4.1.2 数列的通项公式与递推公式（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

(第2课时)数列的通项公式与递推公式 数列的定义: (1) 按一定次序排列的一列数叫做数列. (2) 数列中的每一个数都叫做数列的项, (3) 各项依次叫做这个数列的第1项 (首项)常用符号a1表示,第2项用符号a2表示…,第n项,… (4) 数列的一般形式可以写成 有时简记为 巩固复习 {an}. 数列的分类: (1)按项的多少来分: (2)按项数之间大小关系来分: 巩固复习 ⑴一般表示法 a1,a2 ,a3, …an,… 其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上面的数列简记为{an}. 数列的三种表示方法 ⑵解析表示法 通项公式表示. 数列的图象表示法 是一群孤立的点 通项公式： 如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 。 巩固复习 1.不是每一个数列都能写出其通项公式 2.数列的通项公式不唯一 如 -1，1，-1，1，-1，….可写成 和 3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。 注意 数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。 无穷数列表示无限个孤立的点。 4.实质： 从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 巩固复习 1 3 9 27 考点1：利用归纳法求数列的通项公式 例1图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式. 6 解：换个角度观察图中的4个图形，可以发现， ①a1=1, ②每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形， ③从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。 这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1, a2 =3 a1, a3 =3a2, a4 =3a3,由此猜测这个数列满足公式 考点2：数列的递推公式 递推公式 : 如果已知数列的首项(或前几项) 和递推公式，就能求出数列的每一项。 例如像an=3an-1(n≥2),如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 例2：已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项。 例题讲解 考点2：数列的递推公式 总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项. 递推 9 9 an－1 n 10 10 引申1：已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式. 解：（1）由递推式可得， a2－a1 = 1， a3－a2 = 1， … an－an－1 = 1 把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1 ∴数列的通项为 an = n（n∈N*）. 总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式. 又 a1 = 1,满足上式 考点2 数列的递推公式 an = n(n ≥ 2) 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，】 ∴an＝ (n∈N*) 引申2：已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式. 解：由递推式可得 ∴数列的通项为 . n∈N* 把以上n-1个式子相乘得 又 a1 = 1满足上式 总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，可用累乘法求通项公式. 考点2 数列的递推公式 13 思维提升 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即 Sn =a1+a2+...+an 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 考点3：数列an的前n项和Sn 16 问题4 数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？ 前n-1项之和 Sn 与an的关系式 考点3：数列an的前n项和Sn 17 例题讲解 [例3]已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2. 解:(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5. 此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故an＝4n－5(n∈N*). [例3]已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2. 总结：已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式. 例题讲解 例题感悟 考点4：斐波那契数列 《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔。如果不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？ 考点4：斐波那契数列 斐波那契数列 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…… 第一项和第二项是1，之后的每一项为之前两项的和。 Fn＝Fn－1＋Fn－2(n>2) 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，则Fn，Fn－1，Fn－2(n>2)的关系为____________________． 数列的周期性 一般地 ，若数列{an}满足存在正整数T使得an+T=an,对一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列,T叫做数列{an}的周期，如数列{ }：1,0，-1,0,1,0，-1,0，...的周期为4，数列的这种性质被称为周期性.这种数列叫做周期数列。 划重点 ◎要判断一个数列是否具有周期性或求一个数列的周期，主要是通过递推公式求出数列的前若干项从而观察得到或由递推公式发现规律。 创新拓展 一般地，对于以递推公式的形式给出的数列，求解时常需要转化为通项公式或得到一个特殊数列(如本题中的周期数列)来解决． (1)周期数列的一般形式 周期数列的递推公式的一般形式为an＋k＝an(n∈N*，k∈N*，k≥2)，如数列1,2,3,1,2,3,1,2,3，…是周期为3的周期数列，满足an＋3＝an(n∈N*)． (2)周期数列的判断方法 要判断一个数列是否具有周期性，主要方法是利用递推公式求出数列的若干项，观察得到规律或由递推公式直接发现规律． 例题感悟 29 回顾本节课所学的知识，思考： （1）什么是数列？