课时梯级训练(46) 古典概型及其应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(46)　古典概型及其应用 1．下列有关古典概型的说法中，错误的是(　　) A．试验的样本空间的样本点总数有限 B．每个事件出现的可能性相等 C．每个样本点出现的可能性相等 D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝ B　解析：由古典概型的概念可知，试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A，C正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选B. 2．下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 C　解析：A项中由于点数之和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是古典概型．故选C. 3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(　　) A．0.32 B．0.45 C．0.67 D．0.77 A　解析：∵口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个， 从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23， ∴口袋中有100－45－0.23×100＝32(个)黑球，∴摸出黑球的概率p＝＝0.32.故选A. 4．某运动会期间，从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是(　　) A． B． C． D． C　解析：记来自A大学的2名志愿者为a，b，来自B大学的4名志愿者为c，d，e，f，则从这6人中随机抽取2人的所有情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种， 其中至少有一名A大学志愿者的情况有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共9种， 所以至少有一名A大学志愿者的概率p＝＝. 5．(2024·铁岭高一期中)流感爆发期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从A，B，C，D，E，F六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到E社区宣传的概率为(　　) A． B． C． D． D　解析：从A，B，C，D，E，F六个社区中，随机选择两个社区，有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种结果， 其中该小组到E社区宣传的结果有AE，BE，CE，DE，EF，共5种， ∴该小组到E社区宣传的概率p＝＝. 6．(2024·南宁高一月考)某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每1 000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是________． 答案：　解析：∵每张奖券被抽中的可能性相同， ∴只抽1张奖券共有1 000种等可能的结果，其中中奖有5＋15＝20(种)等可能的结果， ∴只抽1张奖券恰好中奖的概率p＝＝. 7．(2024·武汉高一月考)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记第一次得到的点数为x，第二次得到的点数为y，则log3(x＋y)≥2的概率为________． 答案：　解析：由题意，将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，样本点共有6×6＝36(个)， 又由log3(x＋y)≥2，可得x＋y≥9，其所对应的样本点有(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共10个， 故所求概率p＝＝. 8．在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式做比较．在试制某种洗涤剂时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为1，2，3，4，5，6的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于6的概率． 解：设试验中先取出x，再取出y(x，y＝1，2，3，4，5，6)，试验结果记为(x，y)，则样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，共有30个样本点，事件ξ的样本点为(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)，故P(ξ)＝＝. 9．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查． (1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数； (2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率． 解：(1)因为共抽取6人，又21∶14∶7＝3∶2∶1，所以应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3，2，1. (2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3，2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15. 设事件B表示“抽取的2名教师均为初级教师”，事件B包含的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个． 所以P(B)＝＝. 10．一个三位数，它的个、十、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{5，6，7，8}中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：从集合{5，6，7，8}中取出3个不同的数组成一个三位数，共有24个样本点：567，576，657，675，756，765，568，586，658，685，856，865，578，587，758，785，857，875，678，687，768，786，867，876，其中是“凸数”的是576，675，586，685，587，785，687，786，共8个样本点，∴这个三位数是“凸数”的概率为＝.故选B. 11．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　) A． B． C． D． D　解析：从五位学生中选三人的样本点有甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，共10个，“甲或乙被录用”的样本点有9个，根据古典概型的概率公式，可得甲或乙被录用的概率p＝. 12．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 答案：　解析：甲、乙等5名同学分别标记为a1，a2，a3，a4，a5，其中甲标记为a1，乙标记为a2.从中随机选3名参加社区服务工作的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，{a2，a3，a4}，{a2，a3，a5}，{a3，a4，a5}，{a1，a3，a4}，{a1，a3，a5}，{a2，a4，a5}，{a1，a4，a5}，共计10种．甲、乙都入选的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，共计3种，故所求概率p＝. 13．设m，n分别是先后抛掷一枚质地均匀的骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为________． 答案：　解析：先后两次出现的点数中有5的样本点有(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共11个，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的样本点有(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共7个．故所求事件的概率p＝. 14．(2024·广州高一期末)在一个盒子中有5个大小质地完全相同的球，其中蓝球、红球各2个，黄球1个，从中随机摸出2个球． (1)若摸出第1个球，记下颜色后放回盒中，再摸一次，求恰好摸到一个红球的概率； (2)若采用无放回简单随机抽样，求取出的球颜色相同的概率． 解：(1)记2个蓝球分别为a，b，2个红球分别为c，d，黄球为e， 若摸出1个球记下颜色后放回，则列表如下， 2 1 a b c d e a ╳ ╳ √ √ ╳ b ╳ ╳ √ √ ╳ c √ √ ╳ ╳ √ d √ √ ╳ ╳ √ e ╳ ╳ √ √ ╳ 则由表格可知，共有25个样本点，恰好摸到一个红球的有12个样本点， 所以恰好摸到一个红球的概率为P1＝. (2)若采用无放回简单随机抽样， 则有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个样本点， 取出的球颜色相同的有(a，b)，(c，d)，共2个样本点， 所以取出的球颜色相同的概率p2＝＝. 15．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0，1，2，3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1，4]内，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶． (1)求每对亲子获得飞机玩具的概率； (2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由． 解：样本空间Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，共16个样本点． (1)记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有(2，3)，(3，2)，(3，3)，共3个， 故每对亲子获得飞机玩具的概率P(A)＝. (2)记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C. 事件B包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个， 所以P(B)＝＝， 事件C包含的样本点有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，共7个， 所以P(C)＝. 所以P(B)<P(C)，即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$