5.2解一元一次方程—合并同类项与移项 课件 2024--2025学年 人教版（2024）七年级数学上册

5.2解一元一次方程 —合并同类项与移项 第五章 一元一次方程 学习目标 能够运用合并同类项、移项解一元一次方程； 体会一元一次方程解决实际问题的过程，能够根据等量关系列一元一次方程求解． 知识回顾 等式的性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍 . 如果 a = b，那么 ac = bc； 如果 a = b (c ≠ 0)，那么 等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍 . 如果a = b，那么 a±c = b±c . 相等 相等 知识回顾 应用等式的性质解下列一元一次方程. 知识回顾 新知引入 目前我们已经学习了直接利用等式的性质解简单的一元一次方程.本节我们将结合方程的具体特点，继续研究如何解一元一次方程. 探究新知 某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？ 2倍 前年购买计算机量 去年购买计算机量 2倍 今年购买计算机量 探究新知 某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？ 设前年这个学校购买了 x 台计算机； 则去年购买 2x 台，今年购买 4x 台. 题目中的等量关系是？ 前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台 x ＋ 2 x ＋ 4 x ＝140 因此，可列方程为 “各部分量的和 = 总量”是一个基本的相等关系 x + 2x + 4x = 140 探究新知 系数化为1 合并同类项 1 解方程的过程就是将方程逐步变形为 x = a 的形式 系数相加 7x = 140 x = 20 依据：乘法分配律的逆运算 依据：等式性质2 请你自己检验 x = 20 是方程 x+2x+4x = 140的解. 探究新知 【思考】上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？ 合并同类项起到了“化简”的作用， 把含有未知数的项合并为一项， 从而把方程转化为 ax = b， 使其更接近 x = a 的形式 ( 其中 a , b 是常数 ) ． 例题练习 解：(1)合并同类项，得 系数化为1，得 解下列方程： (1) (2) 解：(2)合并同类项，得 6x = -78， 系数化为 1，得 x = -13. 合并同类项要注意每项系数的符号 归纳总结 用合并同类项解一元一次方程的步骤： 例题练习 有一列数，按一定规律排列成 1，-3，9，- 27，81，-243……其中某三个相邻数的和是 -1701，这三个数各是多少？ 符号：+，-，+，-，+，- …… 绝对值：1，3，9，27，81，243 …… 规律：后项 = 前项 × (-3) 例题练习 解：设所求三个数分别是 x， -3x， 9x. 由三个数的和是 -1701，得 x-3x + 9x = -1701 合并同类项，得 7x = -1701. 系数化为 1，得 x = -243. 所以 -3x = 729，9x = -2187. 答：这三个数分别是 -243，729，-2187. 有一列数，按一定规律排列成 1，-3，9，- 27，81，-243……其中某三个相邻数的和是 -1701，这三个数各是多少？ 探究新知 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？ 【思考】这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？ 【分析】设这个班有x个学生，每人分3本，共分出 3x 本，加上剩余的 20 本，这批书共有 本； 等量关系： 分法一分书总量 = 分法二分书总量 即，3x + 20 = 4x - 25 （3x+20） 每人分 4 本，共分出 4x 本，减去缺少的25本，这批书共有 本． （4x-25） 探究新知 3x + 20 = 4x - 25 方程 3x + 20 = 4x - 25 的两边都有含 x 的项 (3x与4x) 和不含字母的常数项 ( 20 与 -25 )，怎样才能把它转化为 x = m (常数)的形式呢？ 探究新知 3x + 20 = 4x - 25 等式的性质1 3x + 20 - 4x = 4x - 25 - 4x 3x - 4x = -25 - 20 等式两边减去4x 3x + 20 - 4x = -25 目的：右边的4x变号后移到了左边 3x + 20 - 4x - 20 = -25 - 20 等式两边减去20 等式的性质1 目的：左边的20变号后移到了右边 探究新知 3x - 4x = -25 - 20 3x + 20 = 4x - 25 把两个方程作比较，这个变形相当于 3x + 20 = 4x - 25 3x - 4x = - 25 - 20. 含未知数的项 常数项 把左边的常数项变号后，移到右边 把右边的4x变号后，移到左边 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 探究新知 下面，我们继续解这个方程 3x - 4x = -25 - 20 合并同类项 系数化为1 3x - 4x = -25 - 20 - x = -45 x = 45 由上可知，这个班有45名学生. 归纳总结 “移项”的作用： 使方程接近目标“x = a”的形式 “移项”的依据：等式的性质 1 用框图表示解这个方程的流程. 3x+20 = 4x-25 3x -4x = -25-20 - x = -45 x = 45 移项 系数化为1 合并同类项 【注意】1.移项要变号；2.