专项突破1-2 集合中的创新问题&利用基本不等式解决实际应用问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

专项突破0] 集合中的创新问题 题组。集合中的新定义问题 A.MXN=NxM 1.(多选)(2024·福建厦门高一期末)聚点是 B.(MxN)×T=Mx(NxT) 实数集的重要拓扑概念，其定义是：ECR, C.Mx(NUT)(MxN)U(MxT) teR,若H8>0,存在异于t的xo∈E,使得 D.M×(N∩T)=(MxN)∩(MxT) 0<t-xI<8,则称t为集合E的“聚点”，集合 4.对于任意两个数x,y(x,y∈N),定义某种 E的所有元素与E的聚点组成的集合称为E 运算“0”如下：①当 x=2m,meN'或 的“闭包”，下列说法中正确的是 y=2n,nEN' A.整数集没有聚点 B.区间(3,4)的闭包是[3,4] x=2m-1,meN时，x0y=x+:②当 y=2n-1,nEN" Cx=2 nti,neN 的聚点为0 =2m,meN:时，x0y=y,则集合A y=2n-1,nEN' D.有理数集Q的闭包是R 1(x,y)IxOy=101的子集个数是() 题组国集合中的新运算问题 A.24 B.2日 C.2 D.2 2.(2024·山西大学附属中学高三月考)设S 题组目集合中的新性质问题 是整数集Z的非空子集，如果任意的a, 5.(2024·北京首师大附中高一月考)已知集 b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封 合A={1,2,…,n(n≥3)，IA|表示集合A 闭的若T,V是Z的两个没有公共元素的非 中的元素个数，当集合A的子集A:满足 空子集，TUV=Z.若任意的a,b,ceT,有 1A|=2时，称A为集合A的二元子集，若 abcET,同时，任意的x,y,z∈V,有xy3∈V, 对集合A的任意m个不同的二元子 则下列结论恒成立的是 ( 集A1,A2,…,Am,均存在对应的集合B满 A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 足：①BCA:②1B|=m:③1B∩A:I≤1(1≤ B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 i≤m),则称集合A具有性质J. C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 (1)当n=3时，若集合A具有性质J,请直 D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的 接写出集合A的所有二元子集以及m 3.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过 的一个取值： 程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积 (2)当n=6,m=4时，判断集合A是否具有 会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产 性质J,并说明理由。 生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要 了解笛卡尔积两个集合A和B,用A中元素 为第一元素，B中元素为第二元素构成有序 对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与 B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B.即A× B={(x,y)Ix∈A且y∈B{.关于任意非空集 合M,N,T,下列说法一定正确的是( 进阶突破·专项练阿 心专项突破02 利用基本不等式解决实际应用问题 1.(2023·江苏连云港高一期中)某车间分批 4.(2023·山东枣庄高一月考)将一根铁丝切 生产某种产品，每批的生产准备费用为 割成三段，做成一个面积为3m2、形状为直 900元，若每批生产x件，则平均仓储时间 角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的 为4天，且每件产品每天的仓储费用为1元， 铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的 是（注：2≈1.414,3≈1.732） ()》 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓 A.7.5mB.8m C.8.5m D.9 m 储费用之和最小，每批应生产产品 ( 5.(2024·广东佛山高一月考)某地为了加快 A.30件 B.60件 推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理 C.80件 D.100件 厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处 2.(2023·江苏常州高一期末)某工厂利用不 理600吨垃圾，月处理成本y(元)与月处理 超过64000元的预算资金拟建一长方体状 量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y= 的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即 仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材 2-300x+80000,为使每吨的平均处理成 料)，由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的 本最低，则该厂每月的处理量应为 两个侧面按照其底边的长度来计算造价， 吨 造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算 6.(2023·山东菏泽高一月考)若一个三角形 造价，造价为每平方米600元.在预算允许 的范围内，仓库占地面积最大为 ( 的三边长分别为a,b,c,设p=2(a+b+c),则 A.36平方米 B.48平方米 该三角形的面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c), C.64平方米 D.72平方米 这就是著名的“海伦-秦九韶公式”，若 3.近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格 △ABC的周长为8，AB=2,则该三角形面积 波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳 的最大值为 大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大 7.(2024·广东东莞高一期 化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑 中)某公园设计了一座八 铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一 边形的绿化花园，它的主体 定：方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采 造型平面图（如图）是由 购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确 两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面 的是 积为80m2的十字型区域，计划在正方 A.方案一更经济 形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/m2; B.方案二更经济 在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪， C.两种方案一样 造价为8元/m:在四个矩形（图中阴影 D.条件不足，无法确定 部分)上不做任何设计.设总造价为S(单 02黑白题数学|必修第一册·BS 位：元)，AD长为x(单位：m),则绿化花园 10.(2024·重庆南开中学高一月考)为宣 总造价S的最小值为 元 传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟 8.(2024·山东菏泽高一月考)某项研究表 在一张面积为36000cm2的矩形海报纸 明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流 (记为矩形ABCD,如图)上设计四个等高 量F(单位时间内测量点的车辆数，单位： 的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和 辆/时)与车流速度（假设车辆以相同速度 两个全等的直角三角形)，为了美观，要求 v行驶.单位：米/秒)平均车长1（单位：米）》 海报上所有水平方向和竖直方向的留空 76000 宽度均为10cm,设DC=xcm. 的值有关，其公式为F= 2+18+201 (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的 (1)如果不限定车型，1=6.05，则最大车流 表达式，并写出x的范围： 量为 辆/时： (2)为充分利用海报纸空间，应如何选择 (2)如果限定车型，1=5，则最大车流量比 海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少 (1)中的最大车流量增加 辆/时. 时)，可使用宣传栏总面积最大？并求 9.(2024·河北石家庄高一月考)运货卡车以 出此时宣传栏的最大面积 每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按 交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/ 时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每 小时耗油2+60)开，同机的工资是每小 水平方向 时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式： (2)当x为何值时，这次行车的总费用最 低，并求出最低费用的值.（最后结果保 留2位小数，√/10≈3.16) 进阶突破·专项练03进阶突破:专项练参考答案 专项突破01 当x.v同为奇数或者同为偶数时,x+y=10. 集合中的创新问题 (x.y)可取(1.9).(2.8).(3.7).(4.6).(5.5).(6.4).(7,3). 1.ABD 解析:对于A.根据定义,V8>0.(=B.若存在xo=Z.使得l (8.2).(9.1),当x为偶数,y为奇数时,xy=10.(x.y)可取(2.5). t。. (10.1),所以(x.y)可取的情况共有11种,即集合A中有11个元素 则1-8+8.当0-8x+81时,这样的x不存在 所以集合A的子集个数为2,故选C 所以不存在符合不等式且异于:的xt,故整数集无聚点,故A正确; 5.解:(1)当a=3时,A=)1.2.3,集合A的所有二元子集为11.21. 对于B,若V6>o,对于Vte[3.4],因为max1-8.31<min (48,4. 11.3,12.31. 所以存在异于1的xo,使得3max|t-8.3x。<min1+8,44. 则满足题意的集合B可以是 1或 2或31,此时m=1 故0<lt-x。1<8,故:为集合E的“聚点”,即区间(3.4)的闭包是[3. 或者也可以是1,2或1.3或2.31,此时m=2 4],故B正确; (2)当n=6.m=4时.A= 1.2.3.4.5.6|.假设存在集合B.即对任意 对于C.因为{_N})-{ -1_. 的A..A.A.,A.1B1=4.1BOA151(1i4).