第2章 3 第1课时 函数的单调性（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　函数的单调性和最值 第1课时　函数的单调性 [对应学生用书P48] 学习目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性． 2．理解单调性的作用和实际意义． 知识点一　增函数、减函数的概念 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他依据调查数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，记忆量y是时间间隔t的函数． 　 该图象反应函数的哪些性质呢？ 设函数y＝f(x)的定义域是D，I是定义域D上的一个区间： (1)如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递增．如果函数y＝f(x)在定义域D上单调递增时，那么就称函数y＝f(x)是增函数． (2)如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．如果函数y＝f(x)在定义域D上单调递减时，那么就称函数y＝f(x)是减函数． (1)“函数的单调性”是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域的一个子集． (2)“x1，x2”的三个特征：①同区间性；②任意值；③有序性． [例1] 利用单调性的定义证明函数f(x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． 证明：设x1，x2∈(0，1)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)＝x1－x2＋－＝x1－x2＋＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)·.因为x1，x2∈(0，1)，且x1<x2，所以x1－x2<0，0<x1x2<1，所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． 证明函数单调性的步骤 [练1] 利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上单调递减． 证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为－1<x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0，所以>0，即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).所以y＝在区间(－1，＋∞)上单调递减． 知识点二　函数的单调性与单调区间 前面学习了函数在某区间上是单调递增或单调递减，说明该函数在该区间上具有什么性质，这个性质有什么作用呢？ 单调性、单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间． (1)函数在某个区间上是单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定是增(减)函数．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． (2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞). [例2] 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R. (1)画出函数f(x)的图象； (2)根据图象写出它的单调区间． 解：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝ 图象如图所示： (2)由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－2，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2]和[0，2]. 求函数单调区间的两种方法 (1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； (2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． [练2] (1)(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 (2)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) (1)ABD　(2)B　解析：(1)若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“∪”连接．故选ABD. (2)易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的抛物线，其对称轴为直线x＝1，所以其单调递减区间是(1，＋∞).故选B. 知识点三　函数单调性的应用 [例3] (1)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是 ． (2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b.若函数f(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围． (1)(，4]　解析：依题意，得不等式组解得<x≤4. (2)解：易知函数f(x)的对称轴方程为x＝－，要使函数f(x)在区间[1，2]上不单调，则1＜－＜2，解得－ka＜－2，故实数a的取值范围为(－4，－2). 1．利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)比较函数值大小时，要将对应的自变量转化到函数的同一个单调区间上； (2)在求解不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为相应具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围． [练3] (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是 ． (2)若函数y＝f(x)的定义域为R，且为减函数，f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围是 ． 答案：(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，) 解析：(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图象开口向下，要使f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]. (2)由减函数定义得1－a>2a－1, 解得a<. 1．知识清单 (1)函数单调性的定义及判断； (2)函数的单调区间及求法； (3)函数单调性的应用． 2．方法归纳：作差法、配方法、因式分解、数学运算． 3．常见误区：函数在两个不同的区间上为单调递增(减)，则它在这两个区间的并集上不一定为单调递增(减). ◎随堂演练 1．下列函数中，在R上是增函数的是(　　) A．y＝|x| B．y＝x C．y＝x2 D．y＝ B　解析：根据题意，依次分析选项，对于A，y＝|x|＝在R上不是增函数，不符合题意；对于B，y＝x是正比例函数，在R上是增函数，符合题意；对于C，y＝x2是二次函数，在R上不是增函数，不符合题意；对于D，y＝是反比例函数，在R上不是增函数，不符合题意．故选B. 2．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　) A．f(3)<f(5) B．f(3)≤f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5) C　解析：因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5).故选C. 3．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在区间(a，b)上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先单调递减再单调递增 D．先单调递增再单调递减 B　解析：若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则或即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2).不论哪种情况，都说明f(x)在区间(a，b)上单调递减．故选B. 4．如图所示是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是 ，在区间 上单调递增． 答案：[－2，1]和[3，5]　[－5，－2]和[1，3] 解析：观察题中图象可知单调递增区间为[－5，－2]和[1，3]，单调递减区间为[－2，1]和[3，5]. 学科网（北京）股份有限公司 $$