第1章 3.1 不等式的性质-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§3不等式 3.1 不等式的性质 白题基础过联 限时：25min 题组1用不等式（组）表示不等关系 B.若a<b<0,则a2>ab>b 1,(2023·陕西西安高一期中)某铁路公司关于 C.若a>b>0且c<0,则9>9 乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品 的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm.设携 n若6且时则0 带品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单 7.已知2≤a≤6,4≤b≤5，则a-b的取值范围 位：cm),这个规定用数学关系式表示为 是 ?的取值范围是 A.a+b+c<130 B.a+b+c>130 8.(2024·湖北武汉高一月考)已知-1≤a+b≤ C.a+b+c≤130 D.a+b+c≥130 1,-1≤a-b≤1，则2a+3b的取值范围 2.(2024·河南洛阳一高高三月考)某杂志以每 是 本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市 题组4不等式性质的实际应用 场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应 9.(2024·安徽铜陵一中高一月考)建筑学规 减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元， 定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积， 则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万 但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而 元为 且这个比值越大，采光效果越好 题组2比较代数式的大小 (1)若某户住宅的窗户面积与地板面积的总 3.(2023·江苏南京高一月考)已知0<a1<1,0< 和为132m2,则这户住宅的地板面积最多 a2<1,记M=aa2,N=a,+a2-l,则M与N的大 为多少平方米？ 小关系是 ( (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积， A.M<N B.M>N 住宅的采光效果是变好了还是变坏了？ C.M=N D.无法确定 请说明理由。 4.(2024·北京西城区高一期中)比较大小： x2+2x -x-3.(填“=”“>”“<”“≥” 或“≤”)》 5.若P=√a+7+a,Q=a+3+a+4(a≥0)，则 P Q.(填“<”“≤”或“=”) 题组3不等式性质的理解及应用 6.(多选)(2024·湖南长沙高一期末)下列命题 为真命题的是 A.若a>b>0,则ac2>bc 必修第一册：BS黑白题016 黑题 应用提优 限时：30min 1,(2023·四川成都高二期中)已知-1<a<0.b> 一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长 0,则下列大小关系正确的是 ( 的号，请从这个实例中提炼出一个不 A.ab<b<a2b B.b<ab<a'b C.b<a'b<ab D.ab<a'b<b 等式组： 2.已知a>b>1,c>0,则下列不等式一定成立的是 7.已知a+b+c=0,且a≥b≥c,则°的取值范 ( 围是 a+be I a+be I A. B. b+ac c btac a &(1已知acic.且abtc=0,证明。2品 C.atb Se D. a+be <a b+ac b+ac (2)证明：√a-√a-2<√a-1-√a-3(a≥3)， 3.(多选)有外表一样，质量不同的六个小球，它 们的质量分别是a,b,c,d,e,f,已知a+b+c= d+e+f,a+b+e>c+d+f,a+b+f<c+d+e,a+e<b. 下列判断正确的有 A.b>c>f B.b>ezf 9.(2023·山西朔州高一月考)先后两次购买同 C.e>e>f D.b>e>c 一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是 4.(2024·广东广州高一月考)我国经典数学名 不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数 著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱 量一定：第二种是不考虑物品价格的升降，每 五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各 次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先 几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根， 后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购 拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根竹 物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第 子单价各是多少钱？假设每根大竹子比小竹 二种方式.已知第一次购物时该物品单价为 子贵1钱，则在这个问题中大竹子每根的单价 P1,第二次购物时该物品单价为P2(P,≠P2).甲 可能为 ( 两次购物的平均价格记为Q,乙两次购物的 A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱 平均价格记为Q2 5能说明若a>6,则。古为假命题的一组a,6 (1)求Q1,Q的表达式（用P1,P2表示）： (2)通过比较Q,Q2的大小，说明哪种购物方 的值依次为 式比较划算 6,(2024·黑龙江哈尔滨高一月考)用锤子以均 匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入， 铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木 板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N), 已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第 进阶突破拔高练P03 第一章黑白题017重难点拨 3. AB 解析:A中,当x=-1时,满足x2-x-2=0,所以A是真命题; 1. 否定全称量词命题和存在量词命题时,一是要改写量词,全称量 B中.15能同时被3和5整除.所以B是真命题;C中.因为所有实数 词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词:二是要否定结论 的平方非负,即x2>0.所以C是假命题;D是全称量词命题,所以不 2. 判定全称量词命题“VxeM,p(x)”是真命题,需要对集合M中 符合题意故选AB 的每一个元素 ,证明n(x)成立:要判断存在量词命题是真命题,只 4.C 解析:命题p为存在量词命题,由6x2-7x+2<0.得-<x 要在限定集合内找到一个x=1,使p(xo)成立即可。 所以,为假命题.命题p的否定二p:VxsN.6v-7x+2>0故选C 3.B 解析:命题“某斑所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题 5.C 解析:由题意得3xeR.使得nx{+4x-1=0为真命题.当m=0时. 它的否定是一个存在量词命题,分析四个选项,“某班至少有一个男 x--符合题意;当m*0时,只要A=16+4m>0即可,解得m>-4 生不爱踢足球”是所研究命题的否定,故选B 4.C 解析:由于x2+16-8x=(x-4)*>0.x=4时取等号,因此命题p是 且m0.综上.m-4.故选C 假命题,它的否定是真命题,全称量词命题的否定是存在量词命题 6. x12<x<8 解析:依据三角形三边之间的大小关系,列出不等式组 因此命题p的否定是习xexlx1,x2+168x.故选C. (-14-3. 解得2<x<8.故答案为x12<x<81. -1(4+3. 7.解:(1)由命题p:“VxeB.xEA”是真命题,可知BCA 称量词命题::-、-(--){} =0.:命题的否定为真命 (2m+1<3m-2. 又B*②,所以 2+1>-3.解得3<m54 题,A正确.对于B选项.原命题为全称量词命题,其否定为存在量词 3m-2<10. 命题,B错误.对于C选项,原命题的否定为VxeR.x2+2x+2≠0; (2)因为B×②,所以2m+1<3m-2.解得m3 ·+2x+2=(x+1)+1>1.+2x+2-0恒成立,则命题的否定为 因为命题。:“:=A.x=B”是真命题,所以AOB 真命题,C正确.对于D选项,原命题的否定为对于任意实数x.都有 410:当x=-1时,¥+1=0..命题的否定为假命题.D错误.故 选AC 上,32 6.解:(1)因为j:x=R.x=-1.所以命题p的否定:VxeR.x-1. 显然当xR时,xr0.r2}-1.命题p的否定为真命题 压轴挑战 (2)因为n:不论n取何实数,关于x的方程nx+x-1=0必有实 解:若命题p:x=Rx-2x+m-3=0为真命题,则A=4-4(m-3)>0. 数根。 解得m4;若命题q:VxeR.x2-2(m-5)x+m+19z0为真命题,则命 所以命题,的否定:存在实数n.关于x的方程n+y-1=0没有实 题q:xeR.x2-2(m-5)x+m+19=0为假命题,即方程x-2(m- 数根,当m=0时,方程x-1=0有实根,当m×0时,方程mx+x-1= $)x+m+19=0无实数根,因此A=4(m-5)?-4(n}+19)<0.解得m> 的根的判别式A=1+4m}>0.故命题p为真命题,命题p的否定为假 3又p,都为真命题,所以实数m的取值范田是(mlm_4(mm 命题 (3)p:有的平行四边形的对角线相等,命题,的否定:所有的平行四 31-{#=4. 边形的对角线都不相等,则命题;是真命题,命题p的否定是假命题 7.B 解析:因为一p为假命题,所以,为真命题,则不等式+2x-a>0 D重难点拨 在R上恒成立,即a<x2+2x在R上恒成立.令y=x?42x.则y= 1. 由命题真假求参数的方法步骤: +2x=(r+1)}-1-1.所以a-1.故选B (1)求出每个命题是真会题时参数的取值范围; 8.mlm1解析:因为“3x。R,x+2x+2=m”的否定是假命题. (2)根据每个命题的真似情况,求出参数的取值范围 2. 全称量词命题可转化为恒成立间题: 所以“xB,+2+2=m”是真命题. 含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的 因此关于x的方程x2+2x+2-m=0有实根. 最值解决. 所以A-22-4x1x(2-m)=0.解得m>1 因此实数m的取值范围是m1.故答案为nlm②1 83 不等式 周题 应用提线 1.A 解析:命题“xxlx2l,x24”的否定是“Vx|xl>2l. 3.1 不等式的性质 4”,故选A. 白题 2. D 解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题,可知,费马大 1.C 解析:长、宽、高之和不超过130en..a+b+c130.故选C. 定理的否定为“存在正整数n2,关于x,y,:的方程+y”=2”至少 存在一组正整数解”,故D正确.故选D 解析:若提价后该杂志的单价为x元,则销 参考答案 黑白题009 力{02) (2)住宅的采光效果变好了,理由:假设同时增加的面积为c(>0). “rb(ate)-a(b+e) (b-a).因为co.b5a.所以b-a>0.所 b(btc) 0.2)x万元,所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用 ”(+c) 不等式表示为(8-2502)=20.故答案为(8-25×02). 口方法总结 ,20. 1. 比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方 3.B 解析:M-N-a,a-(a+a-1)=a:a-a-+1=(a.-1)(a?- 法之一,比较法之一作差法的主要步骤为作差--变形--判 1).0<a.l.0<a1.-1<0.-10.M-N>0.即M>v.故 断正,负。 选B. 2. 到断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证 (2)0.所以 4.解析:因为+2x-(-x-3)--2+3x+3- 两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的 方法更简单, 2+2-r-3.故答案为. 题 应用 $. 解析:依题意可知P>0.0>0.a>0.p=2a+7+2a+7. 1.D 解析:ab-b=b(a-1).由-1<a<o.bo.则b(a-1)<0.即ab<b; =2a+7+2v+7a+12.所以P<0,所以P<0.故答案为< a6-b=b(a}-1)=b(a-1)(a+1),由-1<a<0.b>0,则a-1<0,a 6. BCD 解析:对于A选项,当c=0时,ac^{}=be{},A错;对于B选项,若$ 0.即(a-1)(a+l)<0.可得a}b<b;a2b-ab=ab(a-1),由-l<a<0,b a<b<0,由不等式的性质可得a”>ab,ab>b,则a>ab>b},B对;对于C 0.则a-l<0.即ab(a-l)>0.可得ab<a}.综上ab<a}bb故选D # 6(2-1)0.,即“_,则A错误; (b+ac)c +ac。 0.所以abc0.D对.故选BCD (b+ac)a 口重难点拨 (b+ac)a 1. 比较两个数(式)大小的两种方法,作差与作商. a-e→0.o1.则(an-c)(agc-1),o,即g1 (btac)a ,则B错误: 2. 与充要条件相结合问题,用不等式的性质分别判新p一a和ap 是否正确,要注意特殊值法的应用. b+ac bc 3. 与命题真般判断相结合问题,解决此类问题除根据不等式的性质 求部外,还经常采用特殊值验证的方法 h+r 4. 在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等 hae 号不能同时取到,会导致范围扩大。 htac 7.-3<a-b2 解析:4<b<5..-5-6-4 b+ac D正确.