专项突破9-10 指数函数与对数函数&与二次函数有关的零点问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

心专项突破09 指数函数与对数函数 题组利用指数函数，对数函数的性质比较大小 题组目指数函数、对数函数的综合应用 1.(2024·河北石家庄一中高一期末)已知a= 7.(2024·广东揭阳高一期末)若2"+lna= log6,b=log2v8,c=1.22,则a,b,c的大小关 4+lnb,则下列不等式一定成立的是() 系是 () A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 8.(多选)(2024·江西宜春高二月考)若a> 2.(2024·浙江湖州高一期末)已知a= b>1,0<c<1,则 () l1og0.5,b=lo%050.2,c=0.52,则a,b,c的 A.a'>b B.ab>ba" 大小关系为 ) C.log.c<log.c D.alog.c>blog.c A.b>c>a B.b>a>c 9.(2023·福建厦门双十中学高三模拟)已知 C.a>e>b D.c>b>a 函数)=lg(3r+3)-,若/a-1)≥ 3.(2023·天津河西区高三二模)已知a= g03 f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为 5g34,b=5e3.3,c ,则a,b,c的大 ( 小关系为 A.(-0,-2] B.(-o,-2]U[0,+o） A.a>b>c B.b>a>c c【-21 n.(,2u[g) C.c>a>b D.a>c>b 10.(2024·浙江宁波高一期末)已知函数 4.(2024·安徽合肥高一月考)设x,y,2为正 f八x)=log(2+1)-ax. 数，且2=3=5，则有 ( ) (1)若函数f(x)为定义域上的偶函数，求 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y 实数a的值： C.2x<5z<3y D.3y<2x<5z (2)当a=1时，对x∈(-∞，1)，不等式 题组已指数函数与对数函数的图象及其应用 f(x)>log2(m·2-3m)恒成立，求实 5.(2023·湖南常德高一月考)若函数f(x)= 数m的取值范围. a-a(a>0且a≠1)在R上为减函数，则 函数y=log(1x1-1)的图象可以是( 半 6.设函数f(x)= nx1,0<x≤2若方程 f4-x),2<x<4. f(x)=m有四个不相等的实根x1,x2,,x4, 且x1<x2<x<x4,则(x+x2)+x+x的取值 范围是 12黑白题数学|必修第一册·BS 心专项突破10 与二次函数有关的零点问题 题组方程的两实根与实数k的大小比较 (2 D. 1.(2024·江西抚州高一期末)已知关于x的 方程2kx2-2x-5k-1=0的两个实数根一个 6.(2024·山东青岛高一月考)已知函数 小于1，另一个大于1，则实数k的取值范 f(x)=ax2-4x-1(a≠0)在区间(-1,1)内恰 围是 有一个零点，则满足条件的所有实数a的 A.(0,+0) 集合是 () B.(-1.0) A.(-3,0)U(0,5) C.(-∞，-1) B.[-3,0)U(0,5] D.(-0,-1)U(0,+0) C.1-4}U(-3,0)U(0,5) 2.已知方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大 D.{-4}U[-3,0)U(0,5] 于2，则实数m的取值范围是 ( 7.(2024·广东阳江高一期末)已知函数f(x)= A.{ml-5<m≤-4或m≥4 x2+mx+n(m,n∈R)在区间(1,2)内有两个 B.{ml-5<m≤-4 零点，则2m-n的取值范围是 C.mlm>-5 8.(2023·湖北襄阳高一期末)若函数(x)= D.{ml-4≤m≤-2或m≥4} x2-6.x+2+a在区间(1,4)内有零点，则实数 3.(2024·浙江温州高一期末)已知函数 a的取值范围是 f(x)=x2-ax+a有两个大于1的零点x1,x2, 题组目与二次函数有关的复合函数零点问题 则x+x号可以取到的值是 ( 9.若关于x的方程9+3+1-m+1=0有解，则 A.1 B.5 C.8 D.10 实数m的取值范围是 () 题组三方程的根在区间上的分布 4.若函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2,0)和 A.(1,+0) (2,3)内各有一个零点，则实数a的取值范 C.(-,3] D.(1,3] 围是 ( 10.已知函数f八x)=(1log2x)2+3log2x-m在 A.(-3,0) B.(-3,+0) 区间[1,2]上有零点，则实数m的取值 C.(-o,0) D.(0,3) 范围是 () 5.(2024·浙江杭州高一期末)已知一元二次 A.[0,4] B.[1,4] 方程x2+mx+1=0的两根都在(0,4)内，则 C.[0,2] D.[1,2] 实数m的取值范围是 ( 11.(2023·云南大理高一期末)已知关于x A.(-2]u[2,+x) 的方程lgx+algx+b=0的两个不相等的 实数根分别是x1,x2,若x,·x2=100,则a+ b的取值范围是 ( c(-2 A.(2,100)》 B.(-,-1) C.(-1,100) D.(-0,2) 进阶突破·专项练3四重难点拔 选项A的分析可知g(x+2)=g(-x+2),又因为g(x)为偶函数，所 抽象函数的调期性 以g(x+4)=g(-x)=g(x),则函数g(x)是以4为周期的周期函数， (1)如果f八x+:)=-八x)(a≠0)，那么f八x)是周期函数，其中的一个 故选项D正确.故选AD. 周期T✉2a 8.D解析：由题意，函数八x+1)为偶函数，所以八x+1)=八-x+1), 2)知果八+a)(a≠0)，那么)是周期函数，其中的一个 八x)的图象关于直线x=1对称，所以f八x+3)=3-f（1-x)=3-f代1+ x)=3-[3-f八x-1)】=f代x-1).函数(x)的周期为4，在八x+3)+f1 周期T=2a x)=3中，分别令x=0,x=1.得(3)+/(1)=3，(4)+f(0)=f(4)+ (3)如果f代x+a)+f代x)=c(a≠0)，那么x)是周期函数，其中的一 八2)=3.解得爪3)+(1)+f(4)+f八2)=6，所以f(1)+f(2)+++ 个周期T=2a 2024)=6x2024.3036,故选n. 4 3.11解析：由x-2)=-八x),得f代x-4)=-代x-2)=x),则函数 的周期是4，则f(3.5)=-0.5)=1,/((5.5)=1.5)= 四重难点拨 f-1)=1. 周期性与奇偶性结合的问则多考查求值问题，常利用奇偶性及周期 性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义 x)/+6) 1解析：x+2=八+42人 域内求解 1+4x),所以)的周期为6，(2022)=(6×37)= 1 9.D解析：由题意可知，函数y=f八x)是以1为周期的周期函数，当x f八0)=2.f2024)=f(6×337+2)=f(2)=-1.所以f2022)+ (-2,-1]时，则x+2e(0.1】,则/x)=f八x+2)=(x+2)(x+1)=x2+ f2024)=1. 2即当e(2-1时42=(）广-可细而 5.ACD解析：定义在R上的奇函数代x)满足f-3x)=f(2+3x),所以 0)=0,故A正确：且-x)=2x),所以x)=f2-x)=-八x-2)= 数y欢)在=三处取得最小值，且最小值为/（）放 八x-4),即八x)的周期是4，不是2，故B错误：因为八-x)=2+x), 选D 所以八x)图象的对称轴为x=1.又(0,0)为八x)图象的…个对称中 10.C解析：因为x-1)的图象关于(1,0)中心对称，所以x)图象的 心，所以(2,0)是/爪x)图象的一个对称中心，故C正确：因为爪-x)= 对称中心是(0,0)，故代-x)=-x),即/代x)是奇函数.因为f(x+2) 八2+x),所以八3x+1)=八1-3x).即八3r+1)为偶函数.故D正确.故 是偶函数，所以f(x+2)=八-x+2),则x+4)=代-x)=-x).所 选ACD. 以八+8)=f(x+4)=八x),因此x)的周期为8，所以(27)= 6.D解析：依题意，八x)的定义域为R,由于f八x+2)为码南数，图象关 f3)=f1)八13)=5)=f八-1).