数列的本质是什么？ （2）什么是数列的通项公式？ （3）什么是递推公式？ （4）什么是前项和公式？由前项和公式得到通项公式的一般方法？ 课堂小结 B D C B AD 3n－2 1 1012 3n－2 1 1012 2.思考：所有数列都有递推公式吗？ [提示]　不一定．例如eq \r(2)精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式． 1．数列的递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的第1项(或前几项)； ②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的______公式． 新知归纳 思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？ [提示]　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的． 3．数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项______(或前几项)之间的关系 表示an与__之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 an－an－1＝. 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－， ∴an＋1＝1－， ∴an＝－(n≥2)． 累加法： 当an＝an－1＋f(n-1)时， (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an； 解： (1)∵an＋1－an＝， ∴a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3＝，…， (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an. 累乘法： 当＝g(n)时， (2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)， ∴＝， an＝×××…×××a1 ＝×××…×××1 ＝. 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)． 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或 an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an＝an－1＋f(n－1)时， 常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式． (2)累乘法：当＝g(n)时， 常用an＝··…··a1求通项公式． (2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1； 当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2， 则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1 ＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1. 若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1， 故an＝ 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为 an＝ 解：　a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1， ∴{an}是周期为4的数列，∴a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. (巩固练习)数列{an}满足an＋1＝1－eq \f(1,an)，且a1＝2，则a2 020的值为(　　) A．eq \f(1,2) B．－1 C．2 D．1 C　[由an＋1＝1－eq \f(1,an)及a1＝2，得a2＝eq \f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，eq \f(1,2)，－1，2，eq \f(1,2)，－1，…. 而2 020＝673×3＋1， 故a2 020＝a1＝2 二、对递推公式变形时忽略n取值的变化而致错 [典例2]　已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，求an. 解：当n＝1时，a1＝1. 当n≥2时，由a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，得a1a2a3…an－1＝(n－1)2， 两式相除得an＝(n≥2，n∈N*)， 故an＝ [误区警示]　1.当n＝1时，a1＝1并不满足式子an＝，因此应写成分段形式． 2．在对递推公式变形时，常常会改变n的取值，因此求出的an不一定适用于n∈N*，不一定能作为数列的通项．解题时一定要关注n的取值的变化． 3．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝eq \f(n＋2,3)an，则eq \f(an,an－1)的最大值为(　　) A．－3 B．－1 C．3 D．1 4．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sm＋n(m，n∈N*)且a1＝5，则a8＝(　　) A．40 B．35 C．5 D．12 一、选择题 1．符合递推关系式an＝eq \r(2)an－1的数列是(　　) A．1,2,3,4，… B．1，eq \r(2)，2,2eq \r(2)，… C.eq \r(2)，2，eq \r(2)，2，… D．0，eq \r(2)，2,2eq \r(2)，… 2．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是(　　) A．5－3n B．3·2n－1－1 C．5－3n2 D．5·2n－1－3 解析　B中从第2项起，后一项是前一项的eq \r(2)倍，符合递推公式an＝eq \r(2)an－1.其他选项均不符合，故选B. 一、选择题 1．符合递推关系式an＝eq \r(2)an－1的数列是(　　) A．1,2,3,4，… B．1，eq \r(2)，2,2eq \r(2)，… C.eq \r(2)，2，eq \r(2)，2，… D．0，eq \r(2)，2,2eq \r(2)，… 解析　由a1＝2，an＋1＝2an＋3可得a2＝7，当n＝2时，经验证只有D适合． 2．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是(　　) A．5－3n B．3·2n－1－1 C．5－3n2 D．5·2n－1－3 解析　当n≥2时，Sn＝eq \f(n＋2,3)an，Sn－1＝eq \f(n＋1,3)an－1，两式作差可得an＝eq \f(n＋2,3)an－eq \f(n＋1,3)an－1⇒eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n－1)＝1＋eq \f(2,n－1)，据此可得，当n＝2时，eq \f(an,an－1)的最大值为3. 