精品解析：江苏省南通市田家炳中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷

南通田家炳中学2022~2023学年度第一次月考 八年级数学 一、单选题（每题3分，共10小题） 1. 北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可 【详解】A,B,C都不是轴对称图形，故不符合题意； D是轴对称图形， 故选D. 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 3. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形中两个底角相等，此题中一个角是，有可能是顶角，也有可能是底角，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形两个底角相等， 设给定角为． 若为顶角，则底角度数为． 若为底角，则底角度数为． ∴ 底角为或． 故选：D． 4. 下列说法： ①全等三角形的形状相同、大小相等 ②全等三角形的对应边相等、对应角相等 ③面积相等的两个三角形全等 ④全等三角形的周长相等 其中正确的说法为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形可得答案． 【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，原说法正确； ②全等三角形的对应边相等、对应角相等，原说法正确； ③面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误； ④全等三角形的周长相等，原说法正确； 故答案选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 5. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 【答案】D 【解析】 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 6. 如图，在中，平分，交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，利用三角形面积求出的长，再根据角平分线性质得出即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 在中，平分，， ， 故选：A． 7. 如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（ ） A. a＋b﹣c B. b＋c﹣a C. a＋c﹣b D. a﹣b 【答案】B 【解析】 【分析】根据AAS证明△ABF≌△CDE，可得BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，根据EF＝AF﹣AE，即可求解． 【详解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°， ∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c， ∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b， ∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 8. 如图，等边中，，点在边上，，，垂足分别为、，设，若用含的式子表示的长，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质可得AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ∴∠BPD=90°-∠B=30°，∠CDE=90°-∠C=30° ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 9. 如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.则图中与成轴对称的格点三角形有( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】符合题意的三角形如图所示： 满足要求的图形有6个 故选：C 【点睛】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义． 10. 如图，在中，，是的角平分线，点在上，过点作于点，延长至，使，连接交于点，平分，交的延长线于点，连接，，，若．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】过点P分别作的垂线，根据角平分线的性质定理可知，，易证，推出．设，由外角的性质可得，，所以；故①正确；由外角的性质可得，由三角形内角和可得，，所以，即；故②不正确；在射线上截取，延长到点L，使得，连接，易证，所以，易证，所以，所以，由外角的性质可知，，所以，故③正确；因为，，且，所以．故④正确． 【详解】解：过点P分别作的垂线，垂足分别为I，M，N， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 对于，， ∴， 对于，， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即；故②不正确； 在射线上截取，延长到点L，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴．故④正确． 综上，①③④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形外角的性质定理，作出辅助线，构造全等是解题关键． 二、填空题（11~12小题每题3分，13~18小题每题4分，共30分） 11. 如图，，，，则______． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】先根据三角形内角和求出∠A的度数，然后根据全等三角形的对应角相等求解即可 【详解】解：∵，， ∴∠A=180°-80°-30°=70°， ∵， ∴∠D=∠A=70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键． 12. 如图，已知中，，垂直平分，连接，则的度数是_______°． 【答案】20 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得到，则，． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确求出的度数是解题的关键． 13. 如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值． 【详解】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点， ∵点C在第一象限， ∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即3a=-a+8， 得a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键． 14. 如图，∠AOB＝30º，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是___________ 【答案】10 【解析】 【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解． 【详解】设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将 PM延长一倍到E，即ME=PM． 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN． 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形． ∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP， ∴△PQR的周长=EF． ∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°， ∴△EOF是正三角形，∴EF=10， 即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10． 故答案为10． 【点睛】此题考查最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答． 15. 如图，已知，，则五边形的面积为______. 【答案】4 【解析】 【分析】延长DE到F，使EF=BC，连接AC、AD、AF，利用SAS可得△ABC≌△AEF，即可得到AC=AF，根据CD=BC+DE可得CD=DF，利用SSS可证明△ACD≌△AFD，根据S五边形ABCDE=S△ABC+S四边形AEDC=2S△AFD即可得答案. 