因为爪x)）在[0.2]上是增函数且 于y轴对称，所以八x)的图象关于直线x=2对称，八-3x+1)为奇函 爪x)是奇函数，所以八x)在[-2,2]上是增函数.所以八-1》<代1)< 数，/代-3x+1)=-3x+1).由f-(3x+1)+2)=-3x+1),用x整换 八2)，则13)<27)<2).故选C 3x+1代2-x)=-八x).所以2+x)=f八2-x)=-f八x).所以八x+4)= 11.2023解析：在函数fx)的一个周期内，即xe[0,2]时，x)= (2+x+2)=-f(2+x)=fx),所以九x)是周期为4的周期函数.由 -x242x+3=-(x-1)2+4≤4，又因为/八x)≥4，所以八x)=4,当且仅 f八2-x)=-x)得f八2-x)+x)=0,所以八x)的图象关于点(1,0)对 当x=1时取得1)=4，在xe[-2022.2024]内共有2023个周 称，令x=1,则2/1)=0八1)=0，所以f代-1)=f代-1+4)=f(3)= 期，且每个周期内的x取奇数时的函数值为4，故所有的x值之和为 f八2+1)=-1)=0，所以D选项正确，A,B,C选项无法判断.故选D. (-2021)+(-2019)+(-2017)+-+(-1)+1+3+…+2019+ 7.ABD解析：对于选项A,由八x)+g(x+1)=1,将x换成x+1可得 2021+2023=2023,故答案为2023. 八x+1)+g(x+2)=1,又因为f(x+1)-g(x)=3,所以g(x+2)+ g(x)=-2,即g(x+2)=-g(x)-2,将x换成-t可得g(-+2)=-g(-x) 专项突破09指数函数与对数函数 -2■-g(x)-2,所以g(x+2)=g(-x+2).所以g(x+2)为偶函数，故 选项A正确：对于选项B,由八x+1)~g(x)=3可得g(x)=f八x+1)- 1.A解折：因为6⑧=c=12=L4<5,所以c从又因为 3,将x换成-x可得：g(-)=-x+1)-3,因为g(x)为偶函数，所以 61,所以6>疗，得到%6e:子-6，即a>6,所以Db>e放 八-x+1)=尺x+1),所以函数x+1)为偶函数，函数八x)的图象关于 直线x=1对称因为x+1)-g(x)=3,所以3+g(x)=八x+1)=八-x+ 选A 1),即3+g(x)=八-x+1),将x换成x+1可得3+g(x+1)=八-x),义 2.A解析：由对数的运算性质，可得0=log21<ogo,05<o吧o:0.2= 因为x)+g(x+1)=1,所以/代x)+f-x)=4.则f-x)-2=2-x)= 2,可得0a<2 ,且6=logn0.2>0g,0.25=2.又由指数函数的性 -[代x)-2],所以函数八x)-2为奇函数.故选项B正确：对于选项C, 由B的分析可知函数(x)的图象关于直线x=1对称，且八x)+ 质，可得 -=0.51<0.52<0.5°=1，所以b>>m.故选A f八-x)=4,期八x+4)=八--2)=4-+2)=4--x)=f八x）,所以两 数x)是以4为周期的周期函数，故选项C错误：对于选项D,由 3.D解析：依题意，e=（5 ’=5e=5e号，e3= 必修第一册，BS黑白题116 gV3不，显然函数=g在(0，+x)上单调递增，而3410、1.B解桥：令)=2+nx(x>0),则)为(0，+)上的增函数， 3 又2+ln4=4+lnbc24+lm2+lnb=2+ln2h,则f(a)<f2b),则 ,即34s:9V百.又y=5在R上单调遥鼎，于是 m<2b.故选B. 8.AB解析：对于A,因为0<C<1.所以幂函数y=在(0，+x)上是增 得544>5号>52万，即54> 5 >533,所以有 函数，又a>b>1,所以a>b.故A正确：对于B.因为0<c<1,所以e a>c>h.故选D. 1<0,所以幂函数y=x1在(0，+)上是减函数，又：>b>1.所以 4.D解析：由于2=3y=5,取常用对数得g2=1g3=g5>0,则 a<-1.所以ab>b°，故B正确：对于C,因为a>b>1所以ga> 三_g3同时由于对数函数y=g在定义城(0，+0)上是增函数。 y lg2' g6>0,所以 因为0c1.