则取A=11 21.A=3.4l,A=15.6l.A=l2.31.(A.任意构造,符合题意即 可). n 此时由于1B1=4.若1A.0B11.1A.0B1<1.则B中必有元素5.6 所以0<tx-118.故{x #__ 的聚点为1.故C错误; 此时1A.DB=2.与题设矛盾,假设不成立,所以集合A不具有性 质1. 专项突破02 利用基本不等式解决实际应用问题 1.B 解析:根据题意,生产;件产品的生产准备费用与仓储费用之和 包是R.故D正确.故选ABD 2.A 解析:若7为奇数集,V为偶数集,满足题意,此时7与V关于乘 法都是封闭的,排除B.C;若7为负整数集,V为非负整数集,也满足 题意,此时只有V关于乘法是封闭的,排除D:从而可得7.V中至少 费用之和为/(x)=- 有一个关于乘法是封闭的,A正确.故选A 000x 3.D 解析:对于A.若M=]1l.V=)1.21.则MxN=|(1.1).(1. .即x=60时)(x) 2) .XM=1(1.1).(2.1).MxNNxM.A错误: 取得最小值..x=60时,平均每件产品的生产准备费用与仓储费用 对于B.若M=1.=2.T=31,则Mx= (1.2)1.MxV)$T= 之和最小,故选B. I((1.2).3).而Mx(NxT)=1(1.(2.3)).(MxN)×TMx(V× 2.C 解析;设不靠墙的两个侧面的长度分别为x.v.由题有64000 r).B错误; 1600(x+y)+600xy3 200 vry+600ry.令ry=1>0.期 600} 对于C.若M=11.-121.7=13.则Mx(VU7)=1(1.2).(1. 32 200-64000 02200(3+40)(1-8)0=0<r8.即xry\64.当B$ 3)1.MX=I(1.2)).MXT=|(1.3)).MX(NUT)=(MXN)U(M 仅当x=r=8时取等号.故选C 7).C错误: 3.B 解析:设第一次价格为p.>0.第二次价格为p>0.方案一:若每次 对于D.任取元素(x.y)EMx(NnT).则xEM且yENOT.则EA 且yET于是(x.y)MxN且(x.y)EMxT.即(x.y)(MxV)C 购买数量a.则两次购买的平均价格为×.= 2t (MxT).反之.若任取元素(x.y)(MxN)n(Mx7).则(x,y) 2m_: 若每次购买钱数为m,则两次购买的平均价格为x。=- eMxv且(x.y)eMxT. m n p:pP 因此xeM.yevHyeT.即xeM且ye/o7. 2p”所以&:-对“{ p.{P: 2-up:(p:)-4p。 所以(x,y)eMx(NOT).即Mx(NOT)=(MxN)n(MxT).D正确 2. 112 2p+p 2(p:+p) 故选D. p P 4.C 解析:根据条件中的定义可知,当x.yeN',且x.y同为奇数或者 20)0.即x,>x.当且仅当p,-P:时,等号成立,所以方案二 (p:-:) 同为偶数时,有:oy=x+y. 当x,yeN',且:为偶数,y为奇数时,有xy=xy. 更经济,故选B 故集合A=l(x.y)1xoy=10|中xy=10. 4.C 解析;由题意,设直角三角形的两条直角边为x.y(x0.y>0).则 参考答案黑白题107 宽度均为10cm.所以四个宣传栏的总面积y=(CD-5x10)· (360020)其中 (x-50>0. 36 000-20~0. ++=2vx+2xy=26+23.当且仅当x=y时等号成 (1AD1-2x10)=(t-50)· 所 立,由于2-1414.3~1732.故26+23~8.36.故选C (360020)5005100. 以50<xc1800.即y=(-50) (360020).50<x<1 800. (2)由(1)知y=(x~50) 80000 (36000-20)-37000- (20180000) 3002 则y=(x-50) ).50<x 时,每吨的平均处理成本最低,故答案为400. 1800. 6.2/2 解析:由题意可得p-(atb+e)=4.c=2,a+b-6>2Vb,所 =12000.当且仅当t=30 。 某 以abs9.当a=b=3时等号成立.所以S=Vpp-a)(p-b)(p- )= 时取等号, 8(4-a)(4-b)=128-32(a+b)+8ab<2v②.故答案为2v2. 则y=37000620-1 80000) <25 000.当且仅当x=300时取等 7.1440 解析:设D0长为ym,则4xy+x2=80.即y= 300 大为25.000cm{。 专项突破03 利用基本不等式求最值 所以当x=2/2时,$取最小值为1440,故答案为1440 #(-)(#)# 1.C 解析:因为x0.y>0,所以 8.(1)1900 (2)100 解析:(1)·F-- 76000 =+1820当1=6.05时F= -()())()=2,2x 76000 76000 76000 +18r+121 182176000 ,r r 100_2v100= 一. 时取等号) 1.因此函数无最大值,故A不符合题意;对于B.} 76000 (1)()-)→所以当仅当 .即:=10时取等号1= 5.最大车流量为2000辆/时.又2000-1900=100,最大车流量比 时取等号,故B符合题意: (1)中的最大车流量增加100辆/时 9.解:(1)设此次行车总时间为,则1-130小时(共中50<x5100),故 (2 汽车总耗油t. )升,总油费y=2. (2)-(520 +722 (x+2). 4 (元),所以行车总费用y关于; 符合题意.故选BC. 520 13x 1820 2340 13 的表达式为yy.+y= (50x100). -18 x=x18 3.16 解析:由x11可知x-1>0.y-1>0. 340.1-26/10.当且仅当 令m=x~1.n=v-1. 818 所以(1)}(x1)(a+2)}(m+2) 1-1,-1 n t 费用最低,最低为82.16元 10.解:(1)根据题意DC=xcm.矩形海报纸面积为36000em,所 当且仅当m=n=2时,两个等号同时成立. 则当x-y=3时(+1)}(r+1): ,~1 必修第-册·BS 黑白题108