【详解】如图，延长DE到F，使EF=BC，连接AC、AD、AF， ∵AB=AE，∠ABC=∠AEF=90°，EF=BC， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴AC=AF，S△ABC=S△AEF， ∵BC=EF， ∴BC+DE=EF+DE=DF， ∵BC+DE=CD， ∴CD=DF， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD， ∴S五边形ABCDE=S△ABC+S四边形AEDC = S△AEF+S四边形AEDC =2S△AFD =2××DF×AE=×2×2×2 =4 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.熟练掌握全等三角形的判定方法并正确作出辅助线是解题关键. 16. 平面直角坐标系中，已知、．若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由点A、B的坐标可得到，然后分类讨论：若；若；若，确定C点的个数． 【详解】解：∵、， ∴． ①若，以A为圆心，为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即、、， ∵点与直线共线， ∴满足是等腰三角形的C点有1个； ②若，以B为圆心，为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足是等腰三角形的C点有2个； ③若，作的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足是等腰三角形的C点有2个； 综上所述：点C在坐标轴上，是等腰三角形，符合条件的点C共有5个． 故答案为∶5． 【点睛】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上． 17. 若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程，求得m，根据构成三角形的条件判断即可． 【详解】 ①-②得：y=3-m 把y=3-m代入②，得x=3m-3 故方程组的解为 若x为腰，y为底，则2x+y=7 即2(3m-3)+3-m=7 解得：m=2 此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件 若y为腰，x为底，则2y+x=7 即2(3-m)+3m-3=7 解得：m=4 此时x=9，y=-1，不合题意 若x=y，即3m-3=3-m 解得： 此时腰为，底为 但+<4，不符合构成三角形的条件 故不合题意 所以满足条件的m为2 故答案为：2 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点A为线段CE上一动点，以AO为斜边作等腰直角（点A、O、B以顺时针排列），点D在射线BO上，若以点D，C，O构成的三角形和全等，则__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】由点的坐标得出，则，分两种情况画出图形，若，若，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：∵点，， ∴， ∴， ①如图1，若，此时点A与点E重合， ∴； ②如图2，若， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综合以上可得或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共90分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标： ； ； ； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）；； （3）4 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点、，关于y轴的对称点、、， ∴，，． 故答案为：；；． 【小问3详解】 解：的面积为． 20. 已知：如图，，，，，是垂足，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：，， 在和中， ，， ， ； （2） 由（1）中， 可得， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题； （1）由可得，进而得出对应线段、对应角相等，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，根据内错角相等两直线平行，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE． （1）如果∠BAC＝100°，则∠B＝　 　°； （2）求证：BD＝CE． 【答案】（1）40； （2）证明：如图，过点A作AP⊥BC于P． ∵AB＝AC， ∴BP＝PC； ∵AD＝AE， ∴DP＝PE， ∴BP﹣DP＝PC﹣PE， ∴BD＝CE． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解； （2）过点A作AP⊥BC于P，利用等腰三角形三线合一即可求解． 【详解】（1）∵AB＝AC， ∴∠B=∠C ∴∠B＝=40° 故答案为：40 ； （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质． 22. △ABC中，AD平分∠BAC， （1）求证S△ABD：S△ADC＝AB：AC （2）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，求DC的长． 【答案】 （1）证明：如图，过D作 ， ∵AD平分， ∴， ∴ ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）过D作 ，根据角平分线的性质定理，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求证； （2）过点A作AE⊥BC于点E，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 23. 如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1） 证明：过点作，交于点，如图所示： 在等边中，， ， ，，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，可得是等边三角形，易证，即可得证； （2）根据等边三角形的性质可知，根据全等三角形的性质可知，即可表示出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形，且， ， ， ， ， ，， ． 24. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90； （2）①，理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【解析】 【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）①略 ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 25. 我们定义：若一条线段将三角形分割成2个等腰三角形，则这条线段是这个三角形的“黄金线”．若两条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，则这两条线段是这个三角形的“钻石线”．例如：如图1，在中，，，过点作，和都是等腰三角形，则线段是的“黄金线”．延长至点，使，连接，两条线段、将分割成3个等腰三角形，则这两条线段、是的“钻石线”． （1）如图2，已知锐角中，，，若存在线段是的“黄金线”，则其中钝角等腰三角形的顶角是________； （2）如图3，已知中，，，点是的中点，过点作，交的延长线于点，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“钻石线”； （3）若一个等腰三角形有“黄金线”，则这个等腰三角形的底角度数是_______． 