第2章 2.2 函数的表示法（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

2.2　函数的表示法 [对应学生用书P46] 学习目标 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择合适的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识点一　函数的表示方法 在初中，我们就知道，函数的表示方法通常有解析法、列表法和图象法．它们具体是怎样表示函数的？ 1. 2．取整函数：设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，于是我们把y＝[x]叫做取整函数． (1)并不是所有的函数都能用解析式表示； (2)图象法也不适用于所有函数，如狄利克雷函数：D(x)＝ (3)列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． [例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(单位：台)与收款数y(单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解：(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 6 9 12 15 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 21 24 27 30 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念； (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数； (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． [练1] 已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t＝ax＋(a∈R，b∈R).当x＝2时，t＝100，当x＝4时，t＝53，且参加此项任务的人数不能超过8. (1)写出t关于x的函数解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出此函数的图象． 解：(1)由题意，可得解得所以t＝x＋.又x≤8，x为正整数，所以此函数的定义域是{x|0<x≤8，x∈N＋}．故此函数的解析式是t＝x＋(0<x≤8，x∈N＋). (2)由(1)知x＝1，2，3，4，5，6，7，8， t与x的对应关系列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 t 197 100 53 35 (3)此函数的图象如图所示： 知识点二　函数的图象的作法及应用 [例2] (1)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　) (2)作出函数f(x)＝|x2－4x－5|在区间[－2，6]上的图象． (1)C　解析：函数f(x)＝|x|sgn x＝故函数f(x)＝|x|sgn x的图象为y＝x所在的直线．故选C. (2)解：先作出二次函数y＝x2－4x－5的图象，再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，保留x轴上及其上方的部分，截取在区间[－2，6]上的部分，如图所示． 画函数图象的两种常见方法 (1)描点法： ①列表——找出有代表性的一些自变量x，并计算出与之相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——取表中的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． [练2] 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： (1)y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]； (2)y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]. 解：(1)作出函数y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]的图象，如图①所示，由图象可知值域为(－∞，－4]∪[，＋∞). (2)作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图②所示，由图象可知值域为[－3，1]. 知识点三　函数解析式的求法 [例3] (1)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (3)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x). 解：(1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1， ∴f(x)＝2x－1. (2)方法一(换元法)　令t＝＋1， 则x＝(t－1)2，t≥1， ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， ∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二(配凑法)　f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.∵＋1≥1， ∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). (3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， ∴∴ ∴f(x)＝x2－2x－1. 1．已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)的两种方法 (1)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． (2)换元法：即令t＝g(x)(注意t的范围)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式． 2．已知函数的类型求解析式的方法 (1)设出f(x)的解析式； (2)根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数； (3)求出函数解析式． [练3] (1)已知f()＝x，则f(x)＝(　　) A． B． C． D． (2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 ． (1)B　(2)f(x)＝　解析：(1)令＝t，则x＝，故f(t)＝，即f(x)＝.故选B. (2)由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的．当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式， 得解得 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1. 所以f(x)的解析式为f(x)＝ 1．知识清单 (1)函数的三种表示方法； (2)函数图象的作法及其应用； (3)函数解析式的求法． 2．方法归纳：数形结合思想、方程思想． 3．常见误区：换元法求函数的解析式一定要注意新元的取值范围． ◎随堂演练 1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　) x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．不存在 C　解析：∵当2<x≤4时，f(x)＝3， ∴f(3)＝3.故选C. 2．若f(x)＝则f(f(－2))＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　解析：∵－2<0，∴f(－2)＝－(－2)＝2， 又2>0，∴f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.故选C. 3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则函数f(x)的解析式是 ． 答案：f(x)＝3x＋2　解析：方法一　令2x＋1＝t，则x＝. 所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2， 所以f(x)＝3x＋2. 方法二　因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2， 所以f(x)＝3x＋2. 4．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为 ． 答案：5　解析：将(5，4)代入f(x)＝x－， 得m＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $$