第4讲 二次根式及乘除-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

第4讲 二次根式及乘除 教学目标： 1． 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简； 2． 2．能根据运算法则进行二次根式的乘除运算。 教学重点/难点： 1.，，及其运用； 2.积的算术平方根、二次根式的乘法。 考点一：二次根式的定义 相关知识点内容 一般的，形如的式子叫做二次根式，叫做被开方数。 注意：（1）二次根式中都含有二次根号“”； （2）在二次根式中，被开方数必须满足，当时，二次根式无意义； （3）在二次根式中，可以是一个数也可以是一个式子； （4）二次根式是的算术平方根，所以。 例1：下列各式中，哪些是二次根式？ （1） ；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）。 变式练习1：下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 方法总结：二次根式应满足两个条件：1.有二次根号“”；2.被开方数是正数或0． 例2、若使有意义，则x的取值范围是________． 变式练习2： （1）要使式子有意义，则a的取值范围为__________ （2）当x是多少时，在实数范围内有意义？ 考点二：二次根式的性质 相关知识点内容 1. ； 2. ； 3.； 其中，可以为数字，也可以为一个代数式。 例3：填空：当时，=____；当时，=______。� 变式练习3：（1）根据例1回答下列问题． ①若，则可以是什么数？ ②若，则可以是什么数？ ③，则可以是什么数？ （2）已知m为任意实数，则下列各式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 例4：已知的三边长为，且满足，则的取值范围为 . 变式练习4：实数a,b,c满足，且，求代数式的值。 例5：已知x、y为实数，且．求的值． 变式练习5： （1）已知与互为相反数，求的值. （1） 已知,且,求的值. 例6：已知，求7（x＋y）－20的立方根 变式练习6：已知：，求实数a, b的值。 例7：化简 变式练习7:化简下列各式 （1） （2） （3） （4） 考点三：积、商的算术平方根性质与二次根式乘法、除法法则 相关知识点内容 1、积的算术平方根的性质：，即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。反之为二次根式乘法法则。 注意：（1）可以是数，也可以是代数式。无论是哪个，必须满足； （2）这个性质可以推广为 2、商的算术平方根的性质：，即商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。反之为二次根式除法法则。 注意：必须是非负数，必须是正数才成立，如果都是负数，虽然>0，有意义，但是在实数范围内无意义。 例8： 将下列各式化简（题中涉及字母均为正数） （1） （2） （3） （4） （5） 变式练习8: 计算下列各式（题中涉及字母均为正数） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （4） (5) 例9： 计算下列各式（题中涉及字母均为正数） （1） （2） （3） （4） 变式练习9: 计算下列各式（题中涉及字母均为正数） （1） （2） （3） （4） （5） （6）若x、y为实数，且，求的值. （7）如果m＜0，化简 课后作业 1. 使式子有意义的条件是 。 2. 当时，有意义。 3. 若有意义，则的取值范围是 。 4. 当时，是二次根式。 5. 化简：的结果是 。 6. 当时，。 7. 使等式成立的条件是 。 8. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则化简后为（ ） A. B. C. D. 11. 计算：的值是（ ） A. 0 B. C. D. 或 12. 若，求的值。 13. 当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。 14. 当，时，。 15. 计算：。 16. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ） A. B. C. D. 17. 计算：（出现的字母均为正数） （1） （2） （3） （4） （5） （6） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$