【答案】（1）130 （2） 证明：如图3中， ∵∠ACB=90°，AO=OB， ∴OC=OA=OB， ∴△AOC是等腰三角形， ∵∠BCD=40°， ∴∠ACD=90°+40°=130°， ∴∠D=180°-130°-30°=20°， ∵点E在OD的垂直平分线上， ∴ED=EO， ∴∠D=∠EOD=20°， ∴∠OEC=∠D+∠EOD=40°， ∵∠OCA=∠A=30°， ∴∠OCB=90°-30°=60°， ∴∠ECO=60°+40°=100°， ∴∠COE=180°-100°-40°=40°， ∴∠OCE=∠CEO=40°， ∴CO=CE， ∴△CEO，△OED都是等腰三角形， ∴线段CO、OE是△ACD的“钻石线”； （3）36°、45°、72°、（）° 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）证明△AOC，△OCE，△CED都是等腰三角形即可； （3）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【小问1详解】 如图2中， ∵BD是“黄金线”， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠DBA=25°， ∴∠CDB=∠A+∠DBA=50°， ∵∠ABC=75°， ∴∠CBD=75°-25°=50°， ∴∠CDB=∠CBD=50°， ∴△ADB，△CDB都是等腰三角形， ∴∠ADB=180°-25°-25°=130°， 故答案为：130； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图5， 当AD=BD，BD=BC时， 设∠A=x°，则∠ABD=x°， ∴∠BDC=∠C=2x°， ∴∠ABC=∠C=2x°， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x°+2x°+2x°=180°， ∴x=36°，2x=72°， ∴∠C=72°， ②设△ABC是以AB、AC为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图6， 当AB=BD，AD=CD时， 设∠B=y°，则∠C=y°， ∵AD=CD， ∴∠DAC=∠C=y°， ∴∠ADB=2y°， ∵AB=BD， ∴∠BAD=∠ADB=2y°， ∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°， ∴y°+2y°+2y°=180°， ∴y=36°， ∴∠B=∠C=36°， ③设△ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”，如图7， 当AB=BD，AD=CD时，AD为BC的垂直平分线， 设∠B=z°，则∠C=z°，∠BAD=z°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∴z°+z°=90°， ∴z=45°， ∴∠B=∠C=45°， ④设顶角为x， 可得，x+3x+3x=180° 解得：x=（）°， ∴∠C=3x=（）°， 故答案为：36°、45°、72°、（）°． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“黄金线”，“钻石线”的定义，属于中考创新题型． 26. 已知：点，，，且、满足． （1）直接写出的形状； （2）如图1，过点作射线（射线与边有交点），过点作于点，过点作于点，过点作的垂线交轴于点． ①求证：； ②求点的坐标； （3）如图2，点，为轴正半轴上的两点（在的上方），点在的延长线上，且满足，的延长线交轴于点，的角平分线交线段于点，若，，求线段长度． 【答案】（1）是等腰直角三角形 （2）①见详解；②点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）由非负性可求，可得，进而可求，可得，可得结论； （2）①由“”可证，可得；②由全等三角形的性质可得，进而可得，由“”可证，可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，可得结论． 【小问1详解】 解：∵． ， ， 又， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：①， ， ， ， 又， ， ； ②， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，则， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图2，在上截取， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ∵， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形，绝对值的非负性，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通田家炳中学2022~2023学年度第一次月考 八年级数学 一、单选题（每题3分，共10小题） 1. 北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 下列说法： ①全等三角形的形状相同、大小相等 ②全等三角形的对应边相等、对应角相等 ③面积相等的两个三角形全等 ④全等三角形的周长相等 其中正确的说法为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 5. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 6. 如图，在中，平分，交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（ ） A. a＋b﹣c B. b＋c﹣a C. a＋c﹣b D. a﹣b 8. 如图，等边中，，点在边上，，，垂足分别为、，设，若用含的式子表示的长，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.则图中与成轴对称的格点三角形有( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在中，，是的角平分线，点在上，过点作于点，延长至，使，连接交于点，平分，交的延长线于点，连接，，，若．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ①③④ 二、填空题（11~12小题每题3分，13~18小题每题4分，共30分） 11. 如图，，，，则______． 12. 如图，已知中，，垂直平分，连接，则的度数是_______°． 13. 如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____． 14. 如图，∠AOB＝30º，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是___________ 15. 如图，已知，，则五边形的面积为______. 16. 平面直角坐标系中，已知、．若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是__________． 17. 若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点A为线段CE上一动点，以AO为斜边作等腰直角（点A、O、B以顺时针排列），点D在射线BO上，若以点D，C，O构成的三角形和全等，则__________． 三、解答题（共8小题，共90分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标： ； ； ； （3）求的面积． 20. 已知：如图，，，，，是垂足，．求证： （1）； （2）． 21. 如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE． （1）如果∠BAC＝100°，则∠B＝　 　°； （2）求证：BD＝CE． 22. △ABC中，AD平分∠BAC， （1）求证S△ABD：S△ADC＝AB：AC （2）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，求DC的长． 23. 如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长．（结果用含的代数式表示） 24. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 25. 我们定义：若一条线段将三角形分割成2个等腰三角形，则这条线段是这个三角形的“黄金线”．若两条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，则这两条线段是这个三角形的“钻石线”．例如：如图1，在中，，，过点作，和都是等腰三角形，则线段是的“黄金线”．延长至点，使，连接，两条线段、将分割成3个等腰三角形，则这两条线段、是的“钻石线”． （1）如图2，已知锐角中，，，若存在线段是的“黄金线”，则其中钝角等腰三角形的顶角是________； （2）如图3，已知中，，，点是的中点，过点作，交的延长线于点，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“钻石线”； （3）若一个等腰三角形有“黄金线”，则这个等腰三角形的底角度数是_______． 26. 已知：点，，，且、满足． （1）直接写出的形状； （2）如图1，过点作射线（射线与边有交点），过点作于点，过点作于点，过点作的垂线交轴于点． ①求证：； ②求点的坐标； （3）如图2，点，为轴正半轴上的两点（在的上方），点在的延长线上，且满足，的延长线交轴于点，的角平分线交线段于点，若，，求线段长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $