5.3实际问题与一元一次方程—盈亏、积分与方案选择问题（教学课件）2024--2025学年人教版数学七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程 —盈亏、积分与方案选择问题 第五章 一元一次方程 学习目标 能运用一元一次方程解决销售盈亏、比赛积分、方案选择问题； 通过探究如何用一元一次方程解决实际问题，体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力． 新知导入 前面我们已经学习了配套问题和工程问题，除此之外，有些实际问题中的数量关系比较隐蔽，需要仔细分析才能列出方程.下面我们进一步探究几个这样的问题. 探究新知 销售中常用的数量关系： 售价＝进价×（1＋利润率） 利润＝售价 − 进价 利润＝进价×利润率 售价＝进价＋利润 售价＝进价＋进价×利润率 利润率＝ ×100% 利润 进价 探究新知 【探究一】一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 【思考】你估计盈亏情况是怎样的？ A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏 探究新知 销售的盈亏取决于什么？ 取决于总售价与总进价(两件衣服的进价之和)的关系. 总售价(120元) ＞ 总进价 总售价(120元) ＜ 总进价 总售价(120元) ＝ 总进价 盈 利 亏 损 不盈不亏 探究新知 【探究一】一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 根据题干，我们已经知道两件衣服的总售价是： 60×2=120元 是盈是亏还是不盈不亏要看这两件衣服的总进价是多少以及它与总售价的关系. 探究新知 假设一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品利润是40×25%元；如果卖出后亏损25%，那么商品利润是40×(-25%)元. 在本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是 x 元，它的商品利润就是（ ）.根据等量关系：进价与利润的和等于售价， 列方程，得 x＋0.25 x＝60. 解得 x＝48. 利润＝进价×利润率 0.25x元 售价＝进价＋利润 探究新知 设亏损25%的衣服进价是 y 元，则它的商品利润是 -0.25y元 依题意得 y－0.25y＝60. 因为120－128＝－8(元) 所以卖这两件衣服共亏损了8元. 解得 y＝80. 两件衣服总进价为：x + y ＝ 48＋80＝128 (元). 售价＝进价＋利润 与你之前的估计一致吗？ 探究新知 【探究二】球赛积分表问题 某次篮球联赛积分表 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 【思考】观察表格，能看出哪些信息？ 这次球赛共有8支队伍参赛. 每队都打了14场比赛. 每队的胜场数、负场数和积分 ....... 探究新知 某次篮球联赛积分表 【思考】分析表格，能看出哪些等量关系？ 胜场场次×胜场积分＝胜场总分 负场场次×负场积分＝负场总分 胜场总分＋负场总分＝总积分 胜场场次＋负场场次＝比赛场次 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 探究新知 某次篮球联赛积分表 【问题1】分析表格，你能得到负一场积多少分吗？ 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 由“钢铁”队积分可知，负一场积1分. 探究新知 某次篮球联赛积分表 【问题2】你能进一步算出 胜一场积多少分吗？ 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 【分析】根据负一场积1分和前6个队任意一队的积分情况，可以得出胜一场的积分. 探究新知 某次篮球联赛积分表 【问题2】你能进一步算出 胜一场积多少分吗？ 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 解：设胜一场积 x 分， 依题意，得 10x＋1×4＝24. 解得 x＝2. 经检验，x＝2 符合题意. 所以，胜一场积2分. 一个队胜m场，则负________场， 则胜场积分为________, 负场积分为_________, 总积分为 . 探究新知 【问题3】怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系？ 2m + (14 - m) = m +14 即胜 m场的总积分为 (m +14) 分. (14 - m) 2m 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 (14 - m) 探究新知 【问题4】某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 解：设一个队胜 y 场，则负（14 - y）场. 依题意，得 2y = 14 - y 解得 y 表示所胜的场数，必须是整数，所以 不符合实际. 由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分. 【注意】解决实际问题时，要检验方程的解是否符合问题的实际意义. y 表示什么量？它可以是分数吗？ 探究新知 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 耗能高 中国能效标识 耗能低 12345 【探究三】购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 探究新知 【探究三】购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关. 【分析】在这个问题中，综合费用 = 空调的售价 + 电费. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 探究新知 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 设空调的使用年数是 t， 则1级能效空调的综合费用是________________________， 即_________________. 3级能效空调的综合费用是________________________， 即_________________. 3 000+0.5×640t 3 000+320t 2 600+400t 2 600+0.5×800t 探究新知 当 t 取什么值时，两款空调的综合费用相等? 