第1讲 锐角三角函数及特殊三角函数值-2024-2025学年九年级数学下册（北师大版）

锐角三角函数及特殊三角函数值 教学目标:理解并掌握锐角三角函数的使用条件；熟记锐角三角函数的特殊值进行计算；能够使用三角函数解一般锐角三角形的边长问题；理解正弦，余弦，正切之间的隐含关系并应用。 教学重点:熟记掌握特殊三角函数；引导学生理解并应用锐角三角函数解三角形； 理解正弦，余弦，正切之间的隐含关系并应用到计算与解三角形中。 教学难点:理解正弦，余弦，正切之间的隐含关系并应用到计算与解三角形中。 考点一:锐角三角函数的定义 在直角三角形中，如下表： 在Rt三角形ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b ①∠A的正弦：；②∠A的余弦：； ③∠A的正切： 【注意】 （1）邻边是形成对应锐角的直角边，对边是角开口对的边。 （2） 可以简单记：sin是对比斜，cos是邻比斜，tan是对比邻；也可以画图记忆。 例1：在Rt△ABC中，∠A为锐角，如果将三角形各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（ ） A. 缩小2倍 B.扩大2倍 C.无变化 D.不能确定 变式练习1： 1、下列说法错误的是（ ） A. 直角三角形中可能存在同一角的正弦值和余弦值相等 B. 两直角三角形相似比等于对应角的三角函数比 C. 直角三角形中锐角变化正切值也会变化 D. 直角三角形三角函数值就是对应边长的比值，边的长度变化可能不影响三角函数值 例2：在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠ABC=（ ） A. B. C. D. 变式练习2： 1、如图，△ABC的顶点都在方格的顶点上，则sinC=___________ 2、如图，在平面直角坐标系下点A的坐标为（3，4），则sinα的值为（ ） A. B. C. D. 例3:如图所示，已知直线，每相邻两条平行线间的距离相等，如果 正方形ABCD四个顶点分别在4个顶点上，则sinα=_________ 考点二：特殊角的三角函数值 必背特殊三角函数值表： 0° 30° 45° 60° 90° sin 0 1 cos 1 0 tan 0 1 不存在 【方法技巧】 既然死记不方便就结合下面图形与三角函数定义记忆吧！ ( 60° ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) （1）含30°的直角三角形的对应边长的比为1：：2 （2）含45°的直角三角形的对应边长的比为1：1： 例4:（1）计算：. 变式练习4：计算：. 例5：计算：. 变式训练5： （1） ；（2）；（3）； （4）； （5） ； （6）计算：； （7）若α和β均为锐角，且满足则∠α+∠β=_________. 考点二：锐角三角函数的增减性及互余两角的三角函数的互化 （1） 特殊三角函数值表 0° 30° 45° 60° 90° sin 0 1 cos 1 0 tan 0 1 不存在 （2） 通过观察发现当α（0°≤α≤90°）角度越来越大，sin值越来越大；tan值越来越大，只有cos是随α的增大反而减小的。 （3）正弦，余弦，正切之间的关系 在直角三角形中的三边三角具有下面的关系： ①三边关系：，其中c为斜边； ②角的关系：∠A+∠B=∠C=90°； ③边角关系（锐角三角函数）：sinA=cosB= ，sinB=cosA= ，tanA=cotB= . （4）拓展关系： ①平方关系：，所以， ②商关系： ③互余锐角三角函数间关系： ，其中90°-A可以用与A互余的角表示。 例6：（增减性）在Rt△ABC中，当∠A的度数不断增大的时候cosA的值变化情况是（ ） A.不断增大 B.不断减小 C.先增大后减小 D.不变 变式练习6：在Rt△ABC中∠C=90°，当锐角A的正弦值不断减小,则角B的变化情况是（ ） A.不断增大 B.不断减小 C.先增大后减小 D.不变 例7:若锐角∠A是锐角，则sinA=，则（ ） A. 0°<∠A<30° B.30°< ∠A <45° C.45°< ∠A <60°D.60°< ∠A <90° 变式练习7：如果锐角α的正弦值值，则下列结论正确的是（ ） A.0°<∠A<30° B.30°< ∠A <45° C.45°< ∠A <60°D.60°< ∠A <90° 例8:试比较sin23°，cos40°，sin35°的大小关系（ ） A. sin23°＜cos40°＜sin35° B. sin23°＜sin35°＜cos40° C. Sin35°＜sin23°＜cos40° D. sin35°＜cos40°＜sin23° 变式练习8：当α满足sin50°＜cosα＜cos25°则α的取值范围是（ ） A.0°<α<20° B.20°< α <50° C.50°< α <65° D.65°< α<90° 例9:（1）已知，求值： ① ② （2）若cosA=，求的值. 变式练习9：若α为锐角，tanα=4，求的值 例10:计算 变式练习10： 1、化简 2、在△ABC中，已知∠C=90°，，求的值 3、在△ABC中，（1）若∠C=90°，cosA=，求sinB的值； （2）若∠A=35°，∠B=65°，比较cosA和sinB的大小关系，并说明理由。 考点四：解三角形 题型一：解直角三角函数简单应用 例11:在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求∠A的正弦值，余弦值和正切值。 