第1章 3.2 基本不等式-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

3.2 基本不等式 白题 基础过关 限时:40 min 题组1 基本不等式的理解 7.(2024·湖北成宁高一月考)已知0<x<1. ( 1.(多选)(2023·河南焦作高一月考)给出下列 则2x(3-3x)的最大值为 ) ## 条件:①ab>0:②ab<0:③a>0.b>0:④a<0.b 1 _ D. _{+ A.① B.② C.③ D.④ 2.如果正数a.b.c.d满足atb=cd=4.有以下四 8.(2024·黑龙江哈尔滨高一期末)已知实数x> 种说法: 的 1,则2-x- ( ) ①ab<c+d.且等号成立时a.b.c.d的取值唯 x-1 一;②ab三c+d,且等号成立时a.b.c.d的取值 A.最小值为1 B.最大值为1 唯一:③ab<c+d.且等号成立时a.b.c.d的取 C. 最小值为-1 D. 最大值为-1 值不唯一:④ab>c+d.且等号成立时a.b.c. 9.(2024·四川泸州高一期末)若x>2.则y= 的取值不唯一,其中说法正确的个数是( __ 2-2x+4 的最小值为 ~ A.0 B.1 C.2 D.3 x-2 题组2 利用基本不等式比较大小 B.5 C.6 A.4 D.8 3.(2023·湖北十堰高-月考)若0<a<1.0< 10.(2024·湖南长沙高一期中)已知0<a<1.则 1.且 a≠b.则a+b.2 ab,2ab.a}+b}中最大的 _ 一的最小值是 一个是 _ ) a1-a A. a2+b} B. 2vab C. 2ab B.8 C.9 A.4 D. a+b D.10 4.(2023·江苏泰州高一月考)下列不等式中正 题组4 利用基本不等式求最值之有条件求 确的是 ( ) 最值 B.a44 A. a2+b2>4ab 11.(2024·广东茂名高一期末)已知4a^②}+b^{}=6. 2 则a的最大值为 _ ) a2+2 D.3 5.(2023·山西吕梁高一期末)设m>3.P=m+ 。 12.(2024·江西九江一中高一期末)若正数x.v满 ( .0=9.则P.0的大小关系为 ) 足x+3y=5xv,则3x+4y的最小值是 71-3' ) A. P<O $B. P=O $$C. P=0 $D. PE B. 28 C.5 4.24 D.6 题组3 利用基本不等式求最值之无条件求最值 13.(2023·山东临沂高一期末)已知x.v.z都 6.(2024·广东山头高一期末)若x>0.则x+ 4-2的最小值为 是正实数,若xvz=1,则(x+y)(y+z)(z+x)的 ( __~ 最小值为 ( ) C.2 D.3 A.2 A.-2 B.4 B.0 C.6 D.8 必修第一册·BS 黑白题018 14.(2024·湖南类底高一期末)若非零实数a.b 题组6 利用基本不等式解决实际问题 18 3-/2ab,则ab的最小值为( 满足一+ _~_ 20.(2024·陕西西安高一期末)某公司购买一 a b 批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产 A.42 C.4 B.2/2 0 D.2 的产品可获得的总利润v(单位:万元)与机 15.(多选)(2024·河南周口高一期末)若a> 器运转时间x(单位:年)的关系为y三-x^{}+ 0.b0,且2a+b=1,则下列说法正确的是 18x-25(xeN ).则该公司每台机器年平均 ( __ ( 利润的最大值是 ) A.8万元 A.ab有最大值! B.12万元 8 C.28万元 D.56万元 B. /②a+有最大值2 21.(2023·浙江宁波高一月考)某人要买房,随 着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此 不满意度升高,当住第n层楼时,上下楼造成 的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较 小.环境较为安静,因此随着楼层的升高,环 16.(2024·安徽阜阳高一期末)已知a>0.b>0 境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满 且atb=1.则4 -的最小值为 _ 4a 2a+6 楼,会有 C.2 一个最佳满意度 17.(2024·福建泉州高一期中联考)已知正实 题组7 利用基本不等式解决恒成立问题 数x.v满足xv+2x+v=16.那么xv的最大值 22.若任意的正数x.v都能使kxyv<4x+v成立. ( 则:的取值范围是 ) A.h<2 18.(2024·江苏镇江高一期末)已知x>0.v>0 B.0<k<2 C.h<4 D.2<k<4 n 题组5 利用基本不等式证明 恒成立,则实数m a+2# 19.(2024·陕西渭南高一月考)已知a>0.b> 的最大值为 ( _~ 0.c>0求证: C.4 B.3 A.2 D.9 b+c a+c a+b (1) >6; 24.(多选)(2024·湖南株洲高一月考)若对于 (2)a(b2+c2)+b(a{+c})+c(a{}+b)>6abc 取值可以是 25.(2024·福建宁德高一期末)Vx>2,x+ x-2 是 第一章 黑白题019 应用提优 限时:40min 1.(多选)下列结论中正确的是 ( 盘使之平衡,顾客获得这两块黄金,则该顾客 实际所得黄金 7 ) A. 小于20克 B.不大于20克 C.大于20克 D.不小于20克 7.(2023·河南信阳高中高一期末)若关于x的 (a>0)对于一切实数 x都成立,则实数a的范围是 D. 若a>0.b>0.则atb>2vqh ) 2.(2024·安徽完北六校高一期末联考)若正数x A.0<a<9B.0<a C.a> 9 D.a>9 v满足x+2/v=2/3,则xv的最大值为 ) 8.(2024·安徽合肥一中高一期末)设x>0且 A.6 B.9 C =1,则xv1+v的最大值为 3.(2024·湖南邵阳高一期末)若正实数x.v满 9.(2024·山西运城高一期末)已知正实数a. ( ) x 短 2a+6a+2b+5 成立,则实数m的取值范围是 10.(2023·山东滨州高一期末)已知实数a>0. 4.(2024·福建箭田一中高三期中)实数x.v满 b0.a+2b=2 足2x+y=-1,x>0,则x--的最小值为( ) B.2 A.1 C.3 D.4 (2)求a+4+5ab的最大值. 5.(多选)(2024·山东河泽一中高三月考)下列 ( 命题中正确的是 ) A. 2+5 的最小值是2 x2+4 B. 当x>1时,x的最小值是3 x-1 C. 当0<x<10时.x(10-x)的最大值是5 xy 压轴挑战 值为3 (2024·河南深河高一月考)已知正 6.(2024·江苏扬州高一期末)某金店用一杆不 实数a.b.c满足b+c=2abc,则a+ 准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客 8abc 需要购买20克黄金,他要求先将10克的磕码 -的最小值为 b+c ab+bc+ca 放在左盘,将黄金放在右盘使之平衡:然后又 将10克的法码放入右盘,将另一黄金放在左 进阶突破 拨高练P03 必修第一册·BS 黑白题0204,4 77c1, 3.2基本不等式 777, 6.444 解析：依题意.知第二次敲击铁钉没有全部进人 白题 过关 k∈N 1.ACD解析：用基本不等式的前提是“一正，二定，三相等“，即当 4 7'71， 公均为正数时.可得。号≥2（当且仅音和=6时等号成立）.此 777≥1，做答案 木板，第三次敲击铁钉全部进人木板，所以{4,4,4 只需a,b同号即可，所以①3④均满足要求.故选ACD. e N". 四易错提醒 「44 77k1, 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条华： (1)“一正”：各项必须为正数： 为{44 4 777e1, (2)“二定”：要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定 k∈N”, 值：要求积的最大使，则必须把构成积的国式的和转化咸定能： 1 (3)“三相等“：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条 7-2sC 解析：由a+h+e=0,得b=-a-ca≥b≥c,,a≥b, 件，若不能取等号，剥这个定值被不是所求的最值，这也是最容易发 a≥c,.3a≥a+6+e=0.a≥0.由题意a=0舍去，故a>0.由a+b+e=0 生错误的地方 m≥-0-， 可得b=-a-c,即a-n-cac,即} 2a≥-e‘则不等式组 得 -u-c≥c,(-u≥2e. 2.B解析：正数a,b.c,d满足a+b=cd=4..4=a+b2√ab.即ah≤ 2- C≥-2 4,当且仅当a=b=2时，“=”成立：又4=d≤ 等价于 即 得-2≤ 2e _综上.的取值 侵…4.当 -1≥ 且仅当c=d=2时，"=”成立，综上得abc+d,且等号成立时a,b,c,d 2 的取值都为2.故选B. 范闲为-2≤ e 1 3.D解析：0ca<|,0cbc1,且a≠b.∴.a2+b2>2ab,a+b>2ab,a>n2. 8.证明：(1)因为a<b<c,且a+b+e=0, b>62.+b>a2+b2.故选D. 所以<0，且a-c<b-c<0.所以(a-c)(b-e)>0. 4.D解析：对于A选项，因为a2+2-4ab=(a-b)2-2b不一定大于或 所以、 b-e (a-r)(b-e)(a-e)(b-r) 等于零所以该迹项错讽：对于B迹项，a+,当口取负数时，显 4<0,所以+4≥4错误，所以该选项错误：对于C选项，当=0 (2)要证a-a-2<a-1-a-3(a≥3)， 时，a2+2 <4，所以该选项错误：对于D选项，，4 1.5 只需证a+a-3<a-T+a-2」 a2+2 即证a+(a-3)+2a(a-3)<(a-1)+(a-2)+2(a-1)(a-2). 4 2√0·4，当组仅当a士2时取等号.所以该述项正确故选D 即证a(a-3)<√(a-1)(a-2), 即证a(a-3)<(-1)(-2),即证0<2.显然成立. -3m-3+9 5.C解析：因为m>3,所以P=m+9 -3+3金 所以a-a-2<√a-I-a-3(a≥3). 9.解：(1)设甲两次购物时购物量均为m,则两次购物总花费为m+ 2/(m-3) m-3*3=9=0. Pm,购物总量为2m,平均价格为0，P0P_P物 2m 2 当且仅当m-3”,即m=6时等号皮立故法C 设乙两次购物时用去钱数均为n,则两次购物总花费为2，购物总量 为，平均价格为0，=242户 6.C解析：因为>0，所以x+ -232,-2=2.当组仅当 P1 P2 ,P*仍 P P2 4,即x=2时，等号成立，所以x年2的最小值为2故选C 综上，g乃n 2piP2 Pp: 7.C解桥：由题意可知，当0<1时，3-3x>02x(3-3)=2 (2)P1≠pP>0.P2>0, Q-《,2p_pp户-p,色)产 2mn2(m*m)2m,m20. “宁时取等号最大值为子放选C 3 Q>Q由此可知，第二种购物方式比较划算 参考答案黑白题011 8D解折：因为211-1-配-)+]≤1 2-1). 石=1-2=，当目仅当，1甲=2时取等号， 当且仅当名？，即a=6号时取等号.所以受有最小直4， 故最大值为-1，故选D. 故C正确： 9C解折：因为>2，所以x-20,所以y=-2=1-2+)+2 对于D.因为4a2+b2≥2×2ab.所以2(4a2+b2)≥4a2+b2+2×2ab= x-2 〔2a+)2.所以4+b3≥2=2，当且仅当2a=6=2时取等 2 2√-2×高2=6，当且仅当-22甲=4时等号成立，放 号，所以428有最小值子，放D箭误故选AC =+-2的最小值为6故选C 14a_14_1+41 1+e,4a 10c解扬：由0a1,得1-a>0,因此。a+(1-o1(行 16.B解桥：2a+a4+1≥2√如+ 行子当组仅当是出品甲宁小：子时取得等号放感 1 7.8解析：山于正实数x,y满是+2+少=16， 4宁时取等号.所以当=时之取得最小值9故选C 故16=y+2x+y≥g+22写.即（分+√2）2≤18 所以0kg+2≤32，则≤22，y≤8 11.B解析：由题意得，6=4n2+2=(2a)2+≥2·246，即6≤2 当且仅当2x=y,结合)+2x+y=16,即x=2,y=4时等号成立，故可 的最大值为8，故答案为8 当且仅当2山6，即a号65我a= 3 26如-3时等号成立，所 18.5解析：x+y=2[(x+3)+y] (高）322*本） 以山的最大值为号故选区 12c解折：由已知可得是号1，则3+4-（是对）3 31 322高受）3=5当且仅当号时，等号成 立，所以xy的最小值为5.故答案为5 =5,所以3x+4y的最小值为5.故 19.证明：(1)+，4+，+6_6，C+ c c 答案为C a c b 13.D解析：由x>0,3y>0,>0可知+y≥2√y>0(当且仅当x=y时￥ e b e 号成立)，y+≥2√厅>0（当且仪当y=:时等号戒立），x+:≥2E>0 a>0,b>0,e>0,. =2, (当且仪券x=:时等号成立)，以上三个不等式两边同时相乘.可得 (x+y)(J+:)(+)≥8=8（当且仅当x=y=:=1时等号成 222后日 立)故选D 当且仪当a=b=r时，等号成立+c+a+中≥6 ab c 四易错提醒 (2)62+2≥2be,a>0,a(2+c2)≥2abe,当且仅当b=e时，等号 利用基本不等式求最值或证明不等式时，注意等号能否同时戒立 成立： m2+c2≥2ac.b>0..b(a2+c2)≥2ahe.当且仅当a=c时.等号 14C解桥：因为非零实数a,6满足+8=2a,所以a,b>0且 成立： 女受v画≥2公期得34，当n仅当号 .a2+b2≥2ab.c>0..c(a2+b2)≥2mb,当且仅当a=b时，等号 成立： a=2,b=42时，等号成立故b的最小值为4故选C 累加.得a(b2+e2)+b(a2+e2)+c(a2+b2)≥6ab,证毕. 25 <72日当且仅 20.A解析：年平均利润为】=-x+ .25+18=8 +18≤-2nr 15.AC解析：对于人，b=2×2b≤2× 当且仅当x5,即=5时等号成立，放选入 当2山=b=时取等号，所以6有最大直号放A正确： 21.3解析：设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为y,由题意知 对于B,因为2a+b≥2√2ab,所以2(2a+b)≥2a+b+2√2ab= ya+分m+≥2等=47，当且仅当n=8,即n=22 8 8 8 (√2a+b),所以2a+石≤√2(2a+b)=2,当且仅当2m=6= 2时取等号.所以V26有最大值反，放B错误： 时取等号，但考虑到n∈N”,所以当a=2时y=2+及=6，当a=3 必修第一册·BS黑白题012 时=3+弩号.即此人应选3楼，不满童度最低放答案为3 3 L+2≥2+2=4，当且仅当x=1取等号.拉选D 22,C解析：因为x>0,y>0,且kV写≤4红+y恒成立.所以k≤4空- 5.CD解析：A送项，5.4)4+】 √ +4量+4 量+4 4+为24当 24·-20,但是v4.1 ,x2+3=0无解， x2+4 公+4 且仅当4√仔-√任，即)=红时取等号，所以≤4散选C 所以①等号不成立，所以A选项错误B选项，当x>1时.x-1>0,x+ 23.D解桥：由题意石+26,2G+46 ≥m恒成立.即526,26≥m 奇12石3当组议当即 a Ja x=2时等号成立，所以B选项正确.C选项，当0<x<10时，10-x>0. 相成立又5+25,26≥5+2， 262a=9,当且仅当a=6时取 所以V(10=≤+10三5，当且仅当x=10-K.即x=5时等号成 等号.故实数m的最大值为9 立，所以C选项正确D选项，是正数，2+=号(2+)（径 24A0D解折：国为0.所以 1 32 +3 ）号(5+)(5+22·）=3.当且仅当 子，当组仅当=，即=1时等号成立，由任意o0,3 (2y 2x x y 恒成立，所以。>写毒项中行合条作的有行行行放A.C 即x=y=1时等号成立，所以D选项正确.故选BCD 21=3, Lx y 1 D正确：705，故B错误 6.C解析：设天平的左臂长为，右臂长为6（不妨设a>b),第一次称 25.m-4<m<1解析：x>2,x+ 2(-2)+1 出的黄金重为x8,第二次称出的黄金重为y8,由杠杆平衡的原理， 2*2 可得10=b,m=106.则￥=6，J=。,可得+扩=0,10心 by 6+ 2一2)52=4当组仅当22甲=3时，等号成立。 故4>m2+3m,解得-4<m<1.故答案为ml-4<m<1. 20,只×。20，所以暖客所得的黄金大于20克放选C 黑题应用提优 四重难点拨 基本不等式的应用丰常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查 1.D解折：当c0时，<0，故A错误：背<0时，>0，则对 解决这类可题的策略： -【-)+()]小≤-2x(=-4.当且仅当 L,先根据所交汇的知识进行变形，通过换元，配凑，巧换“1”等手段 杞最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点。 =-2时“=“成立，故B错误：当a>0,6>0时，足 +往 2.要有利用艺本不等武求最使的意识，善于把条件转化为能付用基 本不等式的形式， xa=2b. a /a2 +b≥2√6劝=2a,当且仅当a=b时=”成立， 3.检位等号是否成立，完成后续何题 相加可得，心 二云≥a6放c正商：当o00时.a>2瓜.当组7C得新：关于的不等式a2学a>0)对于一切实数：年 仅当a=b时”=”成立.故D正确.放选CD. 1 2 2.C解析：因为x+2y=23≥2√2.所以8√灯≤12.行≤ 成立子所号其 子可≤？，当且仅当=3=时取等号，放选C 中xR又(x2+1)>0,x2+1>0.则由基本不等式有： 4 1 3.D解折：依题意，正实数xy满足4r+yy=0,所以红+之立。 a(x2+1)+ 4≥2√a(241五=2a,当且仅当a+1)= x2+1 )对灯y x2+1 “"湖取等号则2≥号所以>故感C 即a 20当组仅兰甲)=6时等号度之，所 832 解桥：由2+方=1，可得22+y2=2.所以由x>0,+r>0. 4 、可得2-221与≤2+132.