割线，PM//x轴，QM//y轴，β为PQ的倾斜角. 斜率! 复习：平均变化率的几何意义 M β P y=f(x) Q M Δx Δy O x y P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 导数的几何意义: 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P，即Δx→0时,割线PQ趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 观察当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 导数的几何意义 函数y=f（x）在x=x0处的导数f′（x0）就是切线P0T的斜率k0 归纳总结 问题: 割线PQ的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系? 割线PQ的斜率: 当点Q无限趋近于点P即Δx→0时,kn无限趋近于切线PT的斜率k. 因此,函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. ③若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数 f'(x0)不存在，就是切线与y轴平行 f'(x0)>0，切线倾斜角为锐角， f'(x0)<0，切线倾斜角为钝角， f'(x0)=0，切线与x轴平行或重合. 平均变化率的几何意义 学习新知 题型一　导数几何意义与函数图象 [例1]　(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) [分析]　导数的几何意义是什么？y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？ A 1．导数的几何意义：f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率． 2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表： 方法提升 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的 斜率k 切线的 倾斜角 f′(x0)＞0 上升 k＞0 锐角 f′(x0)＜0 下降 k＜0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢. 函数图象的变化与导数的关系 1．曲线y＝f(x)在点P0(x0，f(x0))处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，反映了曲线在点P0处的瞬时变化率．一般地，切线的斜率的绝对值越大，曲线的变化就越快；切线的斜率的绝对值越小，曲线的变化就越慢，即曲线比较平缓．由曲线在点P0处附近的变化程度，可以判断曲线在点P0处切线的斜率的绝对值的大小． 3.若f′(x)是在区间(a，b)上的增函数，则f(x)的图象是向下凸的，如例题(1)中图A. 若f′(x)在(a，b)上是减函数，则f(x)的图象是向上凸的。如例题(1)中图B. 若f′(x)是在区间(a，b)上的常函数，则f(x)图象是一条线段，如例题(1)中图C. 方法提升 答案：B 跟踪训练 大本例四、如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象. 根据图象, 请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况. 解:可用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴.故在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t1处的切线 l1的斜率h'(t1)<0.故在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减. t o h l0 t0 t1 l1 t2 l2 t4 t3 (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h'(t2)<0.故在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从图可以看出，直线 l1的倾斜程度小于直线 l2的倾斜程度，这说明 h(t)曲线在l1附近比在l2附近下降得缓慢 知识运用 导数的几何意义 创设情境 探索求知 小结作业 归纳小结 通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论? （1）某点附近的变化情况可以由该点的切线斜率来表示. (2)点附近的单调性与切线斜率的正负有关. (3)点附近的增减快慢与切线斜率的绝对值的大小有关. 思维提升 思维提升 创新拓展 综上，过点P(2,4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. [答案]　x－y＋2＝0或4x－y－4＝0 [误区警示]　求曲线的切线方程时，要看清题目是“求曲线在某点处的切线方程”，还是“求曲线过某点的切线方程”．前者的切线有且只有一条，而后者有可能有一条或多条．如图(1)所示，过点P(点P不在曲线上)的切线有l1，l2两条．如图(2)所示，即使点在曲线上，过点Q的切线也有l3，l4两条，其切点分别为Q，C. 　根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标． 方法提升 (3)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)，就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。 课堂小结: (2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数f'(x)。 (1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。 例2．曲线f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程为_________． 【解析】　f′(－2)＝eq \o(lim,\s\do8(Δx→0)) eq \f(f(－2＋Δx)－f(－2),Δx) ＝eq \o(lim,\s\do8(Δx→0)) eq \f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do8(Δx→0)) eq \f(1,－2＋Δx)＝－eq \f(1,2)， ∴切线方程为y＋1＝－eq \f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋4＝0. 例3．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切， 求切点坐标及a的值. 解：设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则 f′(x)＝eq \o(lim,\s\do8(Δx→0)) eq \f((x＋Δx)3－2(x＋Δx)2＋3－(x3－2x2＋3),Δx)＝3x2－4x. 由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3xeq \o\al(2,0)－4x0＝4， 解得x0＝－eq \f(2,3)或x0＝2， 例4　已知抛物线y＝2x2＋1.求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? 解：设切点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq \o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. ∴eq \f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx. ∴f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do8(Δx→0)) (4x0＋2Δx)＝4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq \f(1,4)，该点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8))). (2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)． ∴曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2. 曲线y＝x2在点(1,1)处的切线斜率为 f′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. ∴曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. $$