专题08 角平分线三种模型全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题08 角平分线的三种模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【模型一、垂两边】 2 【模型二、截长补短构造全等】 4 【模型三、内外角角平分线】 6 【课后练习】 8 【知识点归纳】 ①垂两边 BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，则OE＝OF，△BEO≌△BFO． 解题通法：由角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，构造全等三角形． ②截长补短构造全等三角形 在△ABC中，BC>BA，BO是∠ABC的平分线． （截长法）在BC上取线段BE＝BA，连接OE，则△BEO≌△BAO； （补短法）延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD，则△BDO≌△BCO． 解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段（截长或补短）构造全等三角形． ③两平分线的夹角 1.在三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G，则∠BGA和∠A之间的关系是：． 解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于与第三个内角的一半的和．（当两直线平行时，同旁内角的角分线夹角=） 2.如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线，则∠O与∠A之间的关系为：． 解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于与第三个内角的一半的差． 【模型一、垂两边】 例．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 变式1．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC= °． 变式2．如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P． （1）求的度数． （2）求证：点在的平分线上． （3）求证：①；②． 变式3．（培优综合）已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于B，D两点，且．过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点F，交于点O，连接并延长交于点G．若，求线段的长． 【模型二、截长补短构造全等】 例．利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍． （1）尺规作图：作的平分线． 【模型构造】 （2）填空： ①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”） 方法一：巧翻折，造全等 在上截取，连接， 则． ②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______． 方法二：构距离，造全等 过点作，垂足为点， 则． 【模型应用】 （3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点． ①请直接写出______； ②试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 变式1．如图①，△ABC为等腰直角三角形, △ABD为等边三角形，连接CD． （1）求∠ACD的度数； （2）如图①，作∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE=AE+CE； （3）如图②，在（2）的条件下，M为线段BC右侧一点，满足∠CMB=60°，求证：ME平分∠CMB． 变式2．[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？ [探究] 探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______． 探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由． [结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______． [拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．          【模型三、内外角角平分线】 例．（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A． （2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由： ①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系； ②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系． 变式1．探究发现：如图①，在中，内角的平分线与外角的平分线相交于点． （1）若，则 ； 若，则 ； （2）由此猜想：与的关系为 (不必说明理由)． 拓展延伸：如图②，四边形的内角与外角的平分线相交于点，． （3）若，，求的度数，由此猜想与，之间的关系，并说明理由． 变式2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试证明∠BOC＝90°+ （2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （3）如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）    变式3．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）； （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由； （4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC= ゜，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R= ゜． 【课后练习】 1．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和交于点P，连结．有以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的序号是 ． 2．如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． (1)求证：平分 (2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证： 3．如图，中，于点，，点在上，，连接． （1）求证：； （2）延长交于点，连接，求的度数； （3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积． 4．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 5．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、B（0，7）、C（7，0），∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD． （1）求证：∠ABO＝∠CAD； （2）求四边形ABCD的面积； （3）如图2，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长． 6．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P； （1）在图①中，分别画出点P到△ABC的三边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，写出三条垂线段的数量关系，并说明理由； （2）在图②中，∠ABC是直角，∠C=60º，其余条件不变，判断PE，PD之间的数量关系，并说明理由； 7．已知BF平分的外角，D为射线BF上一动点． （1）如图所示，若，求证：； （2）在D点运动的过程中，试比较与的大小，并说明你的理由． 18．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 角平分线的三种模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【模型一、垂两边】 2 【模型二、截长补短构造全等】 9 【模型三、内外角角平分线】 16 【课后练习】 24 【知识点归纳】 ①垂两边 BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，则OE＝OF，△BEO≌△BFO． 解题通法：由角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，构造全等三角形． ②截长补短构造全等三角形 在△ABC中，BC>BA，BO是∠ABC的平分线． （截长法）在BC上取线段BE＝BA，连接OE，则△BEO≌△BAO； （补短法）延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD，则△BDO≌△BCO． 解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段（截长或补短）构造全等三角形． ③两平分线的夹角 1.在三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G，则∠BGA和∠A之间的关系是：． 解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于与第三个内角的一半的和．（当两直线平行时，同旁内角的角分线夹角=） 2.如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线，则∠O与∠A之间的关系为：． 解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于与第三个内角的一半的差． 【模型一、垂两边】 例．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质得到FZ=FY，根据角平分线的判定定理得到∠FCZ=∠FCY，根据题意得到答案． 【详解】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W， ∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB， ∴FZ=FW， 同理FW=FY， ∴FZ=FY． ∵FZ⊥AE，FY⊥CB， ∴∠FCZ=∠FCY， ∵∠AFB=40°， ∴∠ACB=80°， ∴∠ZCY=100°， ∴∠BCF=50°． 故选B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 变式1．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC= °． 【答案】30 【分析】过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，根据角平分线的性质得到DF=DM，根据邻补角的定义得到∠DAM=60°，根据角平分线的定义得到∠BAE=60°，推出DE平分∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB=90°，得到∠DEF=45°，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE， ∵CD平分∠ACB，∴DF=DM， ∵∠BAC=120°，∴∠DAM=60°， ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=60°， ∴∠DAM=∠BAE，∴DM=DN，∴DF=DN, ∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB， ∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC， ∴∠AEB=90°，∴∠DEF=45°， ∵∠B=∠ACB=30°，CD平分∠ACB，∴∠DCF=15°， ∴∠EDC=∠DEF -∠DCF=30°. 故答案为30． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、角平分线的定义，正确的作出辅助线，熟练运用性质是解题的关键． 变式2．如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P． （1）求的度数． （2）求证：点在的平分线上． （3）求证：①； ②． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析，②见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解； （2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，作，，分别垂直于，，，即可得解； （3）①根据（2）所做图像，证明全等即可得解；②在AB上取，证明，，得到，证明，得到，证明，得到，再结合图像即可证明． 【详解】解：（1）已知， ， 又 AE，BD是的角平分线， ， ； （2）作，，分别垂直于，，如图， AE，BD是的角平分线， ， 在的平分线上； （3）①：如图所示，在四边形中， ，（对顶角）， ， ， 又，， ， ； ②：在AB上取， ， ， 同理可证， ，， 又， ， ，， 又， ， 又 ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质；掌握好相关的基本性质定理，熟练地使用全等三角形的性质是关键． 变式3．（培优综合）已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于B，D两点，且．过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点F，交于点O，连接并延长交于点G．若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析；(3)6． 【分析】（1）过点C作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作，利用证明，从而得到，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在BD上截取，连接OH，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，过点C作，垂足为F， ∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴，∴， ∴ ∴； （3）解：如图3，在上截取，连接， 在和中，， ∴∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴点O到的距离相等，∴， ∵ ∴，∴， ∴，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是作合适的辅助线，构造全等三角形． 【模型二、截长补短构造全等】 例．利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍． （1）尺规作图：作的平分线． 【模型构造】 （2）填空： ①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”） 方法一：巧翻折，造全等 在上截取，连接， 则． ②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______． 方法二：构距离，造全等 过点作，垂足为点， 则． 【模型应用】 （3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点． ①请直接写出______； ②试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②6；（3）①120°；②，理由见解析． 【分析】（1）直接利用角平分线的作法作图即可； （2）①根据三角形的性质：大边对大角即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得BE=EF=EC,即E为BC的中点，进而求得EF的长即可； （3）①利用角平分线的定义和三角形内角和即可解答； ②在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）如图所示 （2）①∵ ∴大于； 故答案为； ②如图：过点作，垂足为点， ∵和的平分线，交于点 ∴BE=EF=EC,即BE=BC=6 ∴EF=6,即点到的距离是6 故答案为6； （3）①∵∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120° ∵，是的两条角平分线，且，交于点． ∴∠CBE+∠BCF==60° ∴180°-∠CBE+∠BCF=120°； ②，理由如下： 在上截取，连接，则， ∴，， 由①知：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、性质定理以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 变式1．如图①，△ABC为等腰直角三角形, △ABD为等边三角形，连接CD． （1）求∠ACD的度数； （2）如图①，作∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE=AE+CE； （3）如图②，在（2）的条件下，M为线段BC右侧一点，满足∠CMB=60°，求证：ME平分∠CMB． 【答案】(1)15°;(2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）由题意可得∠BAC=90°,AB=AC,∠BAD=60°,AB=AD,于是可证得∠CAD=150°,AC=AD,故可求∠ACD的度数； （2）在ED截取EF=AE，连接AF，证明△AEF为等边三角形,再证△ADF△AEC，即可得出结论； （3）连接EB，作EG⊥BM于点G，EH⊥MC交MC的延长线于点H.证明△ABE△AEC和△BEG△HEC，于是可得EG=EH，根据角平分线的判定定理即可证明ME平分∠CMB. 【详解】解：（1）如图①， ∵△ABC为等腰直角三角形, ∴∠BAC=90°,AB=AC, ∵△ABD为等边三角形, ∴∠BAD=60°,AB=AD, ∴∠CAD=150°,AC=AD, ∴∠ACD==15°, （2）在ED截取EF=AE，连接AF， ∵AE平分∠BAC，∠BAC=90°, ∴∠EAC=45°， ∵∠ACD=15°， ∴∠DEA=45°+15°=60°， ∵EF=AE， ∴△AEF为等边三角形, ∴AF=AE，∠FAE=60°， ∴∠FAD=150°-60°-45°=45°， ∴∠FAD=∠EAC， 在△ADF和△AEC中 ， ∴△ADF△AEC， ∴DF=CE， ∴DE=DF+EF=CE+AE， （3）连接EB，作EG⊥BM于点G，EH⊥MC交MC的延长线于点H， 由（1）（2）可知在△ABE和△AEC中， ∴△ABE△AEC， ∴BE=CE，∠AEB=∠AEC=120°， ∴∠BEC=360°-120°-120°=120°， ∵在四边形GEHM中，∠CMB=60°，EG⊥BM，EH⊥MC， ∴∠GEH=360°-60°-90°-90°=120°， ∴∠GEH=∠BEC， ∴∠CEH=∠BEG， 在△BEG和△HEC中， ∴△BEG△HEC， ∴EG=EH， ∴EM平分∠CMB. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质和判定，综合性比较强，难度较大，关键在于灵活构造全等三角形，以得到边和角的等量关系. 变式2．[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？ [探究] 探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______． 探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由． [结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______． [拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．          【答案】探究一：角的平分线上的点到角的两边距离相等；探究二：AD＝CD；理由见解析；[结论]：AD＝CD；[拓展]：见解析． 【分析】探究一：根据角平分线的性质定理解答； 探究二：作于，作交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质证明结论； [理论] 根据探究结果得到答案； [拓展]在上取一点，使，作角的延长线于，于，证明，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，结合图形证明结论． 【详解】解：探究一：平分，，， ， 理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等， 故答案为：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 探究二：作于，作交的延长线于， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ； [理论] 综上所述，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是， 故答案为：； [拓展] 在上取一点，使，作交的延长线于，于， ． 平分，，， ， ，， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【模型三、内外角角平分线】 例．（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A． （2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由： ①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系； ②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）①∠A=180°−2∠D，理由见解析；②∠A=2∠D，理由见解析 【分析】（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可； （2）①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A−2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可. 【详解】（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A， 又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°， ∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB) =180°−(∠ABC+∠ACB) =180°−(180°−∠A) =180°−90°+∠A =90°+∠A， 即：∠D=90°+∠A； （2）①∠A=180°−2∠D，理由如下： ∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线， ∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC=180°−(∠A+∠ACB)=180°−2∠DBC， ∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−2∠DCB， ∴∠A+180°−2∠DBC+180°−2∠DCB=180°， ∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=−180°， 又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°， ∴∠DBC+∠DCB=180°−∠D， ∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=∠A−2(180°−∠D)=−180°， 即：∠A−360°+2∠D=−180°， ∴2∠D=180°−∠A， 即：∠A=180°−2∠D； ②∠A=2∠D，理由如下： ∵∠DCE是△ABC的一个外角， ∴∠DCE=∠DBC+∠D， ∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE， ∵∠A+∠ABC=∠ACE， ∴∠A+2∠DBC=2∠DCE， ∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D， ∴∠A=2∠D. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 变式1．探究发现：如图①，在中，内角的平分线与外角的平分线相交于点． （1）若，则 ； 若，则 ； （2）由此猜想：与的关系为 (不必说明理由)． 拓展延伸：如图②，四边形的内角与外角的平分线相交于点，． （3）若，，求的度数，由此猜想与，之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）40°25°；（2）(或)（3）= 【分析】（1）先根据两角平分线写出对应的等式关系，再分别写出两个三角形内角和的等式关系，最后联立两等式化解，将的角度带入即可求解； （2）由（1）可得，即可求解； （3）在与的平分线相交于点，可知，又因为，两直线平行内错角相等，得出，再根据三角形一外角等于不相邻的两个内角的和，得出，再由四边形的内角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出结论． 【详解】解：（1）由题可知：BE为的角平分线，CE为的角平分线， =2=2，=2， ， 三角形内角和等于， 在中：， 即：， ①， 在中：， 即：， ②， 综上所述联立①②，由①-②×2可得 ：， ， ， ， 当，则； 当，则； 故答案为，； （2）由（1）知：(或)； （3）∵与的平分线相交于点， ∴， ， 又∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵是的一个外角， ∴（三角形一外角等于不相邻的两个内角的和）， 在四边形中，四边形内角和为，， ， ∴， ∴①， ∴， 即， 在中：，， 由上可得：，②， 又∵， ∴，，， 由①②可得，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 变式2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试证明∠BOC＝90°+ （2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （3）如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）    【答案】（1）见解析；（2）∠BOC=，理由见解析；（3）∠BOC=90°－ 【分析】（1）利用△ABC和△BOC的内角和为180°进行角度转化可得结论； （2）设∠ABO=x，∠ACO=y，利用△ABC和△OBC的内角和，可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得； （3）设∠DBO=x，∠ECO=y，利用△ABC和△OBC的内角和，可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得． 【详解】（1）∵OB、OC分别时∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠ABO=2∠1，∠ACB=2∠2 在△ABC中，∠A+2∠1+2∠2=180°，化简得：∠A+2(∠1+∠2)=180° 在△BOC中，∠1+∠2+∠BOC=180°，化简得：∠1+∠2=180°－∠BOC，代入上式得： ∠A+2(180°－∠BOC)=180° 化简得：∠BOC=90°+ （2）设∠ABO=x，∠ACO=y ∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点 ∴∠OBC=∠OBA=x，∠OCD=∠OCA=y，∠ACB=180°－2y ∴在△ABC中，∠A+2x+(180°－2y)=180°，化简得：∠A=2(y－x) 在△BOC中，x+∠BOC+(180°－2y+y)=180°，化简得：∠BOC=(y－x) ∴∠BOC= （3）设∠DBO=x，∠ECO=y 同理，∠OBC=x，∠OCB=y，∠ABC=180°－2x，∠ACB=180°－2y ∴在△ABC中，∠A+(180°－2x)+ (180°－2y)=180°，化简得：2(x+y)－∠A=180° 在△OBC中，x+y+∠BOC=180°，化简得：x+y=180°－∠BOC，代入上式得： ∠A+2∠BOC=180°，即：∠BOC=90°－ 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题关键是利用方程思想，结合三角形内角和关系转化为方程的形式求解． 变式3．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）； （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由； （4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC= ゜，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R= ゜． 【答案】（1） 122°；（2）；（3）；（4）119，29 ； 【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，再利用与表示出，于是得到结论； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出与，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC的度数；根据（2）的结论可以得到∠R的度数． 【详解】解：（1）、分别平分和， ，， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2示， 和分别是和的角平分线， ，， 又是的一外角， ， ， 是的一外角， ； （3），， ， ， ， 结论． （4）由（3）可知，， 再根据（1），可得 ； 由（2）可得：; 故答案为：119，29． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【课后练习】 1．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和交于点P，连结．有以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的序号是 ． 【答案】 【分析】首先由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出可知，过点P作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，由此判断①；由全等三角形的判定定理可得出，由此判断②；由三角形全等的判定定理可得出，，然后根据全等三角形推出，由此判断③，根据全等可得、和的关系，由此判断④，由此即可解答本题． 【详解】∵，分别是和的平分线，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于F点，PG⊥AC于G点，PH⊥BC于H点， ∵，分别是和的平分线，，，， ∴， ∴平分，故①正确； 由①可知：， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∴，故②正确； 又∵，， ∴， 同理：， ∴，， 两式相加得：， ∵，∴，∴，故③正确； ∵， ∴，，，的高相等， ∵， ∴，故④正确； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，角平分线的性质定理以及四边形内角为360°等知识，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 2．如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． (1)求证：平分 (2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证： 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． （1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明； （2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，， 即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为边上的高，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：平分． （2）过点E作于点M，于点N， 平分，且，， ． ， ， 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 为边上的高， ， ， ． 在和中， ． . 3．如图，中，于点，，点在上，，连接． （1）求证：； （2）延长交于点，连接，求的度数； （3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面积为21． 【分析】（1）由“SAS”可证△BDE≌△CDA，可得BE=CA； （2）过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，由全等三角形的性质可得∠DBE=∠ACD，S△BDE=S△ADC，由面积关系可求DH=DG，由角平分线的性质可得∠DFG=∠DFH=45°，即可求解； （3）在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，由△BEN≌△MCN，可得EN=CN，由三角形的面积公式可求解． 【详解】证明（1）在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE=CA； （2）如图2，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H， ∵△BDE≌△CDA， ∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC， ∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°， ∴∠AFB=∠CFB=90°， ∵S△BDE=S△ADC， ∴， ∴DH=DG， 又∵DG⊥AC，DH⊥BF， ∴∠DFG=∠DFH=45°， ∴∠CFD=135°； （3）如图3，在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F， 由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12， ∵CM⊥CA， ∴BF∥CM， ∴∠M=∠FBN， ∵CM=CA， ∴CM=BE， 在△BEN和△MCN中， ， ∴△BEN≌△MCN（AAS）， ∴EN=CN， ∵EC=CD-DE=12-5=7， ∴， ∴△NBC的面积， 故△NBC的面积为21． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 4．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 5．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、B（0，7）、C（7，0），∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD． （1）求证：∠ABO＝∠CAD； （2）求四边形ABCD的面积； （3）如图2，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长． 【答案】（1）见解析；（2）50；（3）7. 【分析】（1）根据四边形的内角和定理、直角三角形的性质证明； （2）过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E，作DG⊥x轴于点G，证明△ABF≌△ADE、△ABO≌△DAG，得到D点的坐标为（4，﹣3），根据三角形的面积公式计算； （3）作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，根据角平分线的性质得到EH＝EG，证明△EBH≌△EOG，得到EB＝EO，根据等腰三角形的判定定理解答． 【详解】（1）在四边形ABCD中， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵BC⊥CD， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°， ∵∠BAC+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠CAD； （2）过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E，作DG⊥x轴于点G，如图1 ∵B（0，7），C（7，0）， ∴OB＝OC， ∴∠BCO＝45°， ∵BC⊥CD， ∴∠BCO＝∠DCO＝45°， ∵AF⊥BC，AE⊥CD， ∴AF＝AE，∠FAE＝90°， ∴∠BAF＝∠DAE， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（AAS）， ∴AB＝AD， 同理，△ABO≌△DAG， ∴DG＝AO，BO＝AG， ∵A（﹣3，0）B（0，7）， ∴D（4，﹣3）， S四ABCD＝AC•（BO+DG ）＝50； （3）过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，如图2 ∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上， ∴EH＝EG， ∵∠BCO＝∠BEO＝45°， ∴∠EBC＝∠EOC， 在△EBH和△EOG中， ， ∴△EBH≌△EOG（AAS）， ∴EB＝EO， ∵∠BEO＝45°， ∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，又∠OBC＝45°， ∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°， ∴BF＝BO＝7． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P； （1）在图①中，分别画出点P到△ABC的三边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，写出三条垂线段的数量关系，并说明理由； （2）在图②中，∠ABC是直角，∠C=60º，其余条件不变，判断PE，PD之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）PF=PG=PH；理由见解析；（2）PE=PD；理由见解析 【分析】（1）PF=PG=PH，根据已知条件及角平分线的性质定理即可证得结论；（2）过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，证明△PFE≌△PGD，根据全等三角形的性质即可证得PE=PD． 【详解】（1）如图1所示： PF=PH=PG，理由如下： ∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB， ∴PF=PH， ∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB， ∴PG=PH， ∴PF=PH=PG； （2）PE=PD． 证明：∵∠ABC=90°，∠C=60°， ∴∠CAB=30°， ∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=∠ABC=45°， 过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G， 则∠PFE=∠PGD=90°， ∵∠PDG为△ADC的一个外角， ∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+∠CAB=60°+15°=75°， ∵∠PEF是△ABE的一个外角， ∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+∠CBA=30°+45°=75°， ∴∠PEF=∠PDG， ∵PF⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PFE=∠PGD=90°， 由（1）得：PF=PG， ∴△PFE≌△PGD， ∴PE=PD． 【点睛】本题综合考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键． 7．已知BF平分的外角，D为射线BF上一动点． （1）如图所示，若，求证：； （2）在D点运动的过程中，试比较与的大小，并说明你的理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）．理由见解析. 【分析】（1）在BE上取点M，使BM=BA，连接DM，可证明△ADB≌△MDB，可得DM=DC，可证得∠DAB=∠DCB，再结合三角形内角和定理可证得结论； （2）由（1）可得到DM=DC，在△DMC中，可得DM+DC＞BM+BC，则有DA+DC＞BA+BC，可得出结论. 【详解】解：（1）证明：如图1，在BE上取点M，使BM=BA，连接DM， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABD=∠MBD， 在△ABD和△MBD中， ∴△ABD≌△MBD（SAS）， ∴DM=DA，∠DAB=∠DMB， 又∵DA=DC， ∴DM=DC， ∴∠DMB=∠DCB， ∴∠DAB=∠DCB， ∴∠ABC=∠ADC； （2）． 理由如下： 在（1）中可得△ABD≌△MBD， ∴AD=MD，AB=MB， 在△DMC中，由三角形三边关系可得DM+DC＞MC， ∴DM+DC＞MB+BC， ∴DA+DC＞BA+BC， 即BA+BC＜DA+DC. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键，在（1）中构造三角形全等是解题的关键． 18．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【分析】（1）在上取一点，使得，连接，则利用可得出，从而得出，即有，通过这样的转化可证明与互补． （2）由（1）的结论中得出的，结合三角形的外角可得，可将转化为，从而在线段上可解决问题． 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”“作角边的垂线段”两种辅助线方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$