当且仅当2=+ 22 2w2 4.D解析：因为2x+y=-1,所以y=-1-2x,所以x上=x+ 1+2x 2 =x+ y2,即x= =号时等号成立，故答案为 参考答案黑白题013 9.1m1m≥-18解桥：由题意，m≥I0-2b)(2a+b a+2h+5 与已知矛盾，故A错误；对于B,开口向上，所以>0，由图象知-。 an2aw-(名）2a+6.因为（合）a 0.所以b>0,满足条件，故B正确：对于C,开口向下，所以a<0,由图 象知 1-2+8地≥102√·。 22<0,所以<0，满足条件，放C正确：对于D,开口向下，所以 5=8,当且仪当，即a= <0,由图象知->0.所以b>0,与已知矛眉，故D错误故选C ”时取等号所以-（名）26）≤-18所以不等式 2 3.C解析：由反比例函数的图象知k<0,则函数y=x2-2x+2的图象 心之滨成之，只需≥-8即可放答案为n≥- 开和向下，且对称轴为线子0则“：-2 10:÷-…2(合2）号(02)】 >0，则顾点（，-）在第二象限放选心 n0.6>0(5,52）小(2√·2）-号 4.BCD解析：结合图象，当x=-1时，y>0,即a-+c>0,故A错误：因 为图象与x轴交于两点，所以△=2-4ac>0,即2>4a心，放B正确：因 当组仪当公即a6=子时，等号度立 为抛物线过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,则抛物线与x轴的另 一个交点为(1,0)，于是有a+b+e=0,故C正确：对称轴为直线x= 。子约最小值为号 .9 0-l,所以6=2a,根据抛物线开口向下，知a<0,则 ,即6 (2)a2+462+5ab=(a+2b)2+ab=4+ab. 5a<2a,即5a<h.故D正确.故选BClD. 又a+2h=2≥2√2d.h≤2 5.B解析：由二次函数y=-2(x-3)2-4.可知对称轴是直线x=3,故 选项C错误，不符合题意；由二次函数y=-2(x-3)2-4可知开口向 故a2+462+5ab≤4+22 19 下，当x=3时有最大值-4，故选项D不正确：由二次函数y=-2(x 当且仅当a=2b,即a=1,b= 时，等号成立 3)2-4可知顶点坐标为(3，-4)，故选项A错误，不符合题意：由二次 2 函数y=-2(x-3)2-4可知顶点坐标为(3，-4)，开口向下，对称轴是 放02+462+5ab的最大值为乞 9 直线x=3,当x>3时，y随x的增大面减小，故选项B正确，符合题意 故选B. 压轴挑战 6.AC解析：由函数值的变化趋势，可知函数为二次函数，且其图象开 4解折：因为正实数a,6.e清足6+=2d,所以+方=2a,则a叶 1a<0. 口向下，对称轴为直线x=-1, b .b=2a<0.故选AG 1 8 -1, -=4+ 2a b+e ab+bc+ca e b e b a 7.424 1 3121 解桥：=+3+2=(+2)-4，抛物线开口向上，对 时，y有最小做 3 称轴为直线一2心在区间[-5,5]上.当一 当且仅当2+'。16 2即=22时.等号成立· 4当x=5时，)有最大值42故函数y=2+3x+2在区间[-55]上 2 的最大值，最小值分别是42，片放答案为2，子 所以a+ c,8ac的最小值为4，故答案为4. b+e ab+be+ca 8.解：(1)若a=2,则y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,函数图象开口向下，对 §4一元二次函数与一元二次不等式 称轴为直线x=2.所以在区间[0,2]上y随x的增大面增大，在区间 [2,3]上y随*的增大面诚小又当x=0时，y=-1,当x=3时， 4.1一元二次函数 y=2,当x=0时，yin=-1 白题 慧础过关 (2)对称轴为直线x=,当a≤0时，在区间[0,1门上y随x的增大而 1.C解析：设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+1,将点(2,2)的坐标 减小，则当x=0时，y=1-a=3,即a=-2:当0<a<1时，在区间[0， 代人上式，得+1=2，解得=1，所以二次函数的解析式为y=(x a]上y随x的增大而增大，在区间[a,I]上y随x的增大面碱小，则 1)2+1.故选C 当x=a时，ym=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1.不符合：当a≥1 时，在区间[0,1门上y随x的增大面增大，则当x=1时，ym=-1+2a+ 2.C解析：对于A,开口向上，所以a>0,由图象知 2a>0,所以6<0. 1-a=3,解得a=3.综上所述，a=-2或a=3. 必修第一册，BS黑白题014