2023—2024学年浙教版数学八年级下册 《几何特训专版》

浙教版·八全暑期《几何特训专》解题技巧 目　录 第1讲 《巧用中点之“倍长中线”》 1 第2讲 《巧用中点之“等腰直角三角形斜中定理”》 7 第3讲 《巧用中点之“中位线”》 10 第4讲 《“K字型”之全等（1）》 15 第5讲 《“一线三等角”之全等》 21 第6讲 《“旋转手拉手”之全等》 24 第7讲 《平行四边形之“对角线最值问题”》 37 第8讲 《平行四边形之“双平等腰”模型》 39 第9讲 《平行四边形之“等积转化”》 42 第10讲 《平行四边形存在性问题之“矩形大法”》 49 第11讲 《平行四边形存在性问题之“公式法”》 55 第12讲 《折叠及对称问题1》 60 第13讲 《折叠及对称问题2——对称点落在线上的问题》 64 第14讲 《“将军饮马”模型求线段和最值问题》 68 第15讲 《正方形之“十字架”》 74 第16讲 《正方形之“角含半角”》 77 第17讲 《正方形之“赵爽弦图”》 80 第1讲 《巧用中点之“倍长中线”》 思路点拨 1. 基本图形： （1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使得DE=AD，则有________________；___________________. （2）如图2，在梯形ABCD中，E为CD边中点，延长AE、BC交于点F，则有____________________. 经典例题 例1. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC边上的中线AD=6，则BC的长为_________. 例2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且，M是AD的中点，且AB=3，CD=5，则BC的长为_________. 例3. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为__________. 类题精练 1. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，E为CD的中点，若用S1，S2，S3分别表示△ADE，△EBC，△ABE的面积，则S1，S2，S3的关系是（　　） A. S1＋S2＞S3 B. S1＋S2＝S3 C. S1＋S2＜S3 D. 以上都不对 2. 在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围为_________． 3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，且AE平分，若AD=3，BC=5，则AB=_________. 4.（温州二中期中卷）如图，在△ABC中，90°，AB=3，AC=6，延长CB至点D，使得CB=BD，再延长AB至点E，使得45°，连接EC，则△BCE的面积为_________. 5.（南浦实验中学期中卷）如图，在△ABC中，90°，过点A做直线m//BC，过AB的中点D作，DE交直线m于点E，连结CE，已知BC=5，AC=12，则AE的长为___________. 6. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上（E，F不与端点重合），且，则有（　　） A. B. C. D.与的长短关系不确定 7. 如图，是的中点，，若，则的长为__________. 8. 如图，已知，，且，，是的中点，则的长为___________. 9. 如图，矩形与如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若，，则GH的长为_________. 10.（浙江宁波中考真题卷）如图，菱形ABCD中，AB=2，是锐角，于点E，M是AB的中点，连接MD，ME. 若90°，则________. 11.（永嘉期中卷）如图，等边△ABC的边长为5，点P在AB边上，点Q为BC延长线一点，连结PQ交AC于D，点A关于直线PQ的对称点恰好落在AB边上，当时，的长为__________. 12.（温州实验中学期中复习卷）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，连接AP，BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F， 于点E. 点M，N在移动过程中，线段EF的长是_________. 13.（山东德州中考真题卷）如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC. 14.如图，在△ABC 中，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F，DF=EF. 求证：△ABC 是等腰三角形. 15.（温州市期末统考卷）如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连结BE，过点D作DF∥BE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连结EH，GF. （1）求证：四边形EGFH为平行四边形. （2）若BC=10，AB=6，60°. ①当BG=GF时，求四边形EGFH的面积； ②如图2，延长FG交AB于点P，连结AG，记△APG的面积为S1，△BPG的面积为S2，若，求的值. 第2讲 《巧用中点之“等腰直角三角形斜中定理”》 思路点拨 1. 基本图形： 如图，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上的中点，分别交AB、BC于E、F两点，则有________________；___________________. 经典例题 例1.（温州外国语学校期中卷）如图，在△ABC中，AB=AC，90°，D、E、F分别是边BC、AB、AC上的点，且，△BED，△DFC，△AEF的面积分别为S1，S2，S3；若D为BC的中点，S1=2，S2=6，则S3=___________. 类题精练 1.（外国语学校期中卷）如图，在△ABC中，CA=CB=4，90°，以AB为中点D为圆心，作圆心角90°的扇形DEF，点C恰好在EF上，下列关于图中阴影部分的说法正确的是（　　） A.面积为 B.面积为 C.面积为 D.面积随着扇形位置的变化而变化 2.（温州协作体期中卷）如图，在Rt△POQ中，90°，，M为PQ中点，将一把三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B. 在顺时针旋转三角尺的过程中（0°<<90°），则△AOB的周长变化情况是（　　） A.先减少再增大 B.逐渐增大 C.保持不变 D.逐渐减少 3. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别在边AB，BC上的点，若AE=4，BE=3，且，则EF的长为________. 4.（苍南县期中卷）如图，在等腰△ABC中，90°，点O是AB的中点，且AB=2，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，并保持该直角三角板的两直角边分别与两边AC、BC相交，交点分别为D，E，则AD+BE的值为___________. 5.（平阳县期中卷）如图，在Rt△ABC中，AC=CB，D为AB的中点，点E在AC边上运动，连接DE，过D作交边BC于点F，连接EF. （1）当时，____________； （2）当时，且时，_________. 第3讲 《巧用中点之“中位线”》 思路点拨 1. 在题目的条件中若出现中点的相关条件，均可考虑中位线的构造，利用中位线的性质进行解题，若出现两个或者更多个中点的条件时，优先考虑中位线. 2. 连结三角形两边_________的线段叫做三角形的中位线；一个三角形有______条中位线. （1）三角形的中位线________于第三边，并且等于第三边的_________. （2）三角形的中位线将原三角形分得的较小三角形的面积是原三角形面积的_________. 3. 中位线逆定理：如图，在△ABC中，若D是AB中点，且DE∥BC；则_____________. 经典例题 例1. 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，于F，AB=5，AC=3，则DF的长为___________. 例2.