所g<0,所货管5所以 进面务长骨所以2D同理三上5 ogc>ogc,故C错误：对于D,由选项C可知0>lgc>og,又>b> 3y 3lg 2 lg 8 “2进面25 5:5g2 1,所以loge>ge>alog e,所以alogsc<blog.c,故D错误故选AB g321,所以2<5：，所以3<2x<故选D lg 25 9.C解折：因为到=e341）-=e(3+3方的定义线为 5.D解析：由函数rx)=㎡-(>0且a≠1)在R上为诚函数，可得 0<a<L,又两数y=log,(xl-1)的定义城为(-x,-1)U(1,+云).当 R,又g(-x)=g(3三+3i)=g(x),故函数g(x)为偶函数 x>I时，函数y=l唱.(|-I)=g,(x-1).将函数y=lgx的图象向 又x∈[0，+)时，3行≥1，y=3立单调递增，故由复合函数单调性可 右平移1个单位长度即可得到函数y=?(x-1)的图象又因为函 数y=g(1x-1)为偶函数，所以图象关于y轴对称故选D. 得函数y=32+3立在[0，+元)上单调递增，雨数y=g1x在定义城上 a(2) 单调递增，所以g(x)在[0，+x)上单司递增， 解析：由题意，当2<x<4时，满足(x)=(4-x).所以 八x)在(2,4)与(0.2)上的图象关于直线x=2对称，作出图象.如图 所以a)=,(3r+3)-宁=1+le(3r21)-宁=e,(3r 所示 10-2=8-2. 所以(x)的图象关于直线x=2对称，且在[2，+x)上单调递增. 所以f代a-1)f2a+1)台1a-1-21≥12a+1-21,两边平方，化简得 (a+2)(3a-4)≤0，解得-2≤a≤1做选C. x=2 四重难点拨 因为x1<<1<x4.可得1+x=+=4,且-1=n，所以 本题的关皖是构造函数g)=g(3+1)-),然后根指通数的 51,所以新= 一，=4-2，所以(1+2)2+号+= 单调性及对称性化简不等式进而得到结果 +++x+2= 4(）广2=2s）广 10.解：(1)《x)的定义域为R,由题知-x)=x),即1g(2+1)+ r=lkg,(2+1)-am,化简得2m=lo:2+ 2"+1 =log2,即2=x对任 1 为=2-+30,1e(2. 因为其图象的对称轴为直线1=2， 意xER恒成立，得a=今 2+1 开日向上，所以40在（么，子）上单调适始，可得24(0）< 0g2(m·2 .所 (2)当a=1时xj=lg22).因为不等式g,号 以(+)户+的取值范围是(2，货)放答案为(2经）月 3m)对Yxe（-云，1)恒成立.所以m(2-3)>0①，且2m 2 (2-3)2对x∈(-，1)恒成立 四方法总结 1识图 由①得m<0.由②得m> 2+1对Vx∈（一0,1）恒成立， '(2-3) 对于函数的图象，要从图象的左右、上下分布范面，变化趋势，对称 性等方面研究面数的定义城、值城、单调性，奇得性、周期性，注意图 令1=2+1e(1,3).则g)=-1)(t-42-51+4+4 一 象与函数解析式中参数的关系 2用图 -1,当且仅当1=2时，g()=g(2)=-1.所以m>-1.综上，m的取 借物菌数图象，可以研究菌数的定义域，值域、单调性，奇偶性、对称 值范固是(-1.0) 性等性质，利用函数的图象，还可以判断方程八x)=g(x)的解的个 专项突破10与二次函数有关的零点问题 数，束不等式的解集等。 1.D解析：记x)=262-2-5-1,由题意可知函数x)有两个零点. 参考答案黑白题117 所以k≠0，若k>0,则/代x)=2x2-2x-5k-1为图象开口向上的二次函6.D解析：由题意，在x)=2-4x-1(:≠0)中，其图象的对称轴为 数，要有两个零点且一个大于1.另一个小于1.则八1)=2k-2-5k 1<0,得>-1.故k>0:若k<0.则代x▣22-2x-5k-1为图象开口向 直线。号函数在区间(-山，)内拾有-个零点，所以4中 下的二次函数，要有两个零点且一个大于1，另一个小于1，则 (-4)2-4ax(-1)=16+4a,当a≠0,4>0时.只需八-1)·f八1)<0，即 f八1)=2k-2-5k-1>0,得<-1，故<-1.综上可知，<-1或>0，即实 16+4a>0 解得-3ca<5.且a*0.所以-3<a<0.0<a<5. 