第1章 4.3 一元二次不等式的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

4.3　一元二次不等式的应用 [对应学生用书P35] 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义； 2．能够构建一元二次函数模型，解决实际问题． 角度1：简单的分式不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)＜0；(2)≥0；(3)＞1. 解：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0， ∴－1＜x＜， 故原不等式的解集为{x|－1＜x＜}． (2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－＜x≤1. 故原不等式的解集为{x|－＜x≤1}． (3)原不等式可化为－1＞0， ∴＞0，∴＞0，则x＜－2. 故原不等式的解集为{x|x＜－2}． 简单的分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零； (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． [练1] (1)不等式≥1的解集是(　　) A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x<2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥} (2)若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　) A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1<x<2} C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－1<x<2} (1)B　(2)C　解析：(1)不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为解得≤x<2，则原不等式的解集为{x|≤x<2}．故选B. (2)∵x＝1为ax－b＝0的根， ∴a－b＝0，即a＝b， ∵ax－b>0的解集为{x|x>1}， ∴a>0，故＝>0， 等价为(x＋1)(x－2)>0. ∴x>2或x<－1. ∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜－1}．故选C. 角度2：不等式恒成立问题 [例2] 若不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－2＜a≤2} B．{a|－2＜a＜2} C．{a|a≠2} D．{a|a≤2} A　解析：不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x，可化为(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0. 当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意； 当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需解得－2＜a＜2.综上所述，－2＜a≤2.故选A. 一元二次不等式在R上的恒成立问题的解题思路 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 [练2] 若关于x的不等式(a－1)x2－(a－1)x－1＜0的解为一切实数，求实数a的取值范围． 解：当a－1＝0，即a＝1时，－1＜0恒成立，符合题意； 当a－1≠0，即a≠1时， 则有 解得－3＜a＜1. 综上所述，实数a的取值范围是{a|－3＜a≤1}． 角度3：一元二次不等式的实际应用 [例3] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即 解得0<x<， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围为{x|0<x<}． 利用一元二次不等式解决实际问题的步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． [练3] (1)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A．{x|20≤x≤30} B．{x|20≤x≤45} C．{x|15≤x≤30} D．{x|15≤x≤45} (2)(2024·防城港高一期末检测)某商店进了一批服装，每件进价为60元．当每件售价为90元时，每天可售出30件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件．若使每天的利润最大，售价应为(　　) A．60元 B．90元 C．80元 D．70元 (1)B　(2)B　解析：(1)设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80). 由题意，知－2x2＋130x－500≥1 300，即x2－65x＋900≤0， 解得20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是{x|20≤x≤45}．故选B. (2)设每件售价定为(90－x)元，则销售件数增加了x件． ∴每天所获利润为y＝(30－x)(30＋x)＝－x2＋900(x≥0)， 故当x＝0时，每天所获利润最大． 故售价定为每件90元时，可获最大利润．故选B. 1．知识清单 (1)简单的分式不等式的解法； (2)不等式恒成立问题； (3)一元二次不等式的实际应用． 2．方法归纳：数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区：不等式恒成立问题一定要注意其二次项的系数是否为零． ◎随堂演练 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x≤2} C．{x|x＜0或x≥2} D．{x|x＜0或x＞2} B　解析：由原式得x(x－2)≤0且x≠0， 解得0＜x≤2.故选B. 2．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20，t∈N} B．{t|10≤t≤15，t∈N} C．{t|10<t<15，t∈N} D．{t|0<t≤10，t∈N} B　解析：由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500(t∈N)，即t2－25t＋150≤0(t∈N)， 解得10≤t≤15(t∈N).故选B. 3．若不等式x2－px＋9≥0的解为一切实数，则p的取值范围为 ． 答案：{p|－6≤p≤6}　解析：由题意可知，Δ＝p2－36≤0，解得－6≤p≤6. 4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 台． 答案：150　解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去). 因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台． 学科网（北京）股份有限公司 $$