（温州实验中学单元卷）如图，在Rt△ABC中，90°，点D是AC延长线上的一点，AD=24，点E是BC上一点，BE=10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN=__________. 例3.（棋瓯海区中考模拟卷）如图，菱形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，60°，顶点B，D的纵坐标相同. 已知点B的横坐标为，若过点D的双曲线恰好经过AB的中点E，则k=________. 例4.（浙江湖州中考卷）如图，在Rt△AOB中，点A在第一象限，点B在x轴上，点C是OA的中点，反比例函数的图象经过点C且与AB交于点D，若△OCD的面积为3，求k的值. 类题精练 1.（瑞安联考期中卷）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且=90°，若AB=4，BC=7，则EF的长为___________. 2．（温州实验中学返校考卷）如图，在□ABCD中，点E、F、G分别是边BC、CD、AD上的中点，连AE、FG、BD，已知AE=BE，△ABE的周长为8，GF=2，则对角线BD的长为_____________. 3.（天津中考卷）如图，□ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG. 若AD=5，AB=CF=3，则CG的长为__________. 4.（2019江苏扬州中考卷）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN. 若AB=7，BE=5，则MN=__________. 5.（河南中考卷）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为____________. 6.（龙湾区期中卷附加题）如图，在Rt△ABC中，90°，AC=8，BC=4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△，交边BD于点F，若△DFE的面积是△ADE面积的一半，则CE= _____________． 7.（温州实验中学单元卷）如图，CD是△ABC的中线，AC=AD，于点E，延长线交CB于F，CD=4，AF=12，则BC的长为_________. 8.（温州实验中学单元卷）如图，在四边形ABCD中，=90°，，E为CD的中点，连结BE. 若=60°，AC平分，BC=1，则BE的长为________. 9. 如图，在△ABC中，90°，D为AB中点，E在BC上，且DE平分△ABC的周长，则DE的长为_________. 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，边BC的中点为D. 若的图象经过点A和点D，且△ABD的面积为3，则k的值为________. 11.（永嘉县期末卷）如图，已知点A在y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，0），以AB为边向右作正方形ABCD，过点D的反比例函数的图象交射线BC于点E，取BD的中点M，连结ME，当△BME与△ABD的面积相等时，线段AB与BE的长度之比为_______，OA的长为__________. 12.（重庆中考真题B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数（，）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接. 若点E为AC的中点，且△AEF的的面积为1，则k的值为__________. 第4讲 《“K字型”之全等（1）》 思路点拨 1. 基础模型： 如果在题目条件或图形中出现___________________________________的两条线段时，通常都会考虑到构造“K”字型全等的基本图形来进行解题. 构造“K”字型全等图形的一般性步骤：） 第一步：过___________________作一条水平线或铅垂线； 第二步：分别过另外两个端点作水平线或铅垂线的____________，形成______________情形. 2. 拓展延伸： 在更一般普遍情况下，过_______________任意作一条直线，再过另外两个端点作这条直线的___________，亦能形成_____________的基本图形，从而得到“K”字型全等的特殊情形. 课堂例题 例1. 如图，在Rt△ABC中，90°，AC=3，BC=2，以AB为边向右上侧作正方形ABDE，连结CE，则CE的长为___________. 例2. 如图，直线与轴、轴分别相交于点B、A，以AB为斜边作等腰Rt△MAB，使得点M落在第一象限内，过点M的双曲线为，则k的值为__________. 例3. 如图，点A（2，6），B都经过双曲线（），且45°，则B的坐标为__________. 例4. 如图，在△ABC中，，90°为△ABC外一点，连结AE，BE，CE，若＝90°，CE=4，BE＝1，则△ABE的面积为______________． 类题精练 1.（南浦实验期中卷）如图，，P是线段AC上一点（不包括点A），分别以PA、PB为腰向外作等腰Rt△PAE和等腰Rt△PBD，连接DE，交AC于F. 当P从A运动到C的过程中，PF长的变化情况为（　　） A.一直变大 B.不变 C.先变大后变小 D.先变小后变大 2.（温州实验中学期中卷）如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，顶点B，C，D在一条直线上，且CA=CE，AB=CD，连结AD，AE，若AD=AE=10，则BD的长为__________. 3. 如图，点A，点B分别为双曲线上的两点，若90°，AB=AO，且点A的横坐标为1，则k的值为__________. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，点B在直线上，若90°，AB=AO，且点A的纵坐标为，则k的值为_________. 5.（温州实验中学期中卷）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，3），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G，若反比例函数的图象经过点E，G两点，则k的值为__________. 6.（温州市期末统考卷）长方形零件图ABCD中，BC=2AB，两孔中心M，N到边AD上点P的距离相等，且，相关尺寸如图所示，则两孔中心M，N之间的距离为______mm. 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（1，1），点B在x轴负半轴上，点D在第四象限的双曲线上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为________. 8.（南浦实验单元练习卷）如图，点A（3，4），B都经过双曲线，且45°，则B的坐标为________． 9.（山东滨州市中考卷）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E，F分别在BC，CD上，若，45°，则AF=__________. 10.（瓯海区单元测试卷）如图，△ABC 是等腰直角三角形，90°。点P是线段AC上的一个动点，连接BP，过点B作且，连接AQ交BC于点D，已知AP=2，BC=5，则BD的长为_________. 11.（温州市期末统考卷）图，在Rt△ABC中，90°，AB=10，AC=8，D是AB的中点，M是边AC上一点，连接DM，以DM为直角边作等腰直角三角形DME，斜边DE交线段CM于点F，若S△MDF=2S△MEF，则CM的长为__________. 12.（永嘉十校联考期中卷）如图1，在Rt△ABC中，90°，AC=6，BC=8，射线，射线CN平分交AB于点D，交AM于点E，P是射线AM上的动点. （1）求线段AE的长； （2）连结PD，BP. ①若AB=AP，求BP的长； ②如图2，若点Q是射线CN上的动点，当△BPQ是以BP为直角边的等腰直角三角形时，求出AP的长. 26 学科网（北京）股份有限公司 第5讲 《“一线三等角”之全等》 思路点拨 1. “一线三等角”之全等，其实是“K”字型全等的更为普遍或更为高阶级的表现形式，即将“K”字型全等中的共顶点的垂直且相等的两条线段的核心条件，扩充变成了共顶点的任意夹角且相等的两条线段的条件（如下图所示），再进一步构图所形成的全等模型： 如图，当_____________，且_____________时，则____________≌___________. 