变式练习11：在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求: （1）tanC的值；（2）sinA的值 例12:如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ） A. B. C. D. 变式练习12： 1、如图，Rt△ABC，BC是AB的2倍，则sin∠C=（ ） A. B. C. D. 2、在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ ） A. B. C. D. 3、已知 如图矩形ABCD中，AB=4，BC=8，O为矩形对角线的交点，P为OB中点，则sin∠PAO=___________ 题型二：双直角三角形 例13:如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为E，连接CE，求： （1） 线段BE的长； （2） ∠ECB的正切值。 变式练习13：如图，Rt△ABC中，过C作CD垂直于AB于D点，已知AC=5 （1） tan∠B=，则CD的长是多少？ （2） 在（1）的条件下，若CE为∠DCB的角平分线，求tan∠ACB的值 题型三：已知三角函数求其它 例14:如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA=2cos∠BCD （1） 求证：BC=2AD； （2） 若cosB=，AB=10，求CD长。 变式练习14：如图，AD为△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=2. （1） 求BC的长， （2） 求Sin∠ADC的值 题型四：利用已知角与三角函数值构造直角三角形 例15:如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°，求AC和AB的长 变式练习15： 1、已知在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2，求三角形ABC的面积。 2、已知△ABC中，AB=12，AC=13cm，cos∠B=，则BC=( ) A.17 B.8 C.8或17 D.7或17 题型五：角平分线、中垂线、中线与三角函数 例16:如图点O为△ABC内一点，且O到三边的距离相等，若∠BOC=120°，tanA=（ ） A. B. C. D. 变式练习16：如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠ACM，若AN=1，则BC的长为（ ） A.4 B.6 C. D.8 题型六：翻折与三角函数 例17:如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD=4，BC=12，AB=8则sin∠DEC=________ 变式练习17： 1、如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，BC>AD，AD=2，AB=4，点E在AB上，将△CBE沿着CE折叠，使得点B与D重合，则∠BCE的正切值为_____ 2、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，将△ABE沿着AE折叠F刚好落在ED的连线上。当AB=5，AD=6，当tan∠ABC=2，求BC的长。 【课后作业】 1、在直角三角形ABC中，∠C=90°sinA=45°C=，AC=6，则BC的长度为（ ） A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 2、如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点D是AB中点，点E是AC上，DE⊥AB，cosA的值为（ ） A. B. C. D. 3、在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA=（ ） A. B. C. D. 4、如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的每个顶点都在格点上，则图中∠ABC=（ ） A.2 B. C. D. 5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E。 （1） 求tan∠ACE的值 （2） 求AE：EB 6、计算 （1） ； （2） . 7、如图，折叠矩形ABCD的一边AD使得点D落在BC边的F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求tan∠EAF的值。 8、在△ABC中。 （1） 若∠C=90°，cosA=，求sinB的值； （2） 若∠A=35°，∠B=65°，试比较cosA与sinB的大小，并说明理由。 9、如图，把一张长方形卡片放在宽度12mm横格的纸面上恰好4个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形客片的周长（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75 ，结果精确到mm） ( 第 14 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$