3．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝eq \f(n＋2,3)an，则eq \f(an,an－1)的最大值为(　　) A．－3 B．－1 C．3 D．1 解析　数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5.所以an＋1＝5，故a8＝5.故选C. 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sm＋n(m，n∈N*)且a1＝5，则a8＝(　　) A．40 B．35 C．5 D．12 7．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________，eq \f(an,n)的最小值为________. 8．已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,1－an)(n∈N*)，a8＝2，则a1＝________；若数列{an}的前n项和是Sn，则S2021＝________. eq \f(1,2) 5．(多选)已知数列{an}满足(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，Sn为其前n项和，且a1＝1，则下列正确的是(　　) A．a2＝3 B．a3＝6 C．S4＝20 D．an＝2n－1 6．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋eq \f(2an,1－an)，则a6＝________. 解析　由(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，得(n－1)an＋(n－1)＝nan－1＋n(n≥2)，又a1＝1，所以当n≥2时，eq \f(an＋1,an－1＋1)＝eq \f(n,n－1)，所以an＋1＝(a1＋1)×eq \f(a2＋1,a1＋1)×eq \f(a3＋1,a2＋1)×…×eq \f(an＋1,an－1＋1)＝2×eq \f(2,1)×eq \f(3,2)×…×eq \f(n,n－1)＝2n，从而an＝2n－1.当n＝1时，也满足上式，所以an＝2n－1.所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，a4＝2×4－1＝7.所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋5＋7＝16.故选AD. 5．(多选)已知数列{an}满足(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，Sn为其前n项和，且a1＝1，则下列正确的是(　　) A．a2＝3 B．a3＝6 C．S4＝20 D．an＝2n－1 解析　∵an＋1＝2＋eq \f(2an,1－an)＝eq \f(2,1－an)，a1＝－2，∴a2＝eq \f(2,1－a1)＝eq \f(2,3)，a3＝eq \f(2,1－a2)＝6，a4＝－eq \f(2,5)，a5＝eq \f(10,7)，a6＝－eq \f(14,3). 二、填空题 6．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋eq \f(2an,1－an)，则a6＝________. 解析　∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2.∴eq \f(an,n)＝eq \f(3n－2,n)＝3－eq \f(2,n).又n∈N*，∴eq \f(an,n)的最小值为1. 7．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________，eq \f(an,n)的最小值为________. eq \f(1,2) 解析　∵数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,1－an)(n∈N*)，∴an＋2＝eq \f(1,1－an＋1)＝eq \f(1,1－\f(1,1－an))＝eq \f(1－an,－an).∴an＋3＝eq \f(1,1－an＋2)＝eq \f(1,1－\f(1－an,－an))＝an.∴数列{an}是周期为3的数列．∵a8＝2，∴2＝eq \f(1,1－a7)，解得a7＝eq \f(1,2)，同理可得a6＝－1，则a1＝a7＝eq \f(1,2)，a2＝a8＝2，a3＝a6＝－1.∴S2021＝(a1＋a2＋a3)×673＋a1＋a2＝eq \f(3,2)×673＋eq \f(1,2)＋2＝1012. 8．已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,1－an)(n∈N*)，a8＝2，则a1＝________；若数列{an}的前n项和是Sn，则S2021＝________. 三、解答题 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式． 10．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1). (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解　已知Sn＝2n2－3n－1，∴当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5. 又a1＝S1＝－2不适合上式， ∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2n＝1，,4n－5n≥2.)) 三、解答题 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式． 解　(1)a2＝a1＋eq \f(1,1×2)＝3＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)， a3＝a2＋eq \f(1,2×3)＝eq \f(7,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(11,3). 10．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1). (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． (2)原递推公式可化为an＋1＝an＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)， 则a2＝a1＋1－eq \f(1,2)，a3＝a2＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)， a4＝a3＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，…，an－1＝an－2＋eq \f(1,n－2)－eq \f(1,n－1)，an＝an－1＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)，累计相加，得an＝a1＋1－eq \f(1,n)， 故an＝4－eq \f(1,n). $$