平面向量-2024届广东地区高三数学模拟题汇编

广东地区一轮复习模拟题汇编：平面向量-2025年高考数学核心考点突破 一、单选题 1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知，若，则实数＝（　　） A．﹣4 B．1 C．2 D．6 6．（2024·广东广州·模拟预测）在三角形ABC中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且，在下列角度中，当角取哪个值时，绳承受的拉力最小.（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东茂名·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·广东佛山·一模）在三角形ABC中，所对的边为，设边上的中点为，三角形ABC的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ） A．若，则 B．的最大值为 C． D．角的最小值为 10．（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广东深圳·一模）已知为三角形ABC所在平面内一点，则下列正确的是（    ） A．若，则点在三角形ABC的中位线上 B．若，则为三角形ABC的重心 C．若，则三角形ABC为锐角三角形 D．若，则三角形ABC与三角形ABP的面积比为 三、填空题 12．（2024·广东河源·模拟预测）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则 . 13．（2024·广东广州·模拟预测）已知三角形ABC中，点在边上，，，，则三角形ABC的面积为 ；若，则 . 14．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角所对应的边分别为，已知，则角 . 四、解答题 15．（2024·广东茂名·模拟预测）在三角形ABC中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足． (1)求的大小； (2)的角平分线交边于D，向量在上的投影向量为，，求． 16．（2024·广东广州·一模）记三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，三角形ABC的面积为.已知. (1)求； (2)若点在边上，且，，求的周长. 17．（2023·广东佛山·模拟预测）在三角形ABC中，角的对边为，设三角形ABC的面积为. (1)求角的大小； (2)若，过三角形ABC的重心点的直线与边的交点分别为，，请计算的值. 18．（2024·广东深圳·二模）已知向量，，函数. （Ⅰ）若，，求的值； （Ⅱ）在三角形ABC中，角对边分别是，且满足，求的取值范围. 19．（2024·广州佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 2．B 【分析】根据，推理得到，再由投影向量求得，联立得到，利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】因为是单位向量，且， 两边平方得，，即（*）， 由在上的投影向量为，可得， 所以，即，代入（*）可得，，即， 所以， 因为，所以． 故选：B． 3．B 【分析】首先求出， ，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，，所以， ， 所以在上的投影向量为. 故选：B 4．D 【分析】根据，利用向量数量积的运算性质可得，从而点在度数为的优弧上运动，或点在圆的内部，然后根据三角形中线性质和圆的性质可解. 【详解】设，， 则是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， 对于，即， 两边平方得，化简得， 因此可以得到与的夹角，在构成等边三角形时取等号， 在如图所示的圆中，点在圆上，其中劣弧的度数为， 点在度数为的优弧上运动，或点在圆的内部， 若点在圆上，根据正弦定理， 可得圆的半径满足，即， 设为的中点，则， 当时，长达到最大值，此时为等边三角形， 可知，即， 当点在圆的内部时，则重合时，， 此时取最小值，又， 综上所述，的取值范围为. 故选：D 5．B 【分析】本题根据向量减法、乘法以及向量垂直运算规则即可求解参数. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，解得． 故选：B． 6．A 【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由是边上的中线，得 . 所以，中线长. 故选：A 7．C 【分析】由题意作出图形，在中利用正弦定理列式，得到的表达式，结合正弦函数的性质算出的最小值. 【详解】作出示意图，设与物体平衡的力对应的向量为，则， 以为对角线作平行四边形，则，是绳承受的拉力大小， 由，得，所以， 中，由正弦定理得，即， 可得， 结合，可知当时，达到最小值10. 综上所述，当角时，绳承受的拉力最小. 故选：C 8．C 【分析】根据给定的图形，利用数量积的运算律及定义求解即得. 【详解】连接，，设，依题意，，，， 则， 由，得，所以. 故选：C 9．ABC 【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD三个选项，利用向量的模的计算公式判断C选项. 【详解】选项A，若，由余弦定理，得，所以， 则三角形面积，A正确； 选项B，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立， 由余弦定理可得， 则，B正确； 选项C，因为边上的中点为，所以， 而，即，则， 所以 ，故C正确； 选项D，因为，即， 所以由余弦定理得， 又，且函数在上单调递减，所以，D错误. 故选：ABC. 10．ABD 【分析】在中由正弦定理求解判断A；利用两角和差公式求解判断B；利用向量数量积计算判断C；利用数量积计算判断D． 【详解】在中，， 则， 由正弦定理知， 即，故A正确； ， ， ，故B正确； ，故C错误； ， 故，即，故D正确． 故选：ABD 11．ABD 【分析】设中点为，中点为，由可得，可知A正确； 设中点为，由得，对应重心的性质可知B正确； 由知为锐角，但无法确定，知C错误； 根据平面向量基本定理可知，将面积比转化为，知D正确. 【详解】对于A，设中点为，中点为， ，， ，即，三点共线， 又为的中位线，点在的中位线上，A正确； 对于B，设中点为，由得：， 又，，在中线上，且， 为的重心，B正确； 对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误； 对于D，，为线段上靠近的三等分点，即， ，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在几何中的应用问题，涉及到三角形重心的表示、平面向量基本定理的应用等知识；本题解题关键是能够根据平面向量线性运算将已知等式进行转化，确定点的具体位置及其满足的性质. 12． 【分析】根据向量共线可设，进而对比系数列式求解即可. 【详解】因为是两个不共线的向量，， 若与是共线向量，设，则， 则，解得. 故答案为：. 13． / / 【分析】由正弦定理角化边得，进而由余弦定理可求，从而利用三角形面积公式可得面积；方法1：由 化简整理可；方法2：先求，然后在中利用余弦定理求出即可. 【详解】由正弦定理得，由余弦定理得， 代入化简得，解得，. 所以. 方法1：由，得， . 所以， ，即. 方法2：在中，. 由，得， 于是，在中， ， 所以. 故答案为：；. 14．/ 【分析】由题意结合正弦定理可解出，进而求得，由角的取值范围即可解出. 【详解】，即，即， 由正弦定理，， ，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式求解； （2）由向量在上的投影向量为，，得到，再根据相似形得到，然后在中，利用余弦定理求解. 【详解】（1）解：，， ， ，由正弦定理得， ， ， ，，，，； （2），， ， 延长，过点B作， ，， ，，， ． 设，则， 在中，， ， 即， 解得，（舍）， ． 16．(1)； (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合的范围，即可求得结果； （2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得，即可求得三角形周长. 【详解】（1）由，则， 又，故. （2）由（1）可知，，又，则； 由题可知，， 故， 所以， 因为，所以，， 在中，， 故的周长为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和同角三角函数基本关系式以及面积公式和三角形的内角和即可求解；（2）根据重心性质和向量的共线关系即可求解. 【详解】（1）在中，根据正弦定理 结合条件，可得：. 因为，所以，可得， 即有，又，故. 又因为， 可得，即可得.根据， 由此即可得. （2）解法一： 以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系.则可得点. 根据重心的坐标公式可得：点. 可设过点的直线的方程为：， 由此可得点的坐标为：. 根据可得. 由此即可得. 解法二：设的中点为，连接，利用“重心”的性质可得， 根据三点共线的性质可得：， 根据条件， 可得：， 等价于， 又因为点在一条直线上， 从而可得：，即可得成立. 18．（1）；（2）. 【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简得出，通过配凑角的方法即可得出的值. (Ⅱ)由，结合余弦定理即可得出从而，得出B的范围即可求得的取值范围. 【详解】(Ⅰ)       (Ⅱ)由，得 , 从而得  故 【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数求值及解三角形，考查了学生的化简运算能力，通过配凑角进行求值是难点. 19．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，设出点Q的坐标，再用斜率坐标公式列式化简即得. （2）设出直线的方程，与轨迹的方程联立，并设出点的坐标，求出点的坐标，结合韦达定理计算求解即可. 【详解】（1）设，直线的斜率为，直线的斜率为， 依题意，，整理得， 所以点的轨迹的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为， ， 直线的方程分别为，联立这两个方程得 点的横坐标为， 由消去x得，， 于是，， ， 所以． 【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$