4.1.1 数列的概念（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1数列的概念 学习目标 1.了解数列的有关概念及分类; 2.了解数列的几种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式、递推公式); 3.了解数列是自变量为正整数的一类函数． 4.核心素养：数学推理、数学运算。 实例一：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 问题1 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 第一年 第二年 第三年 ....... 不能交换位置，并且具有确定的顺序。 记王芳第i岁时的身高为,则有： 。 一、探究新知： 3 实例二：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数∶5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. 问题2 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 不能交换位置，并且具有确定的顺序。 记第天月亮可见部分的数为，那么s1=5，s2=10，…，s15=240。 问题3 上述的两个例子，有什么共同特征呢？ 不能交换位置、具有确定的顺序 一、探究新知： 4 问题4 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数 （1）这列数是什么呢？请你列出来； （2）这列数是否具有上述的特征？如果是，请你仿照以上的叙述，说明这也是具有确定的顺序的一列数。 记第i个数为ai，那么a1= ，a2= ， a3=， a4=，… 一、探究新知： 不能交换位置、具有确定的顺序 5 1.数列的定义： 按照确定的顺序排列的一列数叫做 数列 数列中的每一个数叫做这个数列的______. 项 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（ ），排在第二位的数称为这个数列的第2项，···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项. 首项 数列的一般形式可以写成： 注: 右下角标表示这一项在数列中的位置序号 思考 {an} 与an的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项. 序号 1 2 3 … n … … … 4.数列的概念 ⒈由无穷多个3所组成的一列数是数列吗？ 3，3，3，3，3, … ⒉ 以下两个数列是同一数列吗？ 54, 60, 55, 58, 64, 55, 58, 60, 57, 54. 54, 60, 55, 58, 55, 64, 58, 60, 57, 54. 若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列 数列中的数可以重复 3.由2，3，a，5，b，6，这几个元素能构成数列吗？ 数列的项是一个确定的数值 是 不是 概念辨析 “ 1, 2, 3, 4, 5 ”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？ (2) 数列中的数可以重复吗？ (3) 数列与集合有什么区别？ 不是 —数列的顺序性 集合的元素：无序性、互异性、确定性， 数列的项：有序性、可重复性、确定性. 可以 8 概念辨析 5.数列的分类： 按大小（单调性）分 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 摆动数列: 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 常数列：各项相等的数列 5.数列的分类： 按数列项数的多少分 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 递减数列 常数列 摆动数列 递增数列 23, 24,25,26,27,28,29,30 无穷数列 有穷数列 有穷数列 无穷数列 1. 说说下列数列是什么数列？ 序号 项 数列可以看成以正整数集(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值. 数列是特殊的函数 6.数列与函数的关系 7.数列的表示方法 如： 列表法、图像法、解析法 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 与序号n之间的关系可以 用一个公式来表示，那 么这个公式就叫做这个 数列的 通项公式． 的第n项 如果数列 并不是每个数列都能写出通项公式 8.通项公式 如：1，24，8，3，19 意义：通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. 1).通项公式能够很清楚的表示数列中 项数和项的关系; 2).由通项公式可以求出数列中的每一项. 3).检验某数是否是该数列中的一项. 通项公式也是数列的一种表示方法 2.通项公式的作用 已知数列{an}的通项公式，写出这个 数列的前5项，并作出它们的图象． 3.变式训练1（2） o n an 1 2 3 4 5 6 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 我们好孤单！ 是一些 孤立点 · · · · · 数列用图象表示时的特点—— 一系列孤立的点 1 2 3 4 5 6 o n 0.1 0.3 - 0.5 - 0.1 - 0.3 an （2） 是一些 孤立点 · · · · · 注意： 数列中的数一定是“数”，而集合中的元素不一定是“数”。 数列中的数是按一定次序排列的，排列次序不同，那么它们就是不同的数列；而集合中的元素是无序的。 数列定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现；而集合中的元素不能重复出现。 这就是数列与集合的区别。 18 考点一：数列的概念 B 1．数列中的项具有以下特点： (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)； (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限． 常见的数列 ①分式形式： ，n∈N* ②正负交替形式： 奇正偶负 奇负偶正 注：用(－1)n或(－1)n＋1常常用来表示正负相间的变化规律. ③摆动形式： 找到中间值及摆动幅度 ④例：x,xx,xxx,xxxx,xxxxx... 考点：利用数列的通项公式求某项 解: 本质上: 是要回答是否存在正整数n，使得n2+2n=120. (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2，…，n}这一条件. (3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养. 考点四：利用数列的单调性求数列中的最大（小）项 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课堂小结 1.数列：按照确定的顺序排列的一列数 数列的项：首项 第n项 2.本质：从函数的观点看，数列项是序号 的函数 与函数同，也可以用表格和图像 表示--散点图。 表示方法：表格法，图像法，解析法--通项公式。 与函数同，也可以定义数列的增减性 3.分类： 一、按照项数分类： 二、按照增减性分类： 4.通项公式： 如果数列{ } 的第n项 与项数n之间的关系可以 用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 [跟踪训练]2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3) ，，，，…； (4)1,11,111,1 111，…； (5)2,0,2,0, …. (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项. 数列中最大项和最小项的求法 求数列中最大(小)项均须借助数列的通项公式， 求最大项的方法： 设an为最大项，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥an－1；,an≥an＋1))； 求最小项的方法： 设an 为最小项，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.)) 法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则即 解得即5≤n≤6. 故数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝. $$