第1章 4.2 一元二次不等式及其解法（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

4．2　一元二次不等式及其解法 [对应学生用书P32] 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 3．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 知识点　一元二次不等式 前面我们学习了一元二次方程的解法，一元二次函数的图象与性质，如何利用两者的关系求解一元二次不等式呢？ 1．一元二次不等式的概念 (1)定义：形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． (2)解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． (1)“一元”即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)； (2)“二次”即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 2．一元二次不等式的求解方法 函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，不等式ax2＋bx＋c＞0和ax2＋bx＋c＜0的解集之间的关系： y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝ (x1<x2) x1＝x2＝－ 无实数根 函数y＝ax2＋bx＋c的图象 不等式ax2＋bx＋c>0的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ “一元二次不等式ax2＋bx＋c>0”表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围. 角度1：解不含参数的一元二次不等式 [例1] 求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2＜0. 解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根x1＝－3，x2＝－.又一元二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－，或x＜－3}． (2)原不等式可化为(2x－)2≤0，所以原不等式的解集为{x|x＝}． (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又一元二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； (2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； (3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根； (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． [练1] 下列四个不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋5＞0 C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0 C　解析：利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R，其他可类似判断．故选C. 角度2：三个“二次”关系的应用 [例2] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 解：方法一　由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a＜0知c＜0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋x＋＞0，即x2－x＋＞0，解得x＜或x＞，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＜，或x＞}． 方法二　由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a，解得b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即6ax2－5ax＋a＜0，从而6a·(x－)(x－)＜0，故原不等式的解集为{x|x＜，或x＞}． 含参数不等式相关问题的解题思路 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. [练2] (1)若关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(多选)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A．－ B．－ C． D． (1)D　(2)AC　解析：(1)因为关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集为{x|－7＜x＜－1}，所以方程mx2＋8mx＋28＝0的两根为－7，－1，且m>0.由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝，－7＋(－1)＝－，解得m＝4.故选D. (2)由题意知x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，则(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2.又x2－x1＝15，所以36a2＝152，所以a＝±. 角度3：含参数的一元二次不等式的解法 [例3] 解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a＜0). 解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)·(ax－2)≥0. ∵a＜0，∴(x＋1)(x－)≤0. 当－2＜a＜0时，≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1； 当a＜－2时，－1≤x≤. 综上所述，当－2＜a＜0时，原不等式的解集为{x|≤x≤－1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}； 当a＜－2时，原不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 含参一元二次不等式的解法 [练3] 解关于x的不等式x2－(a＋)x＋1＜0(a≠0). 解：原不等式可化为(x－a)(x－)＜0， 当－1＜a＜0或a＞1时，解得<x<a； 当a＝±1时，无解； 当a＜－1或0＜a＜1时，解得a<x<. 综上所述，当－1＜a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|<x<a}； 当a＝±1时，原不等式的解集为∅； 当a＜－1或0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a<x<}． 1．知识清单 (1)一元二次不等式的解法； (2)含参数的一元二次不等式的解法； (3)三个“二次”之间的关系． 2．方法归纳：数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区：一元二次方程无解与相应不等式解集之间的关系. ◎随堂演练 1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是(　　) A．x2＋x＜－1 B．x2＋＋1＜0 C．x2＋＋1＜0 D．x2＋1＜0 AD　解析：由于x2＋＋1＜0，x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式．故选AD. 2．(2024·桂林高一期末检测)不等式2x2＋5x－12＜0的解集为(　　) A．(－∞，－4)∪(，＋∞) B．(－4，) C．(－∞，－)∪(4，＋∞) D. (－，4) B　解析：由2x2＋5x－12＜0可得(2x－3)(x＋4)＜0，解得－4＜x＜，因此，原不等式的解集为(－4，).故选B. 3．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解集是(　　) A．(－∞，－n)∪(m，＋∞) B．(－n，m) C．(－∞，－m)∪(n，＋∞) D．(－m，n) B　解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n. ∵m＋n＞0，∴m＞－n.结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得原不等式的解集是(－n，m).故选B. 4．解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＞0. 解：原不等式可化为(x－1)(x－a)＞0， 当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$