二项分布与超几何分布讲义-2025届高三数学一轮复习

二项分布与超几何分布辨析 一、知识梳理 1.二项分布 ①定义：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率是p，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：，此时称随机变量X服从二项分布，记作． ②均值和方差： 2.超几何分布 ①定义：假设一批产品共有N件，其中有M件次品。从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k=m，m+1，m+2，…，r， 其中n，M，N∈N*，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}，则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 二、模型辨析 1、判断下列分布类型 （1） 袋中有3 个白球、2 个黑球有放回抽取时，取到黑球的个数X.( ) （2） 假设高二1班共有学生30名，男生18名，女生12名，从中任意抽取5 名同学，这5 名同学中包含的女生人数X.( ) （3） 某同学投篮命中率为0.6，他在6次投篮中命中的次数Y.( ) （4） 假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任取3条，这3 条鱼中含有鲑鱼的条数Y.( ) （5） 袋中有3 个白球、2 个黑球无放回抽取时，取到黑球的个X.( ) （6） 在一次考试中有10道单选题，某同学一道也不会，随机的选择答案，这10 道题中答对的个数Y.( ) 2、某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验. (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ 解：（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为， 可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数， 恰好抽到1件次品的概率为. （2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品的总数有关， 所以需要分3种情况分别计算： ①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件， 从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为4900件， 从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为49000件， 从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. 归纳总结：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 三、例题讲解 例1、甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 解：（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得的可能取值为：，， 所以，，， 所以的分布列为： 1 2 3 由题意可得， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2），. ， ， 因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大. 例2、电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率． (1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望． (2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列． 解：（1）“体育迷”对应的频率为：， 用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则； 所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： 数学期望. （2）根据分层抽样原则知：抽取的人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为， ；；； 的分布列为： 例3、某服装公司经过多年发展，在全国布局了3500余家规模相当的销售门店．该公司每年都会设计生产春季新款服装并投放到全国各个门店销售．公司为了了解2022年春季新款服装在各个销售门店的销售情况，市场部随机调查了20个销售门店的年销售额（单位：万元，不考虑门店之间的其它差异），统计结果如下： 门店编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额 45 33 30 44 28 22 37 21 19 24 门店编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 销售额 34 41 23 20 37 31 29 32 36 42 (1)从以上20个门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店中至少有2个的年销售额超过40万元的概率； (2)以样本频率估计概率，现从全国销售门店中随机抽取3个，记该年春季新款的年销售额超过40万元的销售门店的个数为，求的分布列及数学期望． 解：（1）年销售额超过40万元的门店有个， 则所求概率； （2）由样本估计总体，从全国随机抽取1个销售门店， 春季新款的年销售额超过40万元的概率是，则随机变量， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 P ∴的期望为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$