故选D 又2sas6.:-3<a-bs2.由0<4<bs5.得1 3.ABD 解析:因为a+b+e=d+e+f.atb+e>c+d+f.所以e-c>c-e.所 3 以c 又因为a+b+e=dte+f.a+b+f{e+d+e.所以c-f-c.所以c>f ~ 以e>c>f,C错误.又因为ate<b,所以acb,ecb,所以b>e>c.b>e>f,b> 均成立,ABD正确.故选ABD 8.-32a+3b3 解析:设2a+3b=A(+b)+{(a-b),则 -=3. 4.C 解析:依题意可设买大竹子:根,每根单价为ni钱,购买小竹子 (78-x)根,每根单价为(m-1)钱,所以576=mx+(78-x)(m-1).即 故2a+3= 得 78m+x=654.即x=6(109-13m).因为0 x78.所 $ _= 2 (109-13m>0. .96 100 ) 213 1根据题意只有C (a+)吾,由-1<a-b=1,得一 (6(109-13m)<78 96 )rn 以-3<2a+33. 选项在这个范围里,此时x=30.所以买大竹子30根,每根8钱.故 9.解:(1)设窗户面积与地板面积分别为am{}bm{},由已知可得。 选C. (a+=132. 所以有1.1b132.b120.所以这户住宅的地板 a10%=0.1b. 面积最多为120m 假命题,不妨瑕a=1.b=-1 必修第-册·BS 黑白题010 ### 3.2 基本不等式 {#. 6. 解析:依题意,知第二次敲击铁钉没有全部进入 白题 LeN. 1.ACD 解析:用基本不等式的前提是”一正,二定,三相等”,即当互 77. 木板,第三次敲击铁钉全部进入木板,所以 只需a.b同号即可,所以①③④均满足要求.故选ACD leN'. D易错提醒 ##1. 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: ##{ (1)“一正”:各项必须为正数: (2)“二定”,要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定 keN. 值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; 7.-2<-- (3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须脸证等号成立的条 解析:由a+b+e=0.得b=-a-c. a>bc.a>b 2 件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发 ac.3aatb+e=0..a0.由题意a=0含去,故a>0.由a+b+c=0 生错误的地方。 (2a~c则不等式组 l_-c. 1-a2c. 2. B 解析:正数a.b.c.d满足a+b=od=4..4=a+b→2vab.即ab [_-2. 2。 4.当且仅当a=b=2时,"=”成立;又4=cd< (2_) ,.ctd=4.当 等价于 即{ 1 /~/2 且仅当c=d=2时,"=”成立.综上得abc+d,且等号成立时a.b.c.d 。 的取值都为2.故选B 范因为-2-- ) 3. D 解析::0<a<1.0<b<1,且ab..a”+b?>2ab,a+b>2Vab,a>a?. 8.证明:(1)因为ahc.且a+h+c=0 bb?b>a?+故选D 所以aco.Ha-ecb-cco.所以(a-c)(b-c)>0 4.D 解析:对于A选项,因为a2+?-4ab=(a-b)?-2ab不一定大于或 所以_a-c : (a-c)(b-c)(a-c)(b-c)' #_#四### n (2)要证-a-2<va-1-va-3(a>3) 时,2+2+- 15 只需证+va-3<-I+va-2. 即证at(a-3)+2va(a-3)(a-1)+(a-2)+2V(a-1)(a-2) --4.当且仅当a-+v②时取等号.所以该选项正确.故选D. 即证va(a-3)v(a-1)(a-2). 即证a(a-3)<(a-1)(a-2),即证0<2.显然成立. 5.C 解析:因为m>3.所以P=m _9 +_3--3+9 +_~3{*3= 所以-va-2<va-1-va-3(a>3). 9.解:(1)设甲两次购物时购物量均为m.则两次购物总花费为p.m+ /(m-3)-3+3-=9=0. P.mp-mP+P: p.m.购物总量为2m.平均价格为0.- 当且仅当n~3-9 2n -_.即m=6时等号成立.故选C. 设乙两次购物时用去钱数均为n.则两次购物总花费为2n.购物总量 为”_”平均价格为0.-- 2n 22 P P2 4,即x-2时,等号成立,所以x4-2的最小值为2故选C. 2: 7. C 解析;由题意可知,当0<x1时,3-3x>0.:.2x(3-3x)= (2)p:p.p>0.p>0. (3-3)3()--.当1且仅当3-3-3-:即 .01-0.-:(n)-4-(p-)) 2 P+P2 一.>0。.由此可知,第二种购物方式比较划算 参考答案 黑白题011