列方程，得 3 000+320t = 2 600+400t. 解得 t = 5. 所以当 t = 5 时，两款空调的综合费用相等. 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子 2 600+400t 变形为1级能效空调的综合费用 3 000+320t 与另外一个式子的和 即 (3 000+320t) + (80t-400) 3 000+320t +80(t-5). 探究新知 3 000+320t +80(t-5). 当t < 5 时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低 当t > 5时，80(t-5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算. C B A 120 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 0.8x 小结 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 实际问题 一元一次方程 设未知数，列方程 解方程 一元一次方程的解(x = a) 实际问题的答案 检验是否符合实际意义 43 谢谢各位同学的观看 练习1 某品牌上衣在实体店按成本价提高40%销售,在直播间又以实体店售价的8折销售,结果在直播间每卖出1件该上衣仍可获利36元.若该上衣的成本价为x元,由题意可列方程( ) A. B. C. D. 解析：设该运动上衣的成本价为x元, 则：在实体店的售价为： 元, 在直播间的售价为： , 由题意,得： ；故选C. 练习2 篮球比赛规定：胜一场得3分,负一场得1分,某篮球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获胜的场数是( ) A.2 B.3 C. D.5 解析：设该队获胜x场,则负了 场 根据题意得 , 解得 . 经检验 符合题意. 故该队获胜3场 故选B. 练习3 学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.如表记录了3名参赛者的得分情况，则参赛者F的得分可能为( ) 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 C 18 2 88 E 10 10 40 A.58 B.62 C.78 D.93 解析：由表可知，参赛者A答对20道题，答错0道题， 共得到100分，所以答对一道题得 （分）； 参赛者E答对10道题，得 （分），答错10道题， 最终得分为40分，所以答错—道题得 （分）； 设参赛者F答对x道题，则答错 道题， 所以参赛者F得分为 分. 当 时，解得 ，符合题意,故选A. 练习4 某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”.你认为售货员应标在标签上的价格为______元. 解析：获利 =（售价－进价）÷ 进价×100%， 设售价为x元，则 = 80×5%， 解得： x = 120. 故答案为：120. 练习5甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 的利润定价，乙服装按 的利润定价.在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为 元， 根据题意得， ， 解得， ， 所以， . 答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元. 练习6 商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，售价80元. （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2200元，这两种商品全部售完可获得多少利润? （2）该商场第二次以第一次的进价又购进甲，乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍，甲商品按原价销售，乙商品打8折销售.求第二次两种商品全部销售完可获得多少利润? 解：（1）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品 件， 依题意 解得 则 ， 获得利润： （元）. 这两种商品全部售完可获利润1200元. （2） （元） 第二次两种商品全部销售完可获得1440元的利润.. 练习7某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了5个参赛者的得分情况. （1）参赛者F得76分，他答对了几道题？ 解：（1）设参赛者答对了x道题，答错了 道题， 由题意，得， ， 解得： . 答：参赛者得76分，他答对了16道题； （2）参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么？ 解：（2）假设可能，设答对了y道题，答错了 道题， 由题意，得， ， 解得： ， y为整数， 参赛者说他得80分，是不可能的. 练习8 某校七年级准备观看电影《志愿军》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说40人以上的团体票有两种优惠方案可选择： 方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有6人可以免票. 解：（1）由题意可得， 方案一的花费为： （元）， 方案二的花费为： （元）， ， 若二班有50名学生，则他该选择方案二； （1）若二班有50名学生，则他该选择哪个方案？ （2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？ 解：（2）设一班有x人，根据题意，得 ， 解得 . 答：一班有54人. 练习9小明用的练习本可以到甲,乙两家商店购买,已知两商店该练习本的标价都是每本1元.甲商店的优惠方案是购买10本以内(包括10本)没有优惠,购买10本以上,从第11本开始按标价的70%出售;乙商店的优惠方案是从购买第一本起按标价的80%出售. 解:（1）若设小明要购买 本练习本, 甲商店: ; 乙商店:0.8x; 故答案为 ,0.8x; （1）若小明要购买 本练习本,则当小明到甲商店购买时,须付款 元,当小明到乙商店购买时,须付款______元; （3） ; . 应选择甲商店. （2）买多少本练习本时,两家商店付款相同? （3）若小明要购买50本练习本,应到哪家商店购买较便宜? 解:（2）当 时,甲商店一定比乙商店贵; , 解得: ; 答:买30本练习本时,两家商店付款相同; $$