证明： 2.“一线三等角”之全等模型的详细构图方式如下： 第一步：过相等的两条线段的公共顶点做一条水平线或铅垂线； 第二步：再分别以相等的两条线段的另外两个端点在这条水平线或铅垂线上构造相等的角（在实际的解题过程中，这种相等的夹角通常为45°、60°、90°、120°为常见角。） 典型例题 例1.（温州实验中学期中卷）如图，在△ABC中，90°，AC=BC，点D，E分别是BC，AC上的点，CD=3，CE=5，连接DE，在边AB上有到一点F，使得EF=ED，且45°，则△AEF的面积为_________. 例2. 如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB，BC、CD边上的点，，，连接EF、FG、EG恰好构成一个等边三角形，则正方形ABCD的边长为________. 类题精练 1. 如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点（不含A，B两端点），C是线段OB上一点，若45°，且，则点P的坐标为________. 2.（温州新希望聪明期中卷改编）如图，点B在线段DE上，，120°，若，，则AC的长是________. 3.（南浦实验期中卷）如图，在□ABCD中，60°，BC=6，CD=4，点E，P，Q分别为AB，BC，AD上一点，120°，，连结DE和DP，当DE平分，则CP的长为_______. 4. 如图，已知△ABC是等边三角形，直线l过点C，分别过点A，B两点作于点D，作于点E，若，，则AB的长为_________. 5. 如图，A（0，） ，点B在x轴上，点C是反比例函数图象上一点，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为　　　　　　　　. 6.（温州瑞安中考一模卷）如图，在△ABC中，90，30，，D为BC中点，点E在边AB上， △DEF是等边三角形（按逆时针顺序），交AC于点G，若，则等边三角形DEF的边长为________. 第6讲 《“旋转手拉手”之全等》 思路点拨 “手拉手”模型，指的是存在一个公共顶点，且顶角相等的两个等腰三角形，将其两组底角的对应顶点分别连结，形成一组全等三角形的模型. 在这里，我们将两个等腰三角形的底角顶点形象地称之为“左手”和“右手”，而公共顶点起到了“拉”起两只手的作用，故称之为“手拉手”模型. 也可以看作为这两个全等三角形中的其中一个三角形绕公共顶点旋转所产生的全等关系，故也称为“旋转手拉手”. 为了表述方便，我们将两个等腰三角形的底角顶点的连线称之为第三组对应边. 一般地，“旋转手拉手”模型在实际的应用中，通常以等边三角形、等腰直角三角形，以及进一步延伸出来的正方形作为图形背景进行展开，图形分别如下所示： 对于“手拉手”模型通常存在以下三个基本结论： （1）“手拉手模型”必有一组全等三角形； （2）第三组对应边（所在直线）的夹角等于等腰三角形的顶角； （3）第三组对应边（所在直线）交点与公共顶点的连线，会平分第三组对应边构成的夹角。 现就以上四种情形，分类具体说明如下： 1. “等边三角形”之“旋转手拉手” 思路点拨 如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BE、AD交于点O， 则有（1）一组全等三角形为：____________________________； （2）第三组对应边连线的夹角为__________°，即______________； （3）连结OC，则_________________________. 经典例题 例1.（温州二中期中卷）如图，90°，点P在射线BC上，分别以AB，AP为边在内部作等边△ABE和等边△APQ，连结QE并延长交BP于点F，若，，求FQ的长. 例2.（温州梧田一中期中卷改编）如图，△ABC和△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线. 线段BE，AD相交于点O，若15°，，求的长. 例3. 如图，P是等边三角形ABC内一点，，，，则______. 类题精练 1.（平阳期末卷）如图，△ABC和△APQ都是等边三角形，点P在△ABC内，若△PCQ是以为顶角的等腰直角三角形，若，则PB的长为________. 2.（绣山中学百题卷）如图，点A在第三象限，点D在第四象限，△OAB与△CAD都是等边三角形，已知点C的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，），则点D的坐标是__________. 3.（自编）如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE. 若15°，，则AB的长为________. 4.（温州市新希望联盟期中卷）如图，在等边△ABC中，，BF是AC边上中线，点D是BF上一点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是________. 5.（温州市素养测试卷）如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，，，，则的值为_________. 6. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，， AD=6，BD=10，则CD的长为________. 7. 如图，已知等边△ABC内有一点P，且PC=2，PA=4，，则AB的长为_________. 8.（温州二中期中卷）如图，等边△ABC的边长为2，D是射线AB上的动点，连结CD，将CD绕点C逆时针旋转60°得到CE，连结DE，BE. （1）△ABC的面积为__________；（直接填入答案） （2）当△BEC为Rt△时，求AD的长； （3）当D在线段AB的延长线上时，交BE于点F，时，求EF的长. 9. 如图，P是等边三角形ABC内一点，且120°，90°. （1）求证：； （2）若D为BC的中点，连结PD，求的度数. 2. “等腰直角三角形”之“旋转手拉手” 思路点拨 如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，连接BE、AD交于点O， 则有（1）一组全等三角形为：____________________________； （2）第三组对应边连线的夹角为__________°，即______________； （3）连结OC，则_________________________. 经典例题 例1. （瑞安东部联盟期中卷）如图，在△ABC中，90°，，点D在△ABC内，E在BD延长线上，且90°，AD=AE，若6°，BD=6，则AD=_______. 例2.（瑞安西部联盟期中卷）在等腰Rt△ABC内部有一点D，连结AD、BD、CD，且135°，，，则BD的长为________. 类题精练 1.（瑞安期末卷改编）如图，在△AOB与△COD中，90°，且,，且A、C、D三点共线. 若，，则BC的长为________. 2.（自编）如图，在△ABC与△ADE中，90°，，，且点B、C、E在同一条直线上，若，，则的长为________. 3.（南浦实验期中卷）如图，△ABC、△AED是两个大小不同的等腰直角三角形，如图所示摆放，点B、C、E在同一条直线上，连结CD. 若，连结BD，则△ABD的面积为________. 4. 如图，90°，，，且，45°，则AD的长为__________. 5.（辽宁锦州中考真题卷改编）已知△AOB与△MON都是等腰直角三角形，且90°. （1）如图1，当点N恰好在AB边上时，且，，求ON的长； （2）如图2，当A、M、N在同一条直线上时，若，，求BN的长. 3. “正方形”之“旋转手拉手” 思路点拨 如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，连接BE、AD交于点O， 则有（1）一组全等三角形为：____________________________； （2）第三组对应边连线的夹角为__________°，即______________； （3）连结OC，则_________________________. 经典例题 例1. 将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形有CEFG如图摆放，点G恰好落在线段DE上，连结BE，则BE的长为________. 例2. 如图，点P为正方形内部一点，连结PA，PB，PC，若135°，且，，则_______. 类题精练 1.（南浦实验期中卷）如图，以△ABC的边AC，BC和AB为边恰好可以向上作正方形ACGF和正方形BCFH和正方形ABED，若△ABC的面积为3，则图中六边形AFHBED（阴影部分）的面积为_________. 2. 如图，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，且点B、G、E三点在同一条直线上，连结DE，若，正方形ABCD的边长为13，则正方形CEFG的边长为________. 3.（山西中考卷改编）如图，点E为正方形ABCD内一点，且，90°，以BE为边向右侧作正方形BEFG，使C、F、G在同一条直线上. 连结DE，若，则___________. 4.（山东滨州中考卷）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为5和2，正方形CEFG绕点C旋转，连结DE、BG，则__________. 5. 如图，E为正方形ABCD对角线AC上一点，以DE为边作正方形DEFG，使得点F恰好落在BC的延长线上，连结CG. 若，，则______，________. 6.（山东滨州中考卷）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为、、4，则正方形ABCD的面积为________. 4. “等腰三角形”之“旋转手拉手” 思路点拨 如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且，，连结BD、CE交于点O， 则有（1）一组全等三角形为：____________________________； （2）第三组对应边连线的夹角为__________°，即______________； （3）连结OC，则_________________________. 经典例题 例1.（温州实验中学期中卷）已知90°，，，若平面上存在点D，使得90°，当时，则_________. 类题精练 1.（温州实验中学期中卷）如图，已知△BOC是等腰三角形，120°，，△AOD是等边三角形，连结AB，CD，记△AOB和△DOC的面积分别为，，将△AOD绕点O旋转，使得30°，若，则_______. 2.（温州二中期中卷）如图，已知四边形ABCD中，45°，，，则的长为__________. 第7讲 《平行四边形之“对角线最值问题”》 思路点拨 对于平行四边形对角线长的最值问题，考查的是平行四边形_________________________的性质. 即，在变化的平行四边形中，通常对角线的交点位置不变，找到这个交点的位置，利用___________________________________的性质来进行解决问题. 经典例题 例1.（温州外国语学校期中卷）如图，在Rt△ABC中，90°，30°，，点E为边AB上一动点，过E作交的角平分线于点F. 以AF、CF为边作□AFCD. 当点E在线段AB上运动时，则DF的取值范围为_______. 类题精练 1. 如图，在△ABC中，45°，，为AB边上一点，以PA，PC为邻边向右侧做□PAQC，则对角线PQ长的最小值为________. 2.（温州实验中学期中卷）如图，在长方形ABCD中，对角线BD、AC交于点O，，，点P为线段AC上任意一点，连接BP，以PA、PB为邻边作□PAQB，连接PQ. 当PQ取最小值时，CP的值是为______________. 3.（外国语期中卷）菱形ABCD的面积为48，对角线BD为6，为锐角. 点M是对角线BD上一个动点（不与端点B、D重合），做□AMDN，则MN的最小值为______________. 4.（温州外国语学校期中卷）如图，在等腰Rt△ABC中，90°，，D在线段AC上运动（包括端点A，C），将线段BD绕着点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接AE，以AE，BE为邻边构造□AEBF，连接EF，在点D的运动过程中，线段EF的取值范围为______________. 第8讲 《平行四边形之“双平等腰”模型》 思路点拨 1. 在平行四边形及特殊的平行四边形中相关的______________问题或含有___________条件的问题中，通常都会出现“双平等腰”模型，可借助此模型找到线段的等量关系，从而为解题找到突破口. 经典例题 例1. 如图，在□ABCD中，，，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，若AE过BC的中点O，则AC=_________. 例2.（外国语学校期中卷）如图，在□ABCD中，60°，，AB=1，点O为□ABCD的对称中心，过点O的直线分别交边AD、BC于点E、F，把四边形ABFE沿EF对折（点A的对应点是点P，点B的对应点是点Q），PQ交边CD于点H. 当90°时，则AE的长为__________. 类题精练 1.（瑞安安阳实验期中卷）如图，在□ABCD中，的平分线交CB的延长线于点E，连结AE，已知，30°，则的长是______. 2.（绣山中学期中卷）如图，在□ABCD中，E为AD上一点，，连接BE，将△DCE沿CE翻折，点D的对应点F恰好落在线段BE上，连接CF，若105°，若△ABE的面积为，则_______. 3. 如图，将□ABCD沿EF折叠，使点A落在点C处，若60°，，，则的长为____________. 4.（外国语学校返校考）如图，在菱形ABCD中，AB=2，E、F分别是AB，BC的中点，将△CDF沿着DF折叠得到△，若恰好落在EF上，则_________. 5.（苍南县期中卷）如图，在□ABCD中，点E在BC上，AE平分，连结DE并延长与AB的延长线交于点F，过点A作于点G，且，若30°，则EF=_________. 6.（瑞安安阳实验期中卷）如图，在□ABCD中，60°，，，点E是AB边上的一点，且，F为射线DC上的一个动点，将四边形ADFE沿着直线EF对折，对折后的对应点为，A的对应点为，当F，，B三点在同一条直线上时，DF的长度为______. 第9讲 《平行四边形之“等积转化”》 思路点拨1 1. 蝶形面积的转化： 如图1，，则有______________；_____________，反之亦然. 2. 如图（2），在△ABC中，_________. 如图（3），在梯形ABCD中，，_________. 经典例题1 例1.（温州五校协作体期中卷）如图，点E，F分别是□ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若cm2，cm2，则阴影部分的面积为___________cm2. 例2.（温州五校协作体期中卷）如图，在□ABCD中，点E在BC上，AE平分，且，连接DE并延长与AB的延长线交于点F，连接CF，若△CEF的面积为，则__________. 类题精练1 1.（外国语学校期中卷）如图，在平面直角坐标系中有一个矩形AOBC，O为坐标原点，A在y轴正半轴上，B在x轴正半轴上，C点坐标为（3，2）以AC为边作□ACDE（DE在AC上方），对角线，延长DA交x轴于点F，则△AEF的面积是（　　） A.2 B. C.3 D. 2.（永嘉十校联考期中卷）如图在，在□AOEF中，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FC=4OC，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，（　　） A.6∶2∶1 B.3∶2∶1 C.6∶3∶2 D.4∶3∶2 3.（外国语学校期中卷）如图，过△ABC的顶点A作BC的平行线，点D为直线上一动点（不与点A重合），BD交边AC于点E，以BE、CE为边作□BECF. 使△ABE的面积为，△DEF的面积为，则的值为_________. 4.（温州期中模拟卷）如图，在□ABCD中，，120°，于F，连接DF交CB延长线于E，连接AE，则△AEF的面积为___________. 5.（温州市龙湾区期中卷）如图，在□ABCD中，，，且45°，P为AD上一点，BP与CD的延长线交于点H，连接AH，则△APH的面积为__________. 6.（八中期中卷）如图，在□ABCD中，点E在AC上，且AE=2EC，点F在AB上，且BF=2AF，若△BEF的面积为4，则□ABCD的面积为_________. 7.（温州五校协作体期中卷）如图，△ADC的面积为20，点H是AD边上一点，点B在线段CD的延长线上，且BC=5BD，四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积为________. 8.（二中期中卷）如图，等边△ABC边长为4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点，且，作□PQCR，则用含的代数式表示□PQCR的面积为________；当时，则=_______. 思路点拨2 2. 如图，在□ABCD中，E为AD为任意一点，则有____________. 经典例题2 例3. 如图，在□ABCD中，点F在线段CD上一动点，过点A作□BFGE，当点F从点C运动到点D的过程中，四边形BFGE的面积大小变化情况是（　　） A.保持不变 B.一直减小 C.一直增大 D先增大后减小 例4.（南清实验中学期中卷）如图，在□ABCD中，E、F是CD的两个三等分点，P是CD边上的动点，射线BP交AD的延长线于G，连接AP、CG，当P运动到点E时，若，当P运动到点F时，则（　　） A.5　　 B.10 C. D. 类题精练2 1.（温州实验中学期中卷）已知在□ABCD中，点E是边BC上的动点，以AE为边构造□AEFG，使点D在边FG上，当点E由B向C的运动过程中，则□AEFG面积变化情况是（　　） A.一直增大 B.保持不变 C.先增大后减小 D.先减小后增大 2. 如图，在□ABCD中，60°，，，E是BC的中点，P是AD上一动点，连结PE，PC，作△PEC边PC上的高线EF，当点P从点A到点D的运动过程中，高线EF的长度变化情况为（　　） A.始终不变 B.逐渐变长 C.先变长后变短 D先变短后变长 3.（外国语学校返校考）如图，四边形ABCD和四边形ACEF都是平行四边形，EF经过点D，若□ABCD的面积为，□ACEF的面积为，则与的大小关系为： ________.（填“>”、“=”或“<”） 4.（二中期中卷）如图，已知□ABCD中的面积为100，P为边CD上的任一点，E、F分别为线段AP，BP的中点，则图中阴影部分的总面积为________. 5. 如图，在□ABCD中，P是CD上一点，且AP，BP分别平分，. 若，，则□ABCD的面积为_________. 6.（绣山中学期中卷）《几何原本》中记载了如图的V形图，四边形ABCD，BCFE是平行四边形，A、D、E、F四点共线，边CD，BE相交于点P，连结AP，CE，已知□ABCD的面积为4，阴影部分面积是△ADP面积的3倍，则四边形ABCF的面积为_______. 思路点拨3 3. 在□ABCD中，P为内部任意一点，过P作，，如图1，若P在对角线BD上，则有_____________________； 如图2，若P在对角线AC上，则有_____________________. 经典例题 例5.（绣山中学期中卷）如图，在□ABCD中，点P是对角线AC上一点，过点P作，分别交AB和CD于点E、F，连结BP，DP，已知cm，cm，60°，则阴影部分的面积为________. 类题精练 1. 如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作，，且，，则S□ABCD=_________. 2.（鹿城实验期中卷）如图，在□ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点作，与AD与BC分别交于点E和点F，连结AP，CP. 已知，，60°，则阴影部分的面积为________. 3. 如图，在□ABCD中，点P是对角线BD上一点，过点P作，与AD和BC分别交于点E和点F，连结AP，CP，已知CF=8cm，PF=2cm，°，则阴影部分的面积为________. 第10讲 《平行四边形存在性问题之“矩形大法”》 思路点拨 如图（1）、（2），若四边形ABCD为平行四边形，过□ABCD的四个顶点框成一个大长方形（矩形），则有_____________________或___________________， 得_____________________或___________________. 课堂例题 例1. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过□ABCD的顶点C、D，若点A、B的坐标分别为（3，0），（0，4），点C的横坐标和纵坐标之和为7.5，则k的值为__________. 例2.（温州实验中学期中卷）如图1，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C是AB的中点. 动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动；当点P到达O时，点Q也停止运动. 以CP，CQ为邻边构造□CPDQ，设点P运动的时间为t秒. （1）点C的坐标为_____________________，直线AB的解析式为__________________. （2）当点Q运动至点B时，连接CD，求证：． （3）如图2，连接OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值. 类题精练 1.（广东深圳中考卷）在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，2），B（2，4），反比例函数的图象经过□OABC的顶点C，则k=________. 2.（温州二中中考模拟卷）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， □ABCD的顶点C、D在双曲线上，若C点的横坐标为1，则k的值为_________. 3.（江苏常州中考卷）如图，点D是OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，，135°，. 若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是_________. 4.（南浦实验中学单元卷）如图，在直角坐标系下，□ABCD边AD过O点，A、B、D三点都在反比例函数的图象上，C点在x轴的正半轴上，若□ABCD的面积为4，则k的值为________. 5.（温州市实验中学单元卷）如图，已知直线与坐标轴交于A点和B点，与反比例函数的图象交于点C，以AB为边向上作□ABED，其中点D恰好落在反比例函数图象上，连接CE，DE，若轴，四边形BCDE面积为10，则k的值为________. 6.（温州市实验中学单元卷）如图1，在△ABC中，90°，AB=8，BC=6，点P，点Q分别是射线AB，射线BC上的动点，且AP=BQ，点D是线段AC的中点. 连接DP，DQ，以DP，DQ为邻边构造□DPQE，设AP=m. （1）当m=2时，PD=_________； （2）如图2，当点Q运动至点C时，连结DE，求证：DE∥AP； （3）在点P的整个运动过程中. ①当□DPQE的面积恰好被射线AB或射线BC分成1∶3的两部分，求出所有满足条件的m的值； ②如图3，连结BD，若点Q关于BD的对称点恰好落在边QE上，则m的值为______. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，□ABCO的顶点C的坐标为（2，），顶点A在x轴上，，60°，动点P从点O出发，沿射线OC以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位的速度运动，它们同时出发，设运动时间为t. （1）________，_________； （2）当t为何值时，线段PQ恰好被AC平分？ （3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为__________________________（直接写出答案）. 8.（温州瑞安东部联盟期中卷）如图1，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，点C、P分别是线段OB，AB的中点，动点D，E分别在直线CP和线段AB上，设点E的横坐标为m，线段CD的长为n（n>0），且，以DO，DE为邻边作□ODEF. （1）求点A和点P的坐标． （2）当点F落在△AOB的边上时，求点F的坐标. （3）如图3，当点D在点C右侧，点E在线段AP上时，记点E关于点F的对称点为，连结交OF于点H，设△DHE的面积为，△的面积为，若的值等于9，求m的值. 第11讲 《平行四边形存在性问题之“公式法”》 思路点拨 平行四边形的存在性问题，从题目的条件来看，一般地，分为两种情况： （1）在预设的平行四边形中，已有两边的平行关系已确定； （2）在预设的平行四边形的四个顶点中，已有两个顶点的坐标已知，而另两个顶点在坐标轴或某函数图象（直线、双曲线或抛物线）上. 