数k的取值范围是(-，-1)U(0,+x)故选D. (a+4-1)(a-4-1)<0. 2.B解析：方程2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2.则二次函数y= 当a=-3时x)=-3x2-4x-1=-(x+1)(3x+1).在定义域内的零点 2+(m-2)x+5-m的图象与x轴的两个交点都在x=2的右侧，如图， 只有-号，符合要求，当a=5时e到=5-4-1=(x-1)(5+ 根据图象得方程的判别式4≥0：当x=2时函数值y>0:函数对称轴 [(m-2)2-4(5-m)≥0 》,在定义城内的零点只有=了，符合要求，当a≠0,4=0，即 x= m-2 2.即 4+2(m-2)+5-m>0,解得-5<m≤-4.故选B. m-2 a=-4时)=--41=-(2+1)户，零点为子符合要求综上 2>2 所述，实数a的取值范围为-41U[-3,0)U(0,5].故选D. :=一m, 7.(-12,-5)解析：记题设的两个零点为x1,2,则 由 (12=4, 3<x1+2<4, x1,3∈(1,2)知 所以9<(x,+2)(x2+2)<16.所以2m 3c1+2<4, 3.D解析：由已知函数八x)=2-x+a有两个大于1的零点x,,即 -+4=0有两个大于1的不等实数根1：2，得 n=-2(x1+x1)-x1x2=4-(x1+2)(x1+2)∈(-12，-5).放答案为 (-12.-5) [4=(-a)2-4a>0. 8.(3.7]解析：由题意得八x)=x2-6r+2+a=(x-3)2+a-7为连续函 21 解得a>4.又1+3=a,11=a,故x行+x行三 数，且在(1,3)上单调递减，在(3,4)上单调递增，故(3)=a-7, /八1)=1-a+a>0 1)=1-6+2+n=a-3/4)=16-24+2+m=a-6, (1+3)2-2x1x2=m2-2m=(a-1)2-1,由于y=(x-1)2-1在(4，+0) 1)>0,.(八4)>0. 所以只需 解得3<a≤7，故实数a的取值范围 上单端递增，故(x-1)2-1>(4-1)2-1=8,即x+x子=(a-1)2-1>8 3)≤03)0. 故结合选项可知x+x号可以取到的值是10.故选D, 是(3.7].故答案为(3,7 4.A解析：已知函数(x)=x2-2x+a在区间(-2.0)和(2,3)内各有一 9.A解析：方程9+3+1-m+1=0有解，则(3”)2+3×3-m+1=0有解， -2)>0. 令3=>0，则可化为2+31-m+1=0有正根，则2+3：=m-1在(0， 8+a>0. +)上有解.又当：∈(0，+0)时.2+3>0.所以m-1>0→m>1.故 f0)<0. 个零点，如图，则 即{a<0,解得-3<a<0.故选A f八2)<0. 选A 3+a>0, /3)>0. 四易错提醒 1.对与复合西数有关的间腿，要弄清楚复合函数由鬼些基本初等函 数复合而成，并且一定要注意面数的定义城： -2cta 2对可化为a2+b·a'+e=0成a+6·a+c≥0（写0）形式的方程或 不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围， 2有 10.A解析：f八x)=(g2x)2+3引g2x-m在[1,2]上有零点，即m (g2x)2+3og2x在[1,2]上有解.令1=lg2x,由x∈[1,2]，得1e 5.D解析：设八x=x2+mr+1.由二次函数代x)=x2+mt+1的两个零 [0,1].则m=2+31.其中1∈[0.11.令g()=2+3.则g(1)在[0.1] 「4=m2-430. 上单调递增，所以g(0)≤g(t)≤g(1),即0≤g(t)4,所以0 点都在区间(0,4)内.可得 0<-2<4. 解得、 运m运4，故m的取值范围是[0,4.故选A 4<m≤-2因 11,B解析：设1=gx,则原方程化为2++6=0，其两个根为41=g1+ f0)=1>0. 2=g2,由根与系数的关系可得442=-=g1+g=g(12)= /4)=4m+17>0 g100=2,所以a=-2因为2-2+b=0有两个不相等的实数根，所 此，实数m的取值范围是 以△=4-46>0，解得<1.即a+b的取值范围为(-x,-1).故选B. 必修第一册，BS黑白题118