第1章 2.1 必要条件与充分条件-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 白题 基础过关 限时：40min 题组1 充分条件、必要条件与充要条件的5.(2024·四川绵阳高一月考)若集合P=1,2, 判定 3,4,Q={x10<x<5引，则“xeP”是“x∈Q”"的 1.(2024·重庆江北区高一期中)“a,b为有理 数”是“a+b为有理数”的 ( A.充分不必要条件 A.充要条件 B.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知p:实数a,b,c满足2b=a+c,g:“实数a, 2.(2024·重庆黔江中学高一月考)王昌龄是盛 6c满足号=2，则p是g的 唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其 A.必要不充分条件 《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城 B.充分不必要条件 遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不 C.充要条件 还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是 D.既不充分也不必要条件 “返回家乡”的 7.(2024·江苏连云港高一月考)设a,b,c∈R, A.必要条件 则“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1” B.充分条件 是“a+b+c=0”的 () C.充要条件 A.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 3.(2024·四川成都高一期末)“两个三角形全 C.必要不充分条件 等”是“两个三角形的周长相等”的( D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 题组2充要条件的证明 B.必要不充分条件 8.(2023·湖南株洲高一月考)求证：△ABC是 C.充要条件 等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+ D.既不充分也不必要条件 bc.这里a,b,c是△ABC的三条边. 4.(2023·河北保定高一期末)已知集合M,N, 则MCN是M∩N=M的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 必修第一册：BS黑白题010 9.(2023·陕西宝鸡高一月考)已知ab≠0，求 题组4充分条件、必要条件与充要条件的 证：a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件 应用 15.(多选)(2024·广东深圳高一月考)若甲是 乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件， 丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确 的是 A.乙是甲的必要不充分条件 B.甲是丙的充分不必要条件 C.丁是甲的既不充分也不必要条件 D.乙是丁的充要条件 题组3充分条件、必要条件与充要条件的 16.(2024·河南洛阳高一期中)设m∈R,若 探索 “x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必 10.使x>1成立的一个充分条件是 要条件，则实数m的值为 ( A.x>0B.x>2 C.x<0 D.x<2 1 11.使不等式-1<x<9成立的必要不充分条件是 N.2 B.1 D-1或蚓 A.-1<x<9 B.x>-1 C.x>1 D.1<x<9 17.条件p:l-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分不 12.(2024·广东梅州高一期末)设计如图所示 必要条件，则a的取值范围是 的四个电路图，条件P:“灯泡L亮”：条件q: 18.已知集合M={x|x<-3或x>5,P={x “开关S闭合”，则p是g的必要不充分条件 a≤x≤8. (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= 的电路图是 {xl5<x≤8的充要条件： (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P= |x|5<x≤8的一个充分不必要条件： (3)求实数a的一个取值范围，使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分 条件。 D 13.(多选)(2024·浙江杭州高一月考)设全集 为R,在下列条件中，满足BCA的充要条件 的有 A.A∩B=A B.(CRA)∩B=R C.CRAECgB D.AU(CRB)=R 14.若p是q:y>0的充分不必要条件，则p可以 是 .(写出满足题意的一个即可) 第一章黑白题011 黑题 应用提优 限时：20min L.设条件p:a2+a≠0，条件g:a≠0，那么p是 施，需要通过提前预约才能进入公园根据以 9的 上信息，“预约”是“游园”的 A.充分不必要条件 条件（填充分不必要、必要不充分、充要或者 B.必要不充分条件 既不充分也不必要)】 C.充要条件 7.(2024·安徽淮北高一月考)设m为实数，已 D.既不充分也不必要条件 知关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0,则下列 2.(2024·山西太原高一月考)已知p:0<x<2,那 说法正确的是 (填序号) 么p的一个充分不必要条件是 ①当m=3时，方程的两个实数根之和为0： A.1<x<3 B.-1<x<1 ②方程无实数根的一个必要条件是m>1: C.0<x<1 D.0<x<3 ③方程有两个不相等的正根的充要条件是 3.若非空集合A,B,C满足AUB=C,且B不是A 0<m<l: 的子集，则 ( ④方程有一个正根和一个负根的充要条件 A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 是m<0 B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 8.(2024·辽宁阜新高一月考)若a,b都是实 C.“x∈C”是“xEA”的充要条件 数，试从①ab=0:②a+b=0:③a(a2+b2)=0: D.“x∈C”是“x∈A”的既不充分也不必要 ④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序号 条件 填空： 4.(多选)(2023·河南省实验中学高一期中)若 (1)使a,b都不为0的充分条件是 “x<k或x>k+3”是“-4<x<1”的必要不充分条 (2)使a,b至少有一个为0的充要条件 件，则实数k的值可以是 ( 是 A.-8 B.-5 压轴挑战」 C.1 D.4 (多选)(2024·江苏连云港高一月 5.(2023·海南海口高一月考)对于任意实数x, 考)有限集合S中元素的个数记 (x)表示不小于x的最小整数，例如(1.1)=2， 作cad(S),设A,B都为有限集合，下列命题中 (-1.1)=-1,那么“1x-yl<1”是“(x)=(y〉”的 是假命题的是 ( A.“A∩B=⑦”的充要条件是“card(AU A.充分不必要条件 B)=card(A)+card(B)" B.必要不充分条件 B.“ACB"的充要条件是“card(A)≤card(B)” C.充要条件 C.“ACB”的必要不充分条件是“cad(A)= D.既不充分也不必要条件 card(B)-1” 6马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增 D.“A=B”的充要条件是“card(A)=card(B)” 加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措 进阶突破拔高练P02 必修第一册：BS黑白题0124.ABC解析：因为集合X=x-2<x<2,集合y=1yy≤2引，集合Z= 1-a≤1+， 1::≥2或：≤-2，所以CgX=xlx写-2或x≥2.B成立， 当BO时，结合B二A可得1-a≥L,解得a=0. Cg=1y>2l,则(CgX)U(Cg)=xlx≥2或x≤-2引，A成立， 1+a≤4. 又Ck(xn)=(gX)U(CR),C正确，Cg(XU)=(CgX)n(CgY)= 综上所述，a的取值范围是！ala≤0， 1xx>21.D错误 压轴挑战 5.D解析：如图，中问的阴影和左边的空白 1.ABD解析：4n=(n+1)2-(n-1)2,∴4neM.4n+1=(2n+1)2- 表示集合M,中间的阴影和右边的空白表 (2n)2,六，4n+1∈M.4n+3=(2n+2)2-(2n+1)2,六.4n+3∈M.若 示集合N,C:P表示两边空白区域，则M 4n+2∈M,则存在，y∈Z,使得x2-y2=4m+2,则4n+2=(x+y）(x (CgP)表示集合M的空白区域，即表示为 y),x+y和xy都为奇数或都为偶数，若x+y和xy都是奇数，则(x+ CRN.故选D. y)(-y)为奇数，而4n+2是偶数.不成立：若x+y和x-y都是间数，则 6.BD解析：由已知条件可得A◆B=1.2,3,4,5.对于A选项，0 (+y)(x-y)能被4整除，而4n+2不能被4整除，不成立，4n+ (AB),A错：对于B选项，=1,2,3,4,5，则B=3,4,5,故 2M.故选ABD (C,B)∩A=3引.B对：对于C选项.BCMG(AB).即I1.2引SMS 2.C解析：由题意可知，4，UA2UA3=xeN11≤x≤9=1,2,3,4， 11.2,3,4,5.则满足条件的集合1为：1,2引，1.2,31.11.2,4， 5,6.7,8,9,AA.43各有3个元素且不重复，先考虑最小值为 11,2.5,11,2.3.41.}1,2,3.5,1.2.4.5.11,2,3,4,5,共 1,2,3,不妨设1eA1,2aA2,3日A3.9eA3.则剩余数中最大为8.所 8个，C错：对于D选项，A*B中所有元素之和为1+2+3+4+5=15， 以可以令8∈A.所以A=11,4,5引，A2=12,6.71或者A,=11,6, 7,A2=2,4,5引，此时M,+M2+M3取得最小值，此时最小值为1+2+ D对故选BD 3+5+7+9=27.故选C. 7.2解析：因为A=1-2,1,2,B=11,a,a2+a,AnB={1,2,所 以2∈B,-2任B,a2+a≠1，n≠1，a2+a≠a,当u=2时，a2+e=6,集合 S2常用逻辑用语 B=1,2,6满足题意，当a2+a=2时，a=-2或a=1(含去)，此时 2.1必要条件与充分条件 B=11.-2,2,不满足题意.综上，a=2.故答案为2. 白题 基础过关 8.(1)4引解析：如果集合A中只有一个元素，则ead(A)=1,由 3c园(A)A得1A,④ca(B)gB,可得4壁B,即4aA,可 1.B解析：易知当“a,b为有理数"时，可得“a+b为有理数”，所以充 得4=4， 分性成立：但若“a+b为有理数“时，例如a=√互-1.b=2-√2，此时不 (2)3解析：如果集合A中有3个元素，则3华A,可得A=11,2.4, 满足“，b为有理数”，即必要性不成立.所以可知“4，b为有理数”是 11,2,5,11,4,51,2,4,51,由AUB=11,2,3,4,5,可得B中至少 “+b为有理数”的充分不必要条件.故选. 2.A解析：由题意“不破楼兰终不还”可知，“返回家乡”可推出“攻破 含2个元素，义因为A∩B=☑，所以B中只有2个元素，即 楼兰”，但攻破楼兰”不一定“返同家乡”，放“攻破楼兰”是“返同家 l(B)=2,因为ad(B)B.可得2延B,所以B=3,5,33,4|, 乡"的必要条件，故选A 11,31.则A=11.2.4,B=13.51:或A=1,2,5,B=3,4:或A= 3.A解析：当两个三角形全等时，它们的周长一定相等，当两个三角 12.4,51.B=11.3|. 形的周长相等时，它们不一定全等（比如边长为3,4,5的直角三角 9.解：假设存在实数a满足条件 形和边长为4的正三角形)，故“两个三角形全等”是“两个三角形的 若选①：AUB=A,BGA 周长相等”的充分不必要条件故远A. 当B=☑时，1-a>1+a,解得a<0,满足题意： 4.C解析：由MCN→MnN=M,又MAN=M=MGN,所以MCN f1-a≤1+a, 是M∩N=M的充要条件，做选C. 当B≠0时.结合BCA可得1-a≥1.解得a=0. 5.A解析：HxeP,0<x<5,所以xeQ,故充分性成立；xEQ.xP 1+ae4. 不一一定成立，故必要性不成立，所以“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要 综上所述，a的取值范围为ala≤0. 条件故选A 若选2：BCCRA..BnA=O. 6.A解折：由？+分=2可知2冰=a*6,但由2必=a*c无法推出公 当B=☑时，1->1+a,解得a<0,满足题意： 1-a≤1+a, 1-a≤1+, 当B≠☑时.结合BnA=②得 方=2（加6=0时不满足条件），所以是9的必要不充分条件.放 或 不等式组 (1+a<1 1-0>4, 选A 无解 7,A解析：若x=1是方程r2+br+c=0的根.则a+b+e=0:若a+6+c= 综上所述，a的取值范围是ala<0. 0,则×12+bx1+e=0.即x=1是方程ax2+:+e=0的根.综上所述： 若选③：(CgA)∩B=心，BCA 关于x的方程x2+r+c=0有一个根是1是a+b+e=0的充要条件。 当B=☑时.I-a>1+a.解得a<0,满足题意： 故选A 必修第一册·BS黑白题006 8.证明：充分性： 16.A解析：由题意可知，x=2是m2x2-(m+3)x+4=0的解，但不是唯 由2(g2+b2+e2)=2(ab+ac+r), 一的解，因此4m2-2(m+3)+4=0,解得m=1或m=- 2当m=1 即(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+e2)+(b2-2hc+e2)=0, 所以(a-b)2+(a-c)2+(b-e)2=0. 时=2是-440唯一的解，放不调足题意：当m宁时，期 所以a=b=C.△ABC为等边三角形 必要性： 子4=0，即-10+16=0，解得x=2或=8.请足题在 当△ABC是等边三角形时.a=b=c,所以a2+b2+c2=ah+ar+b 综上所述，△ABC是等边三角形的充要条件是a2+62+e2=ab+nc+b 上所述m=故选 9.证明：充分性：，*n+b=1.,1+6-1=0.,a3+b3+ab-a2-62=(a+b)· 17.ala<l 解析：P:x>1,若p是g的充分不必要条件，则p→g,但 (a2-ab+b2)-(a2+b2-b)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. gp,即p对应集合是g对应集合的真子集，故a<1. 必要性：a3+b2+a山-a2-b2=0,.(a+b-1)(a2-b+b2)=0.又ab方 四重难点拨 0ar0且60--(e）广0nb1-0, 充分条件、必要条件的应用，一报表见在参数问则的求解上，解题时 等注意： 即a+b=1.综上可知.当ab≠0时，a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充 (1)把充分条件，必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然 要条件 后根据集合之问的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解。 四重难点拨 (2)要注虎端点的检验，尤其是利用两个集合之问的关系求解参数 充要条件的两种判断方法： 的取值范围时，不等式是否能够取等号决定埔点的取舍，处理不当 (1)定又法：根据→9,9→p透行判断. 容号出现漏解成增解的现象， (2)集合法：根据使P,9战立的对象的集合之同的包含关系进行 18.解：(1)门P=|xl5<x≤8的充要条件是-3≤≤5.所以实数a的 判斯 取值范围是！al-3≤a≤5： 10.B解析：根据充分条件的定义，由>2可以得出x>1,B正确：若> (2)显然.满足-3≤a≤5的任意一个：的值都是M门P={x15<x≤ 0,取=2，无法得到D1,A错误：C显然错误：若<2，取x2 8|的充分不必要条件如：a=-3 (3)若a=-5.显然M门P=1x1-5≤ 无法得到x>1.D错误故选B. <-3域5<x互8引，则a=-5是Mn d-3 55: 11,B解析：由x>-1成立不能得到-1<x<9成立，反之.当-1<x<9成 P=|x15<x≤8的一个必要不充分条件.如图，结合数轴可知<-3 立时，x>-1成立，所以x>-1是-1<x<9的必要不充分条件，所以B 时符合题意，则实数a的取值范围可以是|aa<-3.(答案不唯一) 符合题意：x>1是-1<x<9的既不充分也不必要条件，所以C不符合 题意：1<x<9是-1<x<9的充分不必要条件，所以D不符合题意.故 里题应用提优 选B 1.A解析：条件p:a2+a≠0，即为a≠0且m≠-1，故条件p:a2+n≠0是 12.A解析：对于A,灯泡L亮，可能是5，闭合，不一定是S闭合，当S 条件9：a一0的充分不必要条件.故选A 闭合时必有灯泡L亮，故严是9的必要不充分条件，A正确：对于 2.C解析：对于A选项，由1<x<3不能得出0<x<2,A错误： B,由于S和L是串联关系，故打泡L亮必有S闭合，S闭合必有灯 对于B选项，由-1<x<1不能得出0cx<2,B错误： 泡L亮，即p是g的充要条件，B错误：对于C,灯泡L.亮，则开关S, 对于C选项.由0c<1可以得出0<x<2.由0<x<2不能得出0cx<1. 和S必都闭合：当开关S闭合S,打开时.灯泡L不亮，故p是4的 C正确： 充分不必要条件，C错误：对于D,灯泡L亮，与开关S用合无关，故 对于D选项.由0<x<3不能得出0<x<2.D错误故选C ?是g的既不充分也不必要条件，D错误放选A 3.B解析：：AUB=C,且B不是A的子集.，若x后A.则苹后C.但若 13.CD解析：因为A∩B=A时，A二B.不满足题意，故A错误：若 x∈C,则本∈A或本eB.,“x∈C“是“x∈A"的必要不充分条件，故 (C:A)∩B=R,显然只有A=☑，B=R时成立，不满足题意，故B错 选B 误：若RACCgB,则BSA,同时若BSA时，CgACCgB,满足题意， 4.ACD解析：若“x<k或x>k+3”是”-4<x<1”的必要不充分条件， 放C正确：当AU(CRB)=R时，BCA,同时BCA,则AU(CgB)= 则+3≤-4或k≥1，所以专≤-7或k≥1.故选ACD R满足题意.故D正确.故选CD. 四方法总结 14,x>0>0(答案不唯一）解析：因为当x>0,y>0时，y>0一定成 充分，必要条件与集合的关系： 立.面当>0时，可能x>0,>0,也可能x<0.y<0,所以x>0.y>0是 P,g成立的对象构成的集合分别为A和B >0的充分不必要条件，故答案为>0，>0（答案不唯一） (1)若ACB,则P是g的充分条件，q是p的必要条件 15.ABC解析：记甲.乙丙，丁对应的条件构成的集合分别为A,B,C, (2)者A军B,则p是g的充分不必妥条件，g是p的必要不充分 D,则由题意有A年B,B=C,D军C,所以AC,D军B,所以选项 条件 ABC正确，选项D情误.故选ABC (3)若A=B,测p是g的充是条件 参考答案黑白题007 5.B解析：当x=1.8,y=0.9时，满足x-y1<1,但(1.8)=2，〈0.9)=1， 量词命题： 即(x)≠(y》;当(x)=(y》时，必有1x-y1<L,所以”1x-y1<1"是 对于D选项.梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所 “(x)=(x》“的必要不充分条件故选B. 有”，是全称量同命题.故选D, 6.必要不充分解析：依题意，没有顶约，一定不能游园，即游园的人 3.C解析：“3x∈R.x2>3"即存在实数x,满足其平方大于3.显然并 必须是提前预约的，游园可推出预约，而预约了，可能不游园，所以 不是任意实数，存在即可.故选C “硕约”是“游园“的必要不充分条件故答案为必要不充分， 4.x∈R,x2+1≠0解析：由已知，“方程x2+1=0无实根”是全称量 7.②3③④解析：对于①，m=3时3x2+1=0无实根，故①错误：对于 词食题.故可改写为x∈R,x2+10. 2,当m=0时方程-3x+1=0有实根，当m≠0时，方程无实根，则 5.B解析：显然为存在量问命题，不妨令：■0，此时满足a2+≤0.故 (m-3)2-4m<0.解得1<m<9.综上，1<m<9,所以方程无实数根的一 为真命题故选B 个必要条件是m>1,放②正确：对于③，方程有两个不相等的正根， 6.B解析：，P门Q=P,PSQ,当PQ时，3x0eQ,使得aP, m≠0， 故A错误：，PCQ,,x∈P,必有x∈Q,即Hx壁Q,必有x壁P.故 4=(m-3)3-4m>0, B正确：由B正确，得Vx使Q,必有x华P,∴.3x年Q,使得xEP错 30 解得0<m<1,故③正确：对于④.方程有一 误，即C错误：当P=Q时，不存在xoeP,使得和生Q,故D错误综 上只有B是正确的故选B. 7.keN,1+3+5+…+(2弘-1)=2解析：观察式子可知.从1开始 m*0. 从小到大连续k个奇数相加的和为k2,故可得k∈N”,1+3+5+ 个正根和一个负根，则4(m-3)2-4m>0解得m<0.故④正确放 …+(2k-1)=k2 <0. 8.解：(1)“任意实数的平方大于0”用符号语言表示为Hx∈R.x2>0: 客案为②③④. 当x=0时，02=0，不合题意，所以x∈R,x2>0为假命题 8.(1)④(2)①解析：由题意有：①ah=0一m=0或b=0.即a,b至 (2)“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为3xER.x2= 少有一个为0：2a+b=0ka,b互为相反数.则a.b可能均为0.也可 :当x=1时.12=1，所以3xeR.2=x为直命题 能为一正数一负数：③a(a2+b2)=0=0=0.b为任意实数：④b>0白 (3)“两个有理数的乘积仍为有理数”用符号语言表示为x,yQ, a>0.(a<0. eQ:当x,J意Q时，根据有理数的性质知yeQ.所以HxyQ, 或 即a.b邵不为Q综上可知.(1)使4.b都不为0的充分 b>0b<0. 灯yeQ为其命题 条件是④：(2)使a,b至少有一个为0的充要条件是①.故答案为④：① 9.ABC解析：因为3x∈R,r2-x+1=0为真命题，所以方程x2-x+ 压轴挑战 1=0有实根.当a=0时，x=1符合题意：当a≠0时，由方程ax2-x+ BCD解析：由AnB=O,则AUB中元素个数为集合A,B的元素之和， 1=0有实根，可得4=(-2-4如≥0，所以a≤综上，实数。的值 即eanl(AUB)=ad(A)+ean(B).充分性成立：由ed(AUB)= n(A)+e(B),即AUB中元素个数为集合A,B的元素之和，则A∩ ，0和子故选ABC 可以是、1 4 B=☑，必要性成立，A对：由cnl(A)≤ad(B),若A=1,2,B=2,3, 10.D解析：命题“VxEx12≤x≤3引，x2-2a≥0”为其命题的充要条 4|,但ASB不成立，必要性不成立，B错：由ACB,若A=11,B=11,2, 件：xex2≤x写3引.x2≥2n恒成立.即4≥2a.a≤2.故其必要不 3,4,此时cd(A)=cad(B)-3,故card(A)=cd(B)-1不是ASB的 充分条件为≤3，故选D 必要条件.C错：由cad(A)=cd(B),若A=1,2.B=2,3,但A=B 不成立，D错.故选BCD 11.-1(答案不唯一)解析：由命题P:3x∈R,x2+2+3≤0为假命 题，则x2+2r+3>0恒成立，得4=4n2-4×3<0,解得-√3<m<√3， 2.2全称量词与存在量词 所以整数m的值可为-1,0，L.枚答案为-1（答案不唯一）. 第1课时全称量词命题与存在量词命题 第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定 白题 基础过关 白题基础过关 1.BC解析：由全称量同命题的否定可知，BC迷项中的命题为全称量 1,B解析：“任一个都成立“的否定为“存在一个不成立”，放命题p的 词命题.AD选项中的命题不是全称量词命题故选BC 否定为3xe{xx>0!,x3≤x故选B. 2.D解析：对于A选项，至少有一个x.使x2+x+1=0成立，有存在量 2.D解析：全称量词命题和存在量词命题的否定，分两步走，换符号 词“至少有一个”，是存在量词命题： 否结论存在量问命题的否定为全称量词命题，排除AC选项：其中 对于B选项，有的无理数的平方不是有理数.有存在量词“有的”，是 20可解得D-2,因为-2的否定应是≤-2，故D选项正确 3 存在量词命愿： 对于C选项，存在xeR,使3x+2是偶数，有存在量词“存在”，是存在 故选D 必修第一册，BS黑白题008