第10讲 一次函数与反比例函数综合-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

一次函数与反比例函数综合 教学目标：回顾并应用一次函数和反比例函数的图像和性质，掌握一次函数和反比例函数的交点和面积问题、最值和相似问题等其他问题 教学重点：通过转化思想能求不同类型的面积；掌握将军饮马问题的基本模型及相似三角形问题特殊三角形问题、特殊的平行四边形问题 教学难点：交点坐标的求解，不规则图形的转化求面积；掌握将军饮马问题的基本模型及相似三角形问题、特殊三角形问题、特殊的平行四边形问题 专题一：交点问题 相关知识内容 1、求函数图象与坐标轴的交点： 求函数图象与坐标轴交点的坐标，其意义在于所求的点即在函数图象上，又在坐标轴上。函数图象上点的横、纵坐标对应函数中的两个变量x、y，坐标轴上的点其中一个坐标值为0（横轴上的点纵坐标为0，纵轴上的点横坐标为0）。因此，若求图象与横轴交点的坐标，就确定纵坐标为0，并用0代替函数中的变量y，求得对应x的值即是点的横坐标，两个坐标值组成交点坐标。同理就可求得函数图象与纵轴交点的坐标。 2、求两个函数图象的交点： 两个函数图象的交点，是它们的公共点，这个点的横、纵坐标同时对应两个函数解析式中的两个变量x、y。因此，求两个函数图像的交点，就是求这两个函数解析式所组成的方程组的解。 例1：如图，一次函数y=kx+5（k≠0）的图象与反比例函数y=﹣ 的函数交于 A（﹣2，b），B两点． （1）求一次函数的表达式； （2）设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1＞y2时x的取值范围． （3）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值． 变式练习1：如图，反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）． （1）求这两个函数解析式； （2）设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1＞y2时x的取值范围． （3）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y=的图象有且只有一个交点，求m的值． 专题二：面积问题 相关知识点内容 1、点坐标的几何意义： ①点到轴的距离是；②点到袖的距离是； ③点到原点的距离是。 2、两点间距离： ①若A、B两点横坐标相同：A、B，则AB两点间距离为AB=； ②若A、B两点纵坐标相同：A、B，则AB两点间距离为AB=； ③若A、B为任意两点：A、B、P为AB的中点：则AB两点间距离为AB=（两点间距离公式）；点P坐标为 P（中点坐标公式）。 3、（1）如果在坐标系中，某个三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这条边的长，再根据这条边所对的顶点的坐标可取出该边上的高，从而求出三角形的面积。 （2） 若在平面直角坐标系中，三角形无边在坐标轴上或平行于坐标轴，则需将这个三角形补或割成若干个特殊图形（通常是几个三角形、直角梯形、长方形等）,再计算这些图形面积的和或差.技巧是：所选择的割线一般要与坐标轴平行或重合. 例2：如图，直线y=mx+n与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，交x轴于点C（，0），过点A作AD⊥y轴于点D（0，），连接CD，S△ADC=2． （1）求反比例函数y=与直线y=mx+n的表达式； （2）求△DAB的面积。 变式练习2：（1）如图，在直角坐标系xOy中，一直线y=2x+b经过点A（﹣1，0）与y轴正半轴交于B点，在x轴正半轴上有一点D，且OB=OD，过D点作DC⊥x轴交直线y=2x+b于C点，反比例函数y=（x＞0）经过点C． （1）求b，k的值； （2）求△BDC的面积； （3）在反比例函数y=（x＞0）的图象上找一点P（异于点C），使△BDP与△BDC的面积相等，求出P点坐标． （2）如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方； （3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标． 例3：如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4． （1）试确定反比例函数的关系式及点C的坐标； （2）求△AOB的面积． （3）点M是x轴上的一个动点，若点M在线段OC上，且△AMB的面积为3，求点M的坐标． 变式练习3：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点.已知当时，；当时，. （1） 求一次函数的解析式； （2） 已知双曲线在第一象限有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积. 专题三：最值问题 相关知识点内容 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再到河边同侧的B地开会，怎样走使走过的路径最短？ （1） 由做法可知：河流l相当于AA’的中垂线，所以AD=A’D； （2） 由上一条可知：将军走的路程就是AC+BC，也就等于A’C+BC，两点之间线段最短，所以C点即为最优。 例4：如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 变式练习4:（1）如图①，直线y=kx+b与双曲线y=（x＞0）相交于点A（1，m）、B（4，n），与x轴相交于C点． （1）求点A、B的坐标及直线y=kx+b的解析式； （2）求△ABO的面积； （3）如图②，在x轴上是否存在点P，使得PA+PB的和最小？若存在，请说明理由并求出P点坐标． （2）如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA=2． （1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式； （2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围． （3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标． 专题四：反比例与相似三角形 例5:如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴、x轴分别交于A，B两点． （1）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C，D两点（BD＜BC），当AD=4DB时，求k1的值； （2）设线段AB的中点为P，过P作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点Q，连接OP，OQ，当以P，O，Q为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似时，求k2的值． 变式练习5：（1）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数（x>0）图象于点A、B，交x轴于点C． （1）求m的取值范围； （2）若点A的坐标是（2，－4），且，求m的值和一次函数的解析式； 专题五：反比例函数与特殊三角形 例6：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA=，AD=OD，点B的横坐标为 （1）求一次函数的解析式及△AOB的面积． （2）已知反比例函数y1和一次函数y2，结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围． （3）在坐标轴上是否存在点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式练习6：已知反比例函数y=和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标； （3）若直线y=﹣x+交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F，求证：DE•CF为定值． 专题六：反比例函数与特殊四边形 例7：如图，反比例函数y=（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B． （1）求k的值与B点的坐标； （2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标． 变式练习7：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0）．其中m＞0． （1）四边形ABCD的是　 　．（填写四边形ABCD的形状） （2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值． （3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由． 课后作业 1、已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂直为D，若OB=2OA=3OD=6． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求两函数图象的另一个交点坐标； （3）直接写出不等式kx+b≤的解集． 2、如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二象限的点A（m，1），且与y轴交于点C．过点A作x轴的垂线，垂足为点D，连接CD，已知△ADC的面积为，且∠ACO=45°. （1）求这个一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点E是点C关于x轴的对称点，点B的纵坐标为﹣3，求△ABE的面积． 3、已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（2，4），反比例函数y=的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D，E． （1）求反比例函数y=的表达式； （2）y轴上是否存在点M，使得△MBO的面积等于△ODE的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y=图象上一点，是否存在点P，点Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图，已知正比例函数y=ax与反比例函数y=的图象交于点A（3，2） （1）求上述两函数的表达式； （2）M（m，n）是反比例函数图象上的一个动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A点作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．若s四边形OADM=6，求点M的坐标，并判断线段BM与DM的大小关系，说明理由； （3）探索：x轴上是否存在点P．使△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，说明理由． ( 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$