对于以上两种情形，一般地，可用以下思路来进行解决问题： ①对于第一种情形，只需利用已知平行的两边相等作为等量关系，列方程求解即可； ②对于第二种情形，则可运用平行四边形对角顶点坐标公式来求解，详情如下： 1. 位置确定： 如图，A、B、C分别为平面直角坐标系中不共线的三个定点，请在平面内找出另一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形. 通常这样的点存在_______个. 2. 中点坐标公式：若，，则AB中点坐标为________. 3. 若在平面内有存在四个点，，，， 且以这四个点为顶点的四边形为平行四边形， 则有平行四边形对角顶点坐标公式： 即：平行四边形对角线两端点的____________相等，____________相等. 课堂例题 例1.（永嘉十校联考期中卷）如图，在△ABC中，90°，45°，BC=10cm，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧. 点F从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2cm，连结PE，设点P的运动时间为t秒. （1）CE=____________；（用含有t的式子表示） （2）若，求BQ的长； （3）请问是否存在的值，使以A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 例2. 如图，在平面直角坐标系中，，，，在平面直角坐标系中找一点D，使得A、B、C、D组成的四边形是平行四边形，则满足条件的点D的坐标为_______________. 例3.（温州实验中学单元卷）如图在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点O在坐标原点，点C在x轴上，于点D，，，. （1）求顶点B的坐标； （2）直线经过定点D恰好平分□OABC的面积，求直线l的解析式； （3）在（2）的条件下，设M为直线l与边AB的交点，N为BC的中点，在x轴上取点P，在直线l上取点Q，如果以M，N，P，Q为顶点是平行四边形，求Q的坐标. 类题精练 1. 如图，在□ABCD中，，，60°，点P以每秒2个单位速度，从点B出发沿射线BA方向运动，同时直线l以每秒1个单位速度，从CD出发沿射线CB方向运动，分别交BC，AC于点G，H，连结PG，设运动时间为t，当G与B重合时，运动停止. （1）BC=_________，AC=___________； （2）当t为何值时，△BPG的面积为□ABCD面积的？ （3）在运动过程中，当t为何值时，以P，G、H、A为顶点的四边形是平行四边形. 2.（苍南县期中卷）如图，在□ABCD中，90°，45°，在射线CB上取一点E，使得. 当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E. 在线段QC上取点F，使得QF=2，连结PF，记. （1）①CF=____________.（用含x的式子表示） ②若，求BQ的长. （2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出x的值. （3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出x的值. 3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，点A（8，0），B（12，4），如图2，点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度匀速移动：同时△ABC以每秒个单位的速度沿射线CA的方向匀速平移到△DEF，连接PE，PF，AE，设移动的时间为t（秒）. （1）点C的坐标为__________，点F的坐标为__________； （2）是否存在t的值，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. （3）若在y轴上有一点Q，使得以点P，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形时，则点F的坐标为_______________________________.（请直接写出答案） 第12讲 《折叠及对称问题1》 思路点拨 1. 在对折类问题中，需要结合__________思想来解决，即，在对折后形成的________中运用_________________列方程求解问题；若对折后没有形成直角三角形，需要构造直角三角形来解决问题； 2. 在特殊的平行四边形的对折类问题中，除了充分利用对折形成的_________相等、_____相等以外，还需要注意在对折过程中会形成_____________模型. 这是转化线段等量关系的重要方式，是列方程求解问题的前提条件. 经典例题 例1. 在矩形ABCD中，AD=6，AB=5，点E是AB边上的一点，连接DE，把△ADE沿DE折叠，使点A落在点处，若时，求AE的长. 例2.（温州实验中学期中卷）如图，在□ABCD中，，E，F分别为CD，AB上的动点，，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H. 若E，G，H，F恰好在同一直线上，45°，且，则AB的长是__________. 类题精练 1.（四川甘孜州中考卷）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB=6cm，BC=10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边恰好经过点D，则线段DE=_______cm. 2.（瑞安期末卷）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E、F分别在边AD、BC上，以线段EF为折痕，将矩形ABCD折叠，使其点C与点A恰好重合并铺平，则线段GE=_______. 3. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，P为BC上一点，将△ABP沿着AP折叠得到△，若D、、P三点共线，则BP=________. 4. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点落在的角平分线上时，则点到BC的距离为_________. 5.（苍南期末卷）如图，在矩形ABCD中，AD=4，E、F分别为边AB、CD上一动点，AE=CF，分别以DE，BF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点A、C的对称点分别为P、Q. 若点P，Q，E，F恰好在同一直线上，且PQ=1，则EF的长为_______. 6.（四川内江中考卷）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF. 已知AB=3，BC=4，则EF的长为__________. 7.（温州新希望联盟期中卷）如图，将长方形ABCD分别沿BE，EG折叠，点A落在BC上的点F处，则D落在BE上的处点处. 若AB=8，恰好是BE的中点时，则CG=________. 8.（苍南县期中卷）如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=10，M为BC的中点，沿过点M的直线翻折，使点B落在边AD上，记折痕为MN，则折痕MN的长为_______. 9.（乐清十校联考期中卷）如图，在□ABCD中，60°，E是AD上一点，连接BE. 将△ABE沿BE对折得到△，当点恰好落在边AD上时，（图甲），当点恰好落在边CD上时，（图乙），则AB=_________. 10.（南浦实验期中卷）如图，在长方形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的一点，且BF=DE=1，将△ABF和△CDE分别沿AF，CE折叠得到△和△，且点F、、、E在同一条直线上，作E关于的对称点，当恰好落在边上时，四边形的面积为_________. 第13讲 《折叠及对称问题2——对称点落在线上的问题》 思路点拨 对于对折类问题中，对称点落在某条线（直线、射线、线段）上的情况，在对折前后所出现的所有等量关系中，抓住____________的等量关系，即在对折中含有___________的隐含条件. 但此类问题往往还隐藏了_______________或_____________条件，形成________模型，从而实现破解之道. 经典例题 例1.（温州实验中学期中卷）如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，且90°，点P是BC边上的一点（不与B、C两点重合）. 现将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，连结PQ交AC于点D，连结CQ. （1）求证：. （2）若BC=2，当△APD为等腰三角形时，求所有满足要求的BP的长. （3）如图2，点Q关于AC的对称点为，且恰好落在BC上，连结，若，则_______________.（直接写出答案） 类题精练 1.（绣山中学期中卷）如图，在△ABC中，，，D为AB的中点，连结CD，过点A作射线，P为射线AM上一动点. （1）求CD的长和△ACD的面积； （2）如图2，连结CP，DP，在点P的运动过程中，若△CDP为等腰三角形，求所有满足条件的AP的长. （3）如图3，连结BP交AC于点G，连结DG，作点A关于DG的对称点，当恰好落在△BCD的边上时，连结，则△的面积为_________（请直接写出答案）. 2.（瑞安市西部联盟期中卷）如图，在△ABC中，AB=24，AC=20，△ABC的面积为144，，点P为边AB上的动点（不与点A，B重合），过点P作交边AC于点Q，当点P到达点B时，点Q也停止运动. （1）求BD的长； （2）当点P运动到AD的中点时，求四边形CDPQ的面积； （3）连结DQ. ①当△ADQ为等腰三角形时，求AP的长； ②当点P关于直线DQ的对称点R落在△ACD的某一条边上时，求AQ的长. 3.（苍南县期末卷）如图，P是矩形ABCD边BC上一动点，△ABP沿AP翻折得△AEP，直线PE交线段AD于点F，以AP，PF为边构造□APFG. （1）当点E在矩形ABCD内部时， ①小聪通过画图探究，得到以下数据，根据题意，将表格补充完整. 10° 20° 40° 80° 70° 20° 40° ②写出与的数量关系，不必说明理由. （2）若，，，求所有符合条件的CP的长. （3）当点B关于AE的对称点恰好落在线段GF上，且不与点G重合时，求出此时的值. 4.（南浦实验中学期中卷）如图，在Rt△ABC中，90°，30°，4cm，D是BC边上一点，点P从C点出发，以2cm/s的速度沿射线CA方向运动，设运动时间为t(s). （1）AC=_________cm； （2）如图1，连结AD，若BD=1cm，当t为何值时，△APD是以AP为腰的等腰三角形； （3）如图2，作DP的延长线关于AC的对称射线交AB于点E，若，且，则PC的长为_________cm（直接写出答案）. 第14讲 《“将军饮马”模型求线段和最值问题》 思路点拨 常规型“将军饮马”问题，在此类情形中，根据动点个数的不同，有两小类情况，即“两定一动型”和“两动一定型”（或“两动两定型”） 以下为典型类“将军饮马”问题的几种情形： 类型 文字描述 作图 做法 将 军 “饮” 马 在直线l同侧有两个定点A、B，在直线l上找一点P，使得PA+PB最小 “两定一动”型 过其中一定点A，作关于直线l的对称点，连接与直线l的交点，即为所求点. 此时 将 军 “养” 马 在的内部或边上有一定点P，在的两边找两个点A、B，使得PA+PB最小 “两动一定”型1 1. 过定点P作OM的对称点 2. 过作于点，交于点，即为所求. 此时 在的内部有一定点P，在的两边找两个点A、B，使得最小 “两动一定”型3 1. 过点P作OM的对称点； 2. 过点P作ON的对称点； 3. 连接分别交OM、ON于A、B，即为所求点. 此时 在的内部有两个定点P、Q，在的两边找两个点A、B，使得四边形PABQ周长最小 “两动两定”型 1. 过点P作OM的对称点； 2. 过点Q作ON的对称点； 3. 连接分别交OM、ON于A、B，即为所求点. 此时 对照上述几种情形，在作图过程中，掌握以下方法即可： 1、两定一动型：①过____________做______________所在直线的对称点； ②连结_____________与_______________________； 利用了__________________________的原理来解决问题. 2、两动一定型：①过____________做______________所在直线的对称点； ②过____________做______________所在直线的_________； 利用了__________________________的原理来解决问题. 3. 在求三条（或多条）线段和的最小值问题中，一般也属于是“两动一定型”（或“两动两定型”），在作图过程中，分别过每一个__________做每一个_____________所在直线的_______，再连接两个_________即可，利用了_____________________的原理来解决问题. 经典例题 例1. 在矩形ABCD中，AB=2，BC=8，E为AC中点，F为BC上一动点，则AF+EF的最小值为___________. 例2. 如图，在锐角△ABC中，，45°，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN最小值是________. 例3. 如图，已知45°，点P在的内部，OP=3，E，F分别是OA，OB边上的动点，则△PEF周长的最小值是________. 类题精练 1.（安徽中考卷）如图，在矩形ABCD中，，，动点P满足，则动点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为__________. 2. 如图，在矩形ABCD中，，，E为CD中点，P为AB边上一动点（含端点），F为CP中点，则△CEF的周长最小值为_________. 3. 如图，在矩形ABCD中，，，现有长为3的小木棒EF紧贴着AD、DC边滑动（即EF的两个端点始终落在AD、DC边上），G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为__________. 4. 如图，正方形ABCD的边长是4，的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值___________. 5. 如图，在矩形ABCD中，，. 若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为_________. 6. 如图，在Rt△ABC中，90°，，，BD平分，若M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为_________. 7.（平阳县期末卷）如图，在菱形ABCD中，，135°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为_______. 8.（南浦实验月考卷）如图，已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A在x轴上，，点P是对角线OB上的一个动点，，当CP+DP最短时，点P的坐标为________. 9.（北外期中卷）如图，正方形ABCD的边长为2，以AD为边向内作等边△AED，点F是边CD的中点，若点P为线段BD上任意一点，连结PE，PF，则PE+PF的最小值为___________. 10.（绣山中学期中卷）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，垂足为D，已知BD=1，AD=CD=2，BC上方有一动点P，且点P到A，D两点的距离相等，则△BCP的周长最小值为____________. 11. 如图，点、都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当PA+PB最小时，点P的坐标为_________. 12. 如图，P是内任意一点，cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则的度数为________. 13.（福建中考真题卷）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长最小值为________. 14. 在五边形ABCDE中，120°，90°，，，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为__________. 15.（温州五校联考期中卷）如图，在□ABCD中，45°，，，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别是边BC、DC上的点，连接OE、OF、EF，则△OEF周长最小值是___________. 16. 如图，30°，点M、N分别在边OA，OB上，且，，点P、Q分别在边OB、OA上，则的最小值为_________. 第15讲 《正方形之“十字架”》 思路点拨 1. 正方形之“十字架”模型： 在正方形的对边分别取点并连结，所得两条线段：若垂直，则_____________. 经典例题 例1. ①如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且于点G. 求证：； ②如图2，在正方形ABCD中，若E，M，N分别是AD，AB，CD上的点，且于点G. 求证：； ③如图3，在正方形ABCD中，若E，F，M，N分别是AD，BC，AB，CD上的点，且于点G. 求证：； 例2. 如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使点A落在边CD上的点E，然后压平得折痕FG，若FG长为13cm，求CE的长. 类题精练 1. 如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，折痕为MN，点M在CD边上，则折痕MN的长为_______，线段CM的长为_________. 2.（天津中考卷）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使得点A落在AE上的G点，并使抓痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为_______. 3. 如图，在边长为16的正方形ABCD中，E为BC上一点，过E作交AB延长线于F，交CD于G，若CG=3，BF=9，则AE=_______. 4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，抓痕为GH. 若BE=2EC，则线段GH的长为________. 5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB，CD上两点，过F作交BC于G，交AD的延长于点H，若EF=5，则GH=___________. 6.（南浦实验月考卷）如图，在正方形ABCD中，，点E、F、G分别为AB、BC、CD上一点，于H，，连结EF. 若，求CF的长为_______. 7.（2018的年南浦实验期中卷）如图，已知正方形ABCD，点E在边CD上，DE=2，CE=3，将△ADE沿AE对折△AFE，延长EF交边BC于点G，连接BF并延长交边CD于点H，则△BFG与△ADE的面积差为_________. 第16讲 《正方形之“角含半角”》 思路点拨 1. 正方形之“角含半角”模型（一）： 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且45°，则有________. 2. 正方形之“角含半角”模型（二）： 如图，在等腰Rt△ABC中，90°，点E，F均在BC上，且45°，则有____________________________.（用两种方法证明） 经典例题 例1. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若，且45°，则CF的长为___________. 例2. 如图，在等腰Rt△ABC中，90°，点E，F均在BC上，且45°，若，，则CF=___________. 类题精练 1. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别为边AD，BC上的点，，点G，H分别为AB，CD边上的点，连接GH，若线段GH与EF的夹角中锐角为45°，则GH的长为__________. 2. 如图，在平面直角坐标系中，，，在y轴正半轴上找一点P，使得45°，则点P的坐标为__________. 3. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，，且45°，则正方形的边长为__________. 4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且45°，AE、AF分别交BD于点G、H，若，，则正方形的边长为__________. 5. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上的点，若，CE与AF的夹角中的锐角为45°，则CE的长为_________. 6.（山东滨州中考卷）如图，在矩形ABCD中，，，点E，F分别在BC，CD上，若，45°，则AF=________. 第17讲 《正方形之“赵爽弦图”》 思路点拨 1. 通常情况下，在图形中，存在倾斜放置的正方形时，均可按如图（1）或图（2）的方式构造“赵爽弦图”（或K字型全等）的基本图形，从而转化直角边长. （1）如图1，在正方形ABCD中，构造相关图形，则有________≌________≌________≌________；________=________=________=________. （2）如图2，在正方形ABCD中，构造相关图形，则有________≌________≌________≌________；________=________=________=________. 经典例题 例1. 如图，正方形DEFG，GHIJ，FJKL内接于等腰Rt△ABC，其中90°，若，则阴影部分的面积和为__________. 类题精练 1.（平阳县期末卷）如图1，四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是小正方形，这个图形是我们汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在弦图中（如图2），连结AF，DE，并延长DE交AF于点K，连结KG，若，则KG的长为________. 2.（瑞安市期末卷）如图，在△ABC中，90°，以△ABC和各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE. 延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连结DH，IJ. 图中两块阴影部分面积分别记为，，若，，则四边形MBNJ的面积__________. 3.（市南浦百题卷）如图，在△ABC中，，以△ABC的各边为边作三个正方形，点E落在FH上，点I落在ED的延长线上，若图中两块阴影部分面积的差是30，则AB的长是_________. 4.（南浦实验期中卷）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理. 如图，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使E，F，G三点在一条直线上. 若，四边形CBFK与△DEL面积之和为13.5，则正方形BEJC的面积为_______. 5.（瑞安二模卷）清代著名数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）. 设四个全等直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，五边形BCDEF的面积为，△FGH的面积为. 若，，则的值为_________. 6.（温州市外国语期中卷）如图，在△ABC中，90°，以△ABC的各边作三个正方形，过点H作交ED于点J，连接HE，延长HE交FC于点K，若K为FC中点，且，则AB的长为________. 7.（乐清市一模卷）由四个正方形相框拼成的照片墙如图所示. 已知，正方形ABCD、正方形DEFG、正方形BIJK的面积分别为4平方分米、4平方分米、16平方分米，则正方形AGHI的面积为_________平方分米. 8.（龙湾区一模卷）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股证明，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）. 现分别在DG，BE上取点N，M（如图2），使得，连接AM，CM，AN，CN. 记△AND的面积为，△AMB的面积为. 若正方形ABCD的面积为，且，则的值为_________. $$