专项突破7-8 函数的对称性&函数的周期性-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

专项突破07 函数的对称性 题组一函数图象的对称性 B.g(x)为奇函数 1. 已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点 C./(2)=0 (1.0)成中心对称,且当x三1时,f(x)= D.f(x)为偶函数 x2+mx+n.若/(-1)=-7,则3m+n=( ) 7.(2023·江苏常州中学高一期中)已知函数 D. f(x+1)是偶函数,当1<x.<x。时,[f(x)- A.7 B.2 C.-2 f(x)](x-x)>0恒成立,设a=f(-) 2.函数f(x)在[0.+)上单调递增,且f(x+ 3)的图象关于直线x三-3对称,若f(-2)= b=/(2),c=/(3),则a.b.c的大小关系为 __ 1.则满足f(x-2)<1的x的取值范围是 A.a<b<c B.c<h<a ( _~ C. bc<a D. b<a<c A.[-2,2] 8.(多选)(2024·江西萍乡高一期末)已知定 B(-x,-2]U[2.+x) 义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1- C.(-x,0]U[4,+x) x)=0.且在区间(-*,1)上单调递减,则下 D. [0,4] 列说法正确的是 ( _~ 3.若函数-x-a 的图象的对称中心是 A./(1)=1 x-a-1 B.f(x)图象的对称中心为(1.0) P(4.1),则实数a= C.f(x)在区间(1.+)上单调递减 4. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(4-x)+ D.满足xf(x)<0的x的取值范围是(-×, f(x)=2.若f(x)的图象关于直线x=4对$ 1]U[2,+2) 称,则/(-2)= 9.(2023·山东临沂高一期末)已知函数y= 题组二函数的对称性与其他性质的综合应用 (x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图 5.(2023·河北保定高一期中)设函数f(x)的 形的充要条件是v=(a+x)-b为奇函数.据 图象关于点(1,1)对称,则下列函数中为奇 此,写出图象关于点(1.0)对称的一个函数 函数的是 _ 解析式为 图 x-1 A./(x-1)-1 B./(x-1)+1 象的对称中心是 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 10.(2024·河南郑州高一期末)已知函数y= 6.(多选)(2024·浙江宁波高三期末)已知 f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)+g(1-x)= a(a≠0),g(1+x)=g(1-x),若f(x+2)为奇 的图象仅有四个交点,分别为(x,y), ( 函数,则下列结论正确的是 _~_ (x,y),(x,y),(x,y),则y+y+y A.g(x)关于直线x=1对称 10 黑白题 数学1必修第一册·BS 专项突破08 函数的周期性 题组一函数周期性的定义及其应用 7.(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为 1.有下面两个命题:①若=f(x)是周期函数 R,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x+1)=1.f(x+ 1)-g(x)=3,则下列结论正确的是( 则v=f(f(x))是周期函数:②若y=f(f(x)) __ 是周期函数,则v三f(x)是周期函数.下列说 A.g(x+2)为偶函数 。 法中正确的是 ) B.f(x)-2为奇函数 A.①②都正确 B. ①正确,②错误 C.f(x)是以3为周期的周期函数 C.①错误,②正确 D. ①②都错误 D.g(x)是以4为周期的周期函数 2.(2024·陕西西安高三月考)函数f(x)的定 8.(2024·山西运城高一期末)已知/(x)满 义域为R.f(x+2)=f(-x),f(-x+4)= 足f(x+3)+f(1-x)=3.且函数/f(x+1)为偶 -f(x),已知当0<x<1时,f(x)=x3-3x,则$ 函数,若f(1)=0,则f(1)+f(2)+. + ) f(2023)= /(2024)= _~ 7 B.-2 A.0 C.1 D.2 A.0 B.1012 3.设定义在R上的函数f(x)满足f(x-2)= C. 2024 D. 3036 [1,-2<x<0 则f(3.5)三 题组目函数的周期性与其他性质的综合应用 -f(x),且f(x)= (-1,0<x<2. 9.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)= f(f(5.5)= fx),且当xE(0.1]时,f(x)=x(x-1),则 4.已知函数f(x)满足f(x+2)-1=f(x)/(x+2). 当xE(-2,-1]时,f(x)的最小值是( _~ f(0)=2,则/(2022)+f(2024)= 题组二函数的周期性与其他性质的关系 5.(多选)(2024·福建泉州高一期末)定义在 R上的奇函数f(x)满足f(-3x)=f(2+3x), 。 __ 则下列结论一定成立的是 10.(2024·重庆北碎区高一期末)已知定义 A.f(0)=0 在R上的函数f(x)满足f(x-1)的图象关 B.2是f(x)的一个周期 于(1.0)中心对称,f(x+2)是偶函数,且 ( f(x)在[0.2]上是增函数,则 ) C.(2.0)是/(x)图象的一个对称中心 D. f(3x+1)为偶函数 A. f(2)<f(27)<f(13) 6.(2023·重庆九龙坡区高一期末)已知函数 B. f(2)<f(13)<f(27 C.f(13)<f(27)<f(2) f(x)的定义域为R.f(x+2)为偶函数 f(-3x+1)为奇函数,则下列结论正确的是 D. f(13)<f(2)<f(27) ) _ 11.已知函数f(x)的最小正周期为2,当xe B./(2)=0 A.f(4)=0 [0,2]时,f(x)=-x2}+2x+3.若xE C./()_0 [-2022,2024],则满足f(x)三4的所有 D./(-1)=0 x取值的和为 进阶突破·专项练 112产1=0，(-)241)=0.解得=1或=子，南于2 7.D解析：当1<1<x:时，[/()-f1)](-名)>0，则f八)> 2x 八x,),所以函数(x)为(1，+如)上的增函数由两数x+1)是偶函 0故号含去当=1时到ge加1.即y严g)有 数可得10=1-0.所以a()/2): 公共点(1,1)，设y=尺x)与y=g(x)存在隔离直线函数y=x+b,则 点(1,1)在隔离直线函数y=红+b上，则+b=1,即6=1-长，则 ）/(）因为3>1，所以6ac枚选n y=+1-6:若当x>0时有f八x)≥红+，即x2-x+1≥红+1-k.则2 (1+W)x+h≥0在(0.+x)上恒成立，即(x-1)(x-k)≥0，由于1∈ 8.BC解析：对于选项A.将x=0代入等式f代x+1)+(1-x)=0,可得 (0,+x),故此时只有k=1时上式才成立，则6=1-k=0,即隔离直 1)=0,选项A错误：对于选项B,若函数八x)满足f(x+1)+ 找丽数为y=x下面证明g()≤(>0)，令y=g()-=-2x中 1 f八1-x)=0,即八1+)=-代1-x),则函数x)的图象关于点(1,0)对 称，选项B正确：对于选项C,函数f代x)在区间(-x,1)上单周递减. ）1≤2·1=0.即y=g0.放e,当 /1 且函数爪x)的图象关于点(1,0)对称，所以函数八x)在区间(1，+x) 上也单湖递减，选项C正确：对于选项D,显然函数八x)在R上单测 1,即x=1时，等号成立心y=x为yx)与y=g()的 且仅当x 递减，且f代1)=0，由xf八x)≤0，可得当x>0时，x)≤0，解得x≥1， 隔离直线函数 则x≥：当x≤0时八x)≥0，解得x≤1，则x≤0，所以不等式x)≤ 0的解集为(-g,0]U[1,+x),选项D错误故选BC 专项突破07函数的对称性 9.y=-1(答案不唯一）(1，-1)解析：由题意，根据函数图象的平 1.C解析：因为定义域为R的函数代x)的图象关于点(1.0)成中心对 移变换，函数y=P(x)的图象可由奇函数y=中(x+1)-0的图象向右 称，且当x≥1时代x)=x2+mx+m,若-1)=-7，则f八3)=--1)= 平移1个单位长度得到，取奇函数y=x,将该函数的图象向右平移1 7.所以爪3)=32+3m+n=7.即3m+m=-2放选C. 个单位长度，可得函数y=x-1的图象设函数爪x)图象的对称中心为 2.D解析：因为爪x+3)的图象关于直线x=-3对称，所以八x)的图象 (a,b)fx+a)-b=-x-a+ 关于y轴对称，则有八-2)=八2)=1.又八x)在[0，+)上单髑递增， +0-b,曲函数y=x+a)-6是奇函 6 所以由代x-2)≤1可得-2≤x-2≤2，解得0≤x≤4.放选D. 数，则-r+o)-b=-个+n)+6,即x-a+6 r+a-1广6=x+a- 6 33解折：由短意得二中其照象的对将中心是(1 a-+6, 1),所以a+1=4.4=3. 解得a1:枚答案为)=-1（答案不-）：，-D. 6=-1. 4.1解析：因为f(4-x)+f凡x)=2,令x=2.所以f(4-2)+f(2)= 2/代2)=2，所以尺2)=1.又八x)的图象关于直线x=4对称. 10.0解折：函数g)宁的定义线为(-，0)U(0,+),关于原点 所以八6)=2)=1.令x=-2.则f爪4-(-2)]+f(-2)=2→f(6)+ 11 八-2)=2，即1+代-2)=2，所以代-2)=2-1=1.故答案为1. 对称又8()2云)，所以函数g)是定义城为 5.C解析：由题意知，将(x)的图象向左平移1个单位长度，再向下平 (-x,0)U(0,+)的奇函数，所以g(x)的图象关于原点对称，又 移1个单位长度，所得函数关于点(0,0)对称，则所得函数为奇函数. 函数y=代x)为奇函数，即rx)的图象也关于原点对称，所以它们的 所以八x+I)-1为奇函数，故选C 四个交点()，(2)，（与）.(4)分为两组关于原点中 6.ACD解析：因为g(x)的定义域为R,且g(I+x)=g(1-x),所以 心对称，所以1+y2+y1+y,=2×0+2×0=0.放答案为0 g(x)的图象关于直线x=1对称，故A正确：但不能确定g(x)为奇函 四方法总结 数，故B错误：根据题意，y=八x+2)是定义域为R的奇函数，所以 两个函数的图象都关于(a,)对称，则它们的交点地关于(a,b) f八x+2)=-八-x+2),令x=0,得八2)=0，故C正确：因为/八x)+g(1 对称 x)=a,所以/八-x)+g(1+x)=a,结合g(1+x)=g(1-x),期-x)+ (I-x)=a,所以x)=八-x),即/八x)为偶函数，故D正确.故选ACD 专项突破08函数的周期性 四重难点拨 抽象函数的对称性 1.B解析：①若y=f八x)是周期函数，设周期为T.则f八x+T)=爪x). 已知函数(x)是定文在R上的函数 则f代fx+T))=八x))也是周期函数，故①正确： ()若a+)=b-x)框成立，则y)的图泉类关于直线x=a 2若y=f代x》)是周期函数，设周期为T,则八x+T))=爪x)). 2 八x+T)=x)不一定成立，故2错误故选B 对称，特别地，若八a+x)=八-x)恒成立，测y=八x》的图象关于直 2.D解析：因为fx+2)=f-x),所以f-x+4)=x-2).又因为f代-x+ 线x=口对称， 4)=几x),所以f(x-2)=-几x),可得f(x+2)=-八x),则f(x+ (2)若函数y=f几x)满足爪a+x)+f爪a-x)=0,卿f八x)=-f(2a-x),则 4)=八x+2)=-[-八x)1=八x),可知4为函数x)的周期.所以 f尺x)的图象关于点(.0)对# f代2023)=f4×505+3)=f3)=-f1)=-(-2)=2放选D. 参考答案黑白题115 四重难点拔 选项A的分析可知g(x+2)=g(-x+2),又因为g(x)为偶函数，所 抽象函数的调期性 以g(x+4)=g(-x)=g(x),则函数g(x)是以4为周期的周期函数， (1)如果f八x+:)=-八x)(a≠0)，那么f八x)是周期函数，其中的一个 故选项D正确.故选AD. 周期T✉2a 8.D解析：由题意，函数八x+1)为偶函数，所以八x+1)=八-x+1), 2)知果八+a)(a≠0)，那么)是周期函数，其中的一个 八x)的图象关于直线x=1对称，所以f八x+3)=3-f（1-x)=3-f代1+ x)=3-[3-f八x-1)】=f代x-1).函数(x)的周期为4，在八x+3)+f1 周期T=2a x)=3中，分别令x=0,x=1.得(3)+/(1)=3，(4)+f(0)=f(4)+ (3)如果f代x+a)+f代x)=c(a≠0)，那么x)是周期函数，其中的一 八2)=3.解得爪3)+(1)+f(4)+f八2)=6，所以f(1)+f(2)+++ 个周期T=2a 2024)=6x2024.3036,故选n. 4 3.11解析：由x-2)=-八x),得f代x-4)=-代x-2)=x),则函数 的周期是4，则f(3.5)=-0.5)=1,/((5.5)=1.5)= 四重难点拨 f-1)=1. 周期性与奇偶性结合的问则多考查求值问题，常利用奇偶性及周期 性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义 x)/+6) 1解析：x+2=八+42人 域内求解 1+4x),所以)的周期为6，(2022)=(6×37)= 1 9.D解析：由题意可知，函数y=f八x)是以1为周期的周期函数，当x f八0)=2.f2024)=f(6×337+2)=f(2)=-1.所以f2022)+ (-2,-1]时，则x+2e(0.1】,则/x)=f八x+2)=(x+2)(x+1)=x2+ f2024)=1. 2即当e(2-1时42=(）广-可细而 5.ACD解析：定义在R上的奇函数代x)满足f-3x)=f(2+3x),所以 0)=0,故A正确：且-x)=2x),所以x)=f2-x)=-八x-2)= 数y欢)在=三处取得最小值，且最小值为/（）放 八x-4),即八x)的周期是4，不是2，故B错误：因为八-x)=2+x), 选D 所以八x)图象的对称轴为x=1.又(0,0)为八x)图象的…个对称中 10.C解析：因为x-1)的图象关于(1,0)中心对称，所以x)图象的 心，所以(2,0)是/爪x)图象的一个对称中心，故C正确：因为爪-x)= 对称中心是(0,0)，故代-x)=-x),即/代x)是奇函数.因为f(x+2) 八2+x),所以八3x+1)=八1-3x).即八3r+1)为偶函数.故D正确.故 是偶函数，所以f(x+2)=八-x+2),则x+4)=代-x)=-x).所 选ACD. 以八+8)=f(x+4)=八x),因此x)的周期为8，所以(27)= 6.D解析：依题意，八x)的定义域为R,由于f八x+2)为码南数，图象关 f3)=f1)八13)=5)=f八-1).因为爪x)）在[0.2]上是增函数且 于y轴对称，所以八x)的图象关于直线x=2对称，八-3x+1)为奇函 爪x)是奇函数，所以八x)在[-2,2]上是增函数.所以八-1》<代1)< 数，/代-3x+1)=-3x+1).由f-(3x+1)+2)=-3x+1),用x整换 八2)，则13)<27)<2).故选C 3x+1代2-x)=-八x).所以2+x)=f八2-x)=-f八x).所以八x+4)= 11.2023解析：在函数fx)的一个周期内，即xe[0,2]时，x)= (2+x+2)=-f(2+x)=fx),所以九x)是周期为4的周期函数.由 -x242x+3=-(x-1)2+4≤4，又因为/八x)≥4，所以八x)=4,当且仅 f八2-x)=-x)得f八2-x)+x)=0,所以八x)的图象关于点(1,0)对 当x=1时取得1)=4，在xe[-2022.2024]内共有2023个周 称，令x=1,则2/1)=0八1)=0，所以f代-1)=f代-1+4)=f(3)= 期，且每个周期内的x取奇数时的函数值为4，故所有的x值之和为 f八2+1)=-1)=0，所以D选项正确，A,B,C选项无法判断.故选D. (-2021)+(-2019)+(-2017)+-+(-1)+1+3+…+2019+ 7.ABD解析：对于选项A,由八x)+g(x+1)=1,将x换成x+1可得 2021+2023=2023,故答案为2023. 八x+1)+g(x+2)=1,又因为f(x+1)-g(x)=3,所以g(x+2)+ g(x)=-2,即g(x+2)=-g(x)-2,将x换成-t可得g(-+2)=-g(-x) 专项突破09指数函数与对数函数 -2■-g(x)-2,所以g(x+2)=g(-x+2).所以g(x+2)为偶函数，故 选项A正确：对于选项B,由八x+1)~g(x)=3可得g(x)=f八x+1)- 1.A解折：因为6⑧=c=12=L4<5,所以c从又因为 3,将x换成-x可得：g(-)=-x+1)-3,因为g(x)为偶函数，所以 61,所以6>疗，得到%6e:子-6，即a>6,所以Db>e放 八-x+1)=尺x+1),所以函数x+1)为偶函数，函数八x)的图象关于 直线x=1对称因为x+1)-g(x)=3,所以3+g(x)=八x+1)=八-x+ 选A 1),即3+g(x)=八-x+1),将x换成x+1可得3+g(x+1)=八-x),义 2.A解析：由对数的运算性质，可得0=log21<ogo,05<o吧o:0.2= 因为x)+g(x+1)=1,所以/代x)+f-x)=4.则f-x)-2=2-x)= 2,可得0a<2 ,且6=logn0.2>0g,0.25=2.又由指数函数的性 -[代x)-2],所以函数八x)-2为奇函数.故选项B正确：对于选项C, 由B的分析可知函数(x)的图象关于直线x=1对称，且八x)+ 质，可得 -=0.51<0.52<0.5°=1，所以b>>m.故选A f八-x)=4,期八x+4)=八--2)=4-+2)=4--x)=f八x）,所以两 数x)是以4为周期的周期函数，故选项C错误：对于选项D,由 3.D解析：依题意，e=（5 ’=5e=5e号，e3= 必修第一册，BS黑白题116