专项突破3-4 利用基本不等式求最值&二次函数的最值问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

心专项突破03 利用基本不等式求最值 题组一无条件求最值 7.(2024·江西新余高一期末)已知a>0,b> 1若y是正数，则(+写)广+6+2士广的最 0,2a+6=0,则+点2的最小值 小值是 为 7 9 A.3 B. C.4 D. 2 8.设>0.b>0,a-2h=1,则a+4)(8+1)的 ab 2.(多选)(2024·湖北孝感高一月考)下列各 最小值为 小题中，最大值是)的是 9.已知实数x>0,y>0,x+4y=22,若 x+1 A.=x2+ 1 (m>0)的最小值为1，则m= 16x2 my+ 题组目构造不等式求最值 B.y=x1-x2,x∈[0,1] 10.(2024·江苏淮安高一期末)已知正数x,y C.y= x4+1 满足+3y3=6,则x+3y的最小值是 x Y D.y=x+4 x+2-2) 11,已知c>0,非零实数a,b满足9a2-3ab+ 3.(2024·江苏苏州高一期末)已知x>1,y> 1,则+1)°，x+1)°的最小值为 =则使3+6最大时，】子2的最小 x-1y-1 值为 (a-2b的最小 9 4.设a>2b>0,则(a-b)2+ 题组四恒成立问题 值为 12.(多选)(2024·河南安阳高三月考)已知 题组日条件最值问题 0,0.且2zxy=2,者≤+2对任 5.(2024·福建莆田高三月考)若正数x,y满 意的x>0,y>0恒成立，则实数m的可能取 足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时， 值为 () x+2y的值为 ( 24 .5 B.2 B.R D.2 13.(2023·湖北武汉高一期末)若对任意实 28 C.5 D.5 数x>0,y>0,不等式x+√y≤a(x+y)恒成 立，则实数a的最小值为 () 6.(2024·江苏扬州高一期末)已知x+y=1,y> 0≠0，则的值不可能是（) A.2-1 2 B.√2-1 号 C.1 D.5 2+1 C.√2+1 D. 4 2 04黑白题数学|必修第一册·BS 心专项突破04 二次函数的最值问题 题组。二次函数在闭区间上的最值求解问题 7.已知函数f代x)=-x2+2bx,若ff(x))的最大 1.(2024·江西宜春高一月考)已知f(x)= 值与f(x)的最大值相等，则实数b的取值范 ax2+bx+1是定义在[a-1.2a]上的偶函数 围是 ( 那么y=f八x)的最大值是 ( A.b≤0 B.b≥1或b≤0 A.1 B 31 C.-1≤b≤0 D. D.b≥-1 27 8.(2024·河北石家庄一中高一月考)当x>0 2.若函数f(x)=x2-1的定义域为[0,4]，则函 数y=f(x2)+[f(x)]2的值域为 时，y= x+1)2x+1 的值域为 题组国已知二次函数最值求参数问题 题组四含绝对值的二次函数最值问题 3.若函数f代x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最 9.(2024·浙江宁波高一期中)若函数f(x)= 大值是M,最小值是m,则M-m xx-al在区间(0,2]上既有最小值又有最 A.与a有关，且与b有关 大值，则实数a的取值范围是 B.与a有关，但与b无关 10.(2024·山东日照高一期末)设M,表示函 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 数)=日2-x+1在闭区间1上的最 4.已知函数f代x)=x2+m,若存在实数a,b,使 大值.若正实数a满足Mo.1≥2Ma.2m1, 函数f(x)在[a,b]上的值域为[a,b], 则正实数a的取值范围为 则实数m的取值范围是 ( 11.(2023·四川眉山高一期末)已知函数 A.o,2） f(x)=x2+3lx-al(aER). B (1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小 c.o.4) 值分别记为M(a),m(a),求M(a)- m(a）; 5.已知函数f八x)=x(x-2)在区间[t,2t-1]上 (2)设b∈R,若f(x)+b1≤3对x∈[-1， 的最大值与最小值的差是9，则实数t的 1]恒成立，求3a+b的取值范围。 值是 题组目可转化为二次函数的最值求解问题 6.(2024·河南商丘高一期中）已知 f八√1-2x)=x-√1-2x,则函数f(x)的值 域为 A.[1,+∞） c.(,2] D.(-0,1] 进阶突破·专项练052y=3,y=6,此时三角形据架的周长L=x+y+√星+y,L 宽度均为10cm,所以四个宜传栏的总面积y=(CD-5×10)· 1x-50>0. x+2+y≥2行+√2y=26+25,当且仅当x=y时等号成 (1AD1-2×10)=(x-50)· 3600-20,其中3600 20>0. 立，由于2=1.414.√5=1.732.故26+23✉8.36.放选C. 以50<x<1800.即y=(x-50) 36000 5.400解析：设每吨的平均处理成本为s元，由题意可得x=】=王+ 20.50<x<1800. 8000-300.其中300≤≤60.由装本不等式可得号◆80000 (2)由(1)知y=(x-50) x 3600-20）50x<180 x /x80000 300≥22 010,当且仅当行-00”，即=m 则y=(x-50) 60-20）3700-(2+1800） ,50<x< 时，每吨的平均处理成本最低故答案为400 18400 6.25解析：由题意可得p=2a+b+e)=4,c=2,a+6=6≥2v而，所 其中20x+180000 ≥2√/20x1800000 12000.当且仅当x=300 以b9,当a=b=3时等号成立.所以S=√p(p-a)(p-b)(P-e)= 时取等号 √8(4-)(4-b)=√/128-32(a+b)+8ab≤22.故答案为22. 则y=37000 20r+J800000 ≤25000.当且仅当x=300时取等 7.140解折：设00长为ym,则4切+2=80，即y=20-三 4. 36000 号，即CD=300cm,AD= =120m时，可使用宜传栏总面积最 300 45,所以3=%2+8x4×=10(2+ -160≥100× 2 大为25000cm2, 2x4 1010当且仅当：，即=22时，等号皮立. 专项突破03利用基本不等式求最值 所以当x=2迈时，S取最小值为1440.故答案为1440 1c解桥因为00所安广（公）广=宁动 8.(1)1900(2)100解析：(1)，F= g20当1=605时F 76000r76000 7600076000 (小（售）小（品）2宁2 产+1+121+1s,a .1218+22100,当且仅当 18+2√ 1+2x4,当组仪当y受时取等号。 =12即=1时取等号.=605，最大车流量为1900辆/时。 2.BC解析：对于A,y=2+, 76000r (2)当1=5时.F▣ 76000 ■ 2√100= 2+18c+100 .+100 ±宁时取等号），因此两数无最大值，故人不符合题意：对于B,产 0. =200.当且仅当=100.即=10时取等号.六1 )≤(≥0以y号当组仅当=号 5,最大车流量为2000辆/时.又2000-1900=100.最大车流量比 时取等号，故B符合题意： (1)中的最大车流量增加100辆/时. 对于C,当=0时，=0当0时，y= 9.解：()设此次行车总时间为，则=130小时（其中50≤x≤1O0).放 ×了≤，，当月仪当=t/ 车总耗油1(2局)升.总油费=2(2）-(0 时取等号，故C符合题意：对于D,y=x+2+4 22金 元，司机工资为行=1'2”（元）.所以行车总费用y关于 13x 2(+2)·-2=2⊙-2（当且仅当=0时取等号），放D不 18 符合题意.故选BC 的表达式为y=y+-520,1120.2340,150≤≤10. 