一般把含有x的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边. 例题练习 解下列方程： (1) 3x + 7 = 32 - 2x. (2) 解：(1) 移项，得 3x + 2x = 32 - 7. 合并同类项，得 5x = 25. 系数化为 1，得 x = 5. 例题练习 解下列方程： (1) 3x + 7 = 32 - 2x. (2) 解：移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为 1，得 x = -8. 例题练习 某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如果用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？ 【分析】因为新、旧工艺的废水排量之比为2∶5，所以可设它们分别为 2x t 和 5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程. 例题练习 解：设新、旧工艺的废水排量分别为 2x t 和 5x t. 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 移项，得 5x-2x=100+200. 系数化为1，得 x=100. 合并同类项，得 3x=300. 答：新、旧工艺产生的废水排量分别为200 t和500 t. 5x-200=2x+100. 所以 2x=200，5x=500. “表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系. 溯源 约820年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》(又称《还原与对消计算概要》)，其中，“还原”指的是“移项”，“对消”隐含着移项后合并同类项.我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法. 阿尔—花拉子米，乌兹别克族著名数学家、天文学家、地理学家. 代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”. C B 小结 解一元一次方程 合并同类项 移项 把含有未知数的项合并为一项，从而把方程转化为 “ax = b”的形式. 1.移项要变号； 2.一般把含有x的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边. 43 谢谢各位同学的观看 （1） （2） （1）根据等式的性质1，两边同时加2， 得 ，即 ， 根据等式的性质2，两边同时乘3，得 . （2）根据等式的性质1，两边同时减去2x， 得 ，即 ， 根据等式的性质2，两边同时除以4，得 . （1）合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项分 别合并，把方程转化为 的形式. （2）系数化为1，即在方程两边除以一次项系数 ，将一次项系 数化为1，得到 练习1 下列移项正确的是( ) A.从 ，得到 B.从 ，得到 C.从 ，得到 D.从 ，得到 解析：对于选项A， 移项得到 ， 故不符合题意； 对于选项B， 移项得到 ， 故不符合题意； 对于选项C， 移项得到 ， 故符合题意； 对于选项D， 移项得到 ， 故不符合题意；故选C. 练习2.若方程 的解也是方程 的解， 则a的值为( ) A. B.4 C.12 D.2 解析： ， 移项合并得： ， 解得： ， 将 代入 中得： ， 解得： .故选B. 练习3 某同学解方程 的过程如下，请你 指出他开始出错的一步及错误的原因，并改正. 解：移项，得 ，① 合并同类项，得 ，② 方程两边同时除以-3，得 .③ 解：开始出错的一步是第①步， 错误的原因是移项时-24没有变号. 改正：移项，得 ， 合并同类项，得 ， 方程两边同时除以-3，得 . 练习4 解方程： （1） ；（2） ； （3） ；（4） . （3）移项，得 . 合并同类项，得 . 方程两边同除以-2，得 . （4）移项，得 . 合并同类项，得 . 方程两边同除以 ，得 . 解：（1）合并同类项，得 . 方程两边同除以-2.5，得 . （2）合并同类项，得 . 方程两边同除以5，得 . 练习5解下列方程： （1）； （2）； （3） . 解：（1）， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以-2，得. （2）， 移项，得， 合并同类项，得 ， 两边都除以13，得 . 解：（3） ， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以-2.4，得. 练习6 小红在解关于x的方程 时，在移项的过程中 没有改变符号，得到的方程的解为 ，求a的值及原方程的解. 解：由题意，得小红移项后得到的方程为 ， 且其解为 ， 把代入，得，解得， 所以原方程为 ，解得 . 练习7某校七年级科技兴趣小组计划制作一批飞机模型， 如果每人做6个，那么比计划多做了10个，如果每人做 5个，那么比计划少做了14个.该兴趣小组共有多少人？ 计划做多少个飞机模型？ 解：设该兴趣小组共有x人，则计划做 个飞机模型， 根据题意得： 解得 （个） 答：该兴趣小组共有24人，则计划做134个飞机模型. 练习8冬天下雪后麻雀不能去找食物，就到猪圈里找吃的. 猪圈里麻雀的数量是猪的3倍，猪和麻雀的腿数总和是110 条.猪圈里养了多少头猪？有多少只麻雀来找吃的？ 解：设有x头猪，则麻雀有 只， 根据题意可列方程： ， 解得 ， 则麻雀有 （只）， 答：猪圈里养了11头猪，有33只麻雀来找吃的. $$