18x18 3.16解析：由x>1,3>1可知x-1>0,J-1>0, 2340,1=260,当且仅当 令m=x-1,n=y-1, 2)由(0可得y=2:+822√厂，8 所以+2，（+12_a+22(m+22 x-1y-1 一20：1皮甲180时，等号成立，甲56照千米时，行车总人 费用最低，最低为82.16元 22,m+2y222v2=8(0骨）16. 10.解：(1)根据题意DC=xcm,矩形海报纸面积为36000cm2,所 当且仅当m=n=2时.两个等号同时成立。 以4D=36000 m,又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空 则当xy3时.+有最小值为16故答案为16 必修第一册，BS黑白题108 412加板：（解奏-a-6产(6a-西 9 （当且仅当m(x+1)2=4(m心y+1)2时取等号)，得 1b=a-2b. 44 44 9 1+ 1++ 46(a-26)+6a-26212,当且仅当 9 分 m√m m√m 46(a-2h)= 根据题意得 =1,所以m=2,故答案 6(a-26)' 36 2 为2 时取到最小值12 6 b= 10.8解折：设x+3y=>0,则上+3 =1-6>0,故>6， 2 (解法二)令-26=m>0,6=m>0,则(-b)2+ 6a-26(m+n),9≥ 9 e+)仔号）19之≥102受·亭16 x y 4m+9≥12当且仅当m=n且4mm=9,即m=n= 6时取等号 当且仅当=3，即x=y=2时.等号成立. 星有 2 3B标新：因为+=5，p0,p0,所以分经1，所以+4 即(t-6)≥16，解得1≥8或1≤-2（舍去），故x+3y的最小值为8.放 答案为8. (3x+4y)· 11.8 解析：月为9a2-3a山+2=e.所以(3n+b)2-9ab=e.即c=(3a+ 仅当“=之，即=2=1时取等号.此时x+2的值为2放选R 5y 5x 3s(0-3(）6片所以r 6A解折：因方1所以12测品一骨 61≤26，当且仅当3a=b时取等号，此时b=3a,c=9如，所以 高温骨高2盘哥高，当仅当= +11xT ÷2:名品品女（日2）（日 2时.等号底立当p0时骨子当c0时昌 子所以品骨的值可能是子山，子教选人 3 5 12D好折：国为>0，p0.所哥≤2品≤ 7.√10解析：因为2a+b=b,所以有(a-1)(b-2)=2,所以a-1= 局期0白闲为s-2号所以6合义阳为o>0b>0,所以 品≤（片））x -0所以↓5↓5-2√信a可=m (s）(5*2·可）当且仅当号 (b-2>0. a-1'b-2a-i 2 2 兰，即y=号时，等号成立，即品≤子品兰≤0 9m9 当组议当少，博。1：时取等号又因为>1，所以 1a-12 140 ≤0，解得m≥号或a<1,适项中痔足条件的有A.故 9-7m 5 选ACD. b:24而时等号成立，所以高的最小值为瓜放答案 13.D解析：由题意可得.≥+石对于任意实数>0，>0恒成立， 为√10. 8.25+4 解析：因为(2+4)(62+D=+a2+42+4 1+ 则只需求+位的最大值即可，之= 了设入 x+y =1( ab ab 8+(a-262+4b+4>0.6>0.a-26=1,所以a2+4(62+D ab 1*N= 1+。 a262+4ab+5 ab ar42h4=254,当组取当 1+y+,再设1+1=m(m>1).则 0).则 1+ 1+1+2 时取等号，故最小值为25+4. 1 1 92解折：因为+=2点+4=(+0+片（+1)-(+后） +(m-19m2-2m+2° +222222-2 所t以(41+÷时+1)=20+(+÷）由[x1)+÷（m 当组仅当m= 之=2-1时取等号. m√ 4 所以≥即实数。的最小值为被毒肌 参考答案黑白题10附 的最大值为2，所以b≥1或b≤0时，尺x))的最大值与八x)的最 专项突破04二次函数的最值问题 大值相等 1.D解析：因为x)=ax2+x+1是定义在[-1,2a]上的偶函数，所以 a[2 有(a-*2=a-1=0.则号同时n-)=.即ar24+1 解桥：因为D0,所以令1=0(0.).则=1，则 a(-)46(-+1.则有=0，必有6=0所以)=号41，其定 t=2-t+1,4e(0,1),可知y=2-1+1图象开口向 义城为[子，子]则)的最大值为（号）引故选n 上，对称轴为直线之，且o=,,号所以= 2【子24]解桥：因为)=2-1的定文被为[0.41.所以y= )+严的定文城满足054解得0≤：≤2，即， 0≤x≤4， fx2)+x)]2的定义域为[0,21.令t=x2,则t∈[0,4]，所以y= 的值城为[？1)放答案为[？)】 ]a1(-10222=2-2=2(-） 9.(0,2]解析：当a<0时，在(0,2]上fx)=x2-x,其图象的对称轴为 ,当=时=当4时，m=24,所以y)+ 1 直线x=?,所以函数)在(0,2]上单调递增，所以)有最大值， 无最小值： )]2的值城为[号24] 当=0时，在(0.2]上八x)=x2,在(0.2】上单调递增.所以x)有最 大值，无最小值： 3.B解析：方法一：设x1,x2分别是函数八x)在[0,1门上的最小值点与 (x2-2,xa, 最大值点，则m=x+,+b,f=x号++k所以M-m=x号-x子+(2 当a>0时x)= 函数图象如图所示， 1),显然此值与a有关，与b无关.故选B ax-x2.x<a. 方法二：由题意可知，函数八x)的二次项系数为周定值，测二次函数 图象的形状一定随着b的变动.相当于图象上下移动，若b增大k个 单位，则最大值与最小值分别变为M+k,m+春，面(M+)-(m+ k)=M-m,故与6无关随着a的变动，相当于图象左右移动，则M-m 的值在变化，做与4有关故选B 4.C解析：由题意得0≤4<山.且八x)=x2+m为图象开口向上，对称轴 为直线x=0的抛物线，所以函数八x)在[ā，石]上单调递增.所以 :)在(0，号)和(a,+)上单调递州，在(？a上单调递减， 代va)=a+m=a】 要使孔x)在(0.2]上既有最小值又有最大值 即，a,6为方程2-x+m=0的两根，所以 /八不)=+m=6. 则0<a≤2.即实数4的取值范围为(0.2]故答案为(0,2]. 「4=1-4m>0 xx=m≥0 解得0≤mc寸故选C 10.【4-23.1】解析：函数f代x)的图象如下： 5.1+√3解析：函数f代x)的图象开口向上，对称轴为直线x=1,义 1<21-1,则>1，所以x)在区间[，21-1]上单调递增，则f(x)m 川4-2 4+2 f)=2-2./(x)=f(21-1)=42-8+3,所以(42-8+3)- (2-2)=32-6+3=9,解得1=1+3或=1-3（不合题恋，合去）. 爪x)图象的对称轴为直线x=4,八4)=1，八0)=f代8)=1：当fx)=0 221 6.C解析：设1=1-2z≥0，则=- 时.x=4±2W2,分类讨论如下： ①当a>8时，Mo1=a).M.22m), 4,所以)=2-+22(+1)2+1，≥因为函数✉)在 依题意，代a)≥22a),而函数在[4+22，+g)上是增函数，此时 [0,+)上单调递减，所以当x0时/()2，所以函数y a<2a,f尺a)<f2a),故不可能： ②当a≤8时，M0=1, 依题意，1≥2M21,即M121≤2 7.B解析：x)=-x2+2,当x=bf(x)m=-b2+2b2=b2,令=fx), 则f代f代x）)=f)=-t2+2城，当t=b≤62.即b≥1或6≤0时，f代f升x)) 令八x)=2,解得=425，内=2考=6，=4+25， 必修第-册·BS黑白题110 则有u≥4-23且2和≤2，解得4-2/3≤a≤1： 专项突破05分式型函数的最值问题 或者a≥6且2n≤4+25.无解， 综上，4-2w3≤a≤1.故容案为[4-23,1]. 1.C解折：由y子353而两数y=在0， x-1 -1 (x2-3+3u,x<a. 11.解：(1)fx)=x2+3x-a= 上单调递减，所以函数y=3+5在(0，+)上单调递减，又其在 1 x2+3x-3a,x≥a. ①当a≥1时八x)=x2-3x+3a在xe[-1,1]上单调递减. 上的银小值为8.所以yy3二-8，解得m=2故 则M(a)=f-1)=4+3a,m(a)=f八1)=-2+3 选C 此时M(a)-m(a)=6. 4 2.C解折：)严x+21=0.得1r+2=4,解得=2或-2由 ②当a≤-1时(x)=x2+3x-3a在xe[-1,1门上单剥递增， 4 则M(a)=1)=4-3n,m(a)=f-1)=-2-3a, 代x)=+21=1,得1+2=2，解得x=0易知在0时，)归 此时M(a)-m(a)=6. 21为减雨数，此时函数)的图象是由=上的图象平移得到 (x2-3x+3,-1≤x<a. ③当-1<a<1时fx)= 的.又由雨数(x)为偶两数，可作出函数风x)的图象（图略）.代x)的 x2+3x-3a,a≤x≤1， 定义城是[a,b](a,b为整数)，值城是[0,1]，根据图象可知满足条 此时穴x)在x∈[-1，a]上单调递减，在xe[4,1门上单调递增， 件的整数数对有(-2.0).(-2.1).(-2.2).(0.2)，(-1,2).共5个 则m(a)=a)=2,M(a)=mxf(-1),/1)1=mr4+3a,4- 故选C 3a=4+l3al, 解析：由函数x)在区间[3.6]上的最大值为5.则 此时M(a)-m(a)=4+13a-a2, [6,a≤-1， 1(1-2a)x+4a+21 +2a≤5.因为x-2>0,所以上式可变为 x-2 综上，(a)-m(a)=4+13al-a2.-1<a<1, (1-2n)x+4a+2 -2a(x-2)+x+2 6.a≥1. -2 ≤5-2a.即 -2 (2)原问题等价于-3-b≤(x)≤3-b,由(1)知 5 2s5又y=2 5-2a.则5-2a≥0.即a≤号上式化简得4u-5≤号 -2 (4+3a≤-b+3. 3u+b≤-1. ①当a≥1时，则 即 4 -2+3n≥-b-3, 3a+b≥-1， 2e3.6,则-2e1个，所以2≤号5，所以-52，解得 1+ x-2 此时3a+b=-1: 4-3a≤-b+3. 6-3a≤-1， 4≤子所以实数知的取值范阴为(，子]故答案为（子] 7 ②当a≤-1时，则 即 -2-3n≥-b-3. 6-3a≥-1. -+2令1=x-11+2(1≥2).则两 k-1 4.[0,3]解析：雨数fx)=1+ 此时-3a=-1,此时3a+b≤-7： 4+13nl≤-b+3, 数g)=1当k<时，函数g0)=1在2.+)上是增函 ③当-1<a<1时.则 a2≥-b-3, 数此时两数)的值城为，号，)小要对任意的实数 即-a2-3≤b≤-13nl-1, 不等式f八x1)+f代x2)≥f()恒成立，等价于f(x)m+爪x)。≥ 此时-u2+3m-3≤3+h≤3a-13nl-1: 由-1<m<1得-a2+3n-3>-7和3n-13a1-1≤-1. 九)则2(：兮)≥1就可以满足条件解得0≤<1当= 故-7<3+6≤-1.综上.3a+6的取值范围为(-，-1门. 时，g()=1,不等式)+2)≥)显然城立.当>1时，函数 四方法总结 g0)=14在[2，+x)上是诚函数，此时函数g)的值城为(1，+ 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一抽”数形结合，三点是指 区间两个端点和中点，一抽指的是对称轴，结合配方法，根福函数的 -11 2 ,要对任意的实数1，，，不等式代)+代)≥f)恒成 单调性及分类计论的思基求解： 2,由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 立，则1+122就可以满足条件.解得1<≤3棕上所述，实数 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数：二是不分滨参数 的取值范围是[0,3] (2)两种思路都是将问则归结为求酒数的最值，至于用事种方法， 1 5.C解析：令g(x)= 关键是看泰数是否已分真，这两个思骆的依据是a≥八x)恒成立一 f)' afx)mmta≤fx)但成立a≤爪x)m g)42r+10.（1)2+9 +1 x+1 三(x+1)+,令x+1.则1e[1,9。 参考答案黑白题111