专题2.2 函数的性质（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（安徽专用）

专题2.2 函数的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 7 考点一：函数的单调性与最值 7 考点二：函数的奇偶性 9 考点三：函数的周期性 10 考点四：函数性质的综合运用 11 【考纲要求】 1.会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值. 3了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 4.会依据函数的性质进行简单的应用． 【考向预测】 1.函数单调性的概念 2.求函数单调性及利用函数单调性求解问题 3.应用函数的奇偶性和周期性 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的单调性与单调区间 （1）增函数与减函数的定义 增函数：设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1）＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数. 减函数：设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1）＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数. 变化趋势： ①增函数函数值随自变量的值的增大而增大，在区间D上，函数的图象自左至右逐渐上升. ②减函数函数值随自变量的值的增大而减小，在区间D上，函数的图象自左至右逐渐下降. （2）函数的单调性及单调区间 概念：如果函数y=f(x)在曲靖D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y=f(x)的单调区间. 若函数在其整个定义域内具有单调性，则称函数是单调函数. 写法： ①当一个函数中出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”或“，”连接，如函数y=在区间（-∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但不能说它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数. ②书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定.习惯上，若函数在区间端点有意义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以，若函数在区间端点没有意义，则必须写成开区间. 例如 函数y=x2的一个单调减区间可以写成（-∞，0），也可以写成（-∞，0]，而函数y=的单调减区间只能写成（-∞，0）和（0，+∞）. 2.函数单调性的判断与证明 步骤如下： （1） 第一步：取值，在指定区间任取x1,x2,且令x1＜x2（或x2＜x1）； （2） 第二步：作差变形，将f(x1)-f(x2)【或f(x2)-f(x1)】进行化简变形，变形的方向应有利于判断f(x1)-f(x2)[【或f(x2)-f(x1)】的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等； （3） 第三步：定号，对变形后的差进行判断，确定f(x1)-f(x2)【或f(x2)-f(x1)】的符号，若不能直接确定差的符号，通常情况下还需讨论或再细分区间，直到可以确定差的符号为止； （4） 第四步：判断，判断函数是符合增函数的定义还是减函数的，从而得出结论 3. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在时有定义，则． （2）若且的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数． 4．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 5. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(－x)与f(x)的关系； 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 6.函数的周期性 （1）周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得 恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期， 则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期. （2）几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, 1 ，则是以为周期的周期函数； ②，则是以为周期的周期函数； ③，则是以为周期的周期函数； ④，则是以为周期的周期函数； ⑤，则是以为周期的周期函数. ⑥，则是以为周期的周期函数. ⑦，则是以为周期的周期函数. 【考点分类剖析】 考点一：函数的单调性与最值 例1．函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 【变式探究】1．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 例2．如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 例3．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若函数在上是增函数，则（     ）. A． B． C． D． 例4．已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，且，都有，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【变式探究】1．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【变式探究】2．已知，则在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点二：函数的奇偶性 例1．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式探究】2．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．5 D．7 例3．为奇函数，为偶函数，且则（    ） A．3 B．-1 C．1 D．-3 【变式探究】1．设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式探究】2．已知定义在R上的偶函数，满足，则　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【变式探究】3．已知函数，其中是偶函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 考点三：函数的周期性 例1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（    ） A． B．2 C． D．98 【变式探究】1．已知函数f(x)，对于定义域R上任意x值都有f(x＋2)＝f(x)，且f(1)＝1，则f(89)＝（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式探究】2．已知定义在上的函数满足当时当时则（    ） A．809 B．811 C．1011 D．1013 例3．已知函数，则的值是(    ) A．4 B． C．8 D． 【变式探究】已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D．4 考点四：函数性质的综合运用 例1．下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 例2．函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知是偶函数，且在上单调递减，则的图象可能为（    ） A． B． C． D． 例3．函数是上的偶函数，若对任意，都有，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．若是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【变式探究】2．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则，的值分别为（    ） A．1，1 B．，1 C．0，1 D．0， 例4．函数满足，若，则（    ） A．13 B．2 C． D． 【变式探究】1．已知函数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，则（    ） A．（1）且为偶函数 B．且为奇函数 C．为增函数且为奇函数 D．为增函数且为偶函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 函数的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 7 考点一：函数的单调性与最值 7 考点二：函数的奇偶性 12 考点三：函数的周期性 16 考点四：函数性质的综合运用 19 【考纲要求】 1.会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值. 3了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 4.会依据函数的性质进行简单的应用． 【考向预测】 1.函数单调性的概念 2.求函数单调性及利用函数单调性求解问题 3.应用函数的奇偶性和周期性 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的单调性与单调区间 （1）增函数与减函数的定义 增函数：设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1）＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数. 减函数：设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1）＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数. 变化趋势： ①增函数函数值随自变量的值的增大而增大，在区间D上，函数的图象自左至右逐渐上升. ②减函数函数值随自变量的值的增大而减小，在区间D上，函数的图象自左至右逐渐下降. （2）函数的单调性及单调区间 概念：如果函数y=f(x)在曲靖D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y=f(x)的单调区间. 若函数在其整个定义域内具有单调性，则称函数是单调函数. 写法： ①当一个函数中出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”或“，”连接，如函数y=在区间（-∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但不能说它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数. ②书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定.习惯上，若函数在区间端点有意义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以，若函数在区间端点没有意义，则必须写成开区间. 例如 函数y=x2的一个单调减区间可以写成（-∞，0），也可以写成（-∞，0]，而函数y=的单调减区间只能写成（-∞，0）和（0，+∞）. 2.函数单调性的判断与证明 步骤如下： （1） 第一步：取值，在指定区间任取x1,x2,且令x1＜x2（或x2＜x1）； （2） 第二步：作差变形，将f(x1)-f(x2)【或f(x2)-f(x1)】进行化简变形，变形的方向应有利于判断f(x1)-f(x2)[【或f(x2)-f(x1)】的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等； （3） 第三步：定号，对变形后的差进行判断，确定f(x1)-f(x2)【或f(x2)-f(x1)】的符号，若不能直接确定差的符号，通常情况下还需讨论或再细分区间，直到可以确定差的符号为止； （4） 第四步：判断，判断函数是符合增函数的定义还是减函数的，从而得出结论 3. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在时有定义，则． （2）若且的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数． 4．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 5. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(－x)与f(x)的关系； 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 6.函数的周期性 （1）周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得 恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期， 则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期. （2）几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, 1 ，则是以为周期的周期函数； ②，则是以为周期的周期函数； ③，则是以为周期的周期函数； ④，则是以为周期的周期函数； ⑤，则是以为周期的周期函数. ⑥，则是以为周期的周期函数. ⑦，则是以为周期的周期函数. 【考点分类剖析】 考点一：函数的单调性与最值 例1．函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 【答案】D 【分析】由反比例函数的性质即可求解. 【详解】由反比例函数的性质可得函数的单调递减区间为（－∞，0），（0，＋∞）. 故选：D. 【变式探究】1．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，画出函数图象，即可求解单调区间. 【详解】， 画出的图象如下： 的单调减区间为， 故选：A    【变式探究】2．函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性. 【详解】解：函数对称轴为，开口向上， 所以函数，的单调减区间为. 故选：D 例2．如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 【变式探究】1．如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象即可得出单调递减区间. 【详解】根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：. 故选：. 【变式探究】2．如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像判断单调性，解题时需注意单调区间不能用. 【详解】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和， 故选：C. 例3．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 【变式探究】若函数在上是增函数，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是增函数，求解参数范围. 【详解】因为在上是增函数， 则,即. 故选：A 例4．已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合的单调性和奇偶性求得正确答案. 【详解】是在上单调递增的奇函数， 所以， 所以， 所以不等式的解集是. 故选：A 【变式探究】1．已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，且，都有，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的条件求出函数在上的单调性，根据奇偶性求出上的单调性以及零点，进而求出的解集. 【详解】解：由题意 在函数中，， 为奇函数， ∴， ∵对于任意的，且，都有， ∴函数在上单调递增，在上单调递增， 当时，若，则；若，则， 此时. 故选：D. 【变式探究】2．函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用函数单调性的定义进行求解. 【详解】∵函数在R上是减函数，且， ∴由函数单调性的定义可知，， 解得， ∴实数的取值范围是． 故选：A． 例5．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果. 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5， 所以， 又为奇函数， 所以函数在区间上是增函数，且有最大值. 故选：A 【变式探究】1．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 【变式探究】2．已知，则在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】利用反比例函数的性质即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 所以，. 故选：A. 考点二：函数的奇偶性 例1．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 故选：. 【变式探究】1．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】求得函数的定义域为，计算，可得，即可判断的奇偶性. 【详解】函数， 由，可得， 即有函数的定义域关于原点对称， 又， 即有， 则为偶函数. 故选：B. 【变式探究】2．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义判断四个选项即可. 【详解】对于A，令，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数，故A正确； 对于B，令，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故B错误； 对于C，令，定义域为，不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，令，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故D错误， 故选：A. 例2．已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性得到，结合时函数解析式，得到答案. 【详解】时，， 则， 又为偶函数，故， 故. 故选：B 【变式探究】1．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，所以. 故选：C 【变式探究】2．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义，直接求函数解析式. 【详解】由函数为偶函数， 得当时，，， 故选：D. 【变式探究】3．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【分析】求出时的解析式后，代入可求出结果. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以当时，， 所以. 故选：C 例3．为奇函数，为偶函数，且则（    ） A．3 B．-1 C．1 D．-3 【答案】A 【分析】 根据函数奇偶性可知，解方程组即可求得. 【详解】 因为为奇函数，为偶函数， 则 所以 两式相加可得，即 故选：A. 【变式探究】1．设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性进行求解. 【详解】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以. 故选：A 【变式探究】2．已知定义在R上的偶函数，满足，则　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据条件即可得出，而，从而可求出． 【详解】解：是定义在R上的偶函数，且；；即；． 故选B． 【点睛】考查偶函数的定义，已知函数求值的方法． 【变式探究】3．已知函数，其中是偶函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，根据是偶函数求出，从而得到. 【详解】∵，， ∴， 又∵是偶函数， ∴， ∴． 故选：． 考点三：函数的周期性 例1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据周期函数的定义辨析即可排除. 【详解】结合周期函数的定义可知，A、B、C均为周期函数，D不是周期函数. 故选：D 【点睛】此题考查函数周期性的辨析，根据函数图象分析，属于简单题目. 例2．已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（    ） A． B．2 C． D．98 【答案】B 【分析】得到函数的周期，从而利用函数的周期求出. 【详解】函数满足，则函数周期为2， 则. 故选：B 【变式探究】1．已知函数f(x)，对于定义域R上任意x值都有f(x＋2)＝f(x)，且f(1)＝1，则f(89)＝（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数周期性进行求解 【详解】∵，∴是周期为2的周期函数， ∴. 故选：B. 【变式探究】2．已知定义在上的函数满足当时当时则（    ） A．809 B．811 C．1011 D．1013 【答案】A 【分析】根据周期性，先求一个周期内函数值的和，再看有几个周期，即可得解. 【详解】由可知周期为5， 所以一个周期的和为： ， 所以 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的周期性，考查了利用周期性求和，解题关键是先求出一个周期内的函数值的和，进而求解的过程，计算量不大，属于基础题. 例3．已知函数，则的值是(    ) A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】注意到，根据该分段函数x＞0时的周期性即可求得． 【详解】∵，∴． 故选：D． 【变式探究】已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据当时，，得到，再利用当时，，求出，即为结果. 【详解】当时，，故在时，为周期函数，最小正周期为1，因为2021>0，所以，又因为当时，，所以，所以 故选：C 考点四：函数性质的综合运用 例1．下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义和在上的单调性易得. 【详解】由奇函数的定义，函数的定义域关于原点对称，排除D项， 又由，排除A项， 因在上单调递减，故排除B项， 而是奇函数，在上单调递增，符合要求. 故选：C. 【变式探究】1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得； 【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A错误； B选项，的定义域为，且，故为奇函数，故B错误； C选项，设，因为， 所以在上不单调递增，故C错误； D选项，的定义域为，且，故为偶函数， 又当时，，在上单调递增，故满足要求，故D正确． 故选：D． 【变式探究】2．下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性定义和指数函数与幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于，根据幂函数的图像和性质，知是偶函数，图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数，故正确； 对于，是偶函数，图象关于轴对称，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是偶函数，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是奇函数，图象关于原点对称，故错误. 故选：. 例2．函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解. 【详解】因为定义域， 且， 所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A，D； 当时，，排除B. 故选：C 【变式探究】1．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断. 【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D； 又时，，排除选项C，故选项A正确. 故选：A. 【变式探究】2．已知是偶函数，且在上单调递减，则的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数的奇偶性以及单调性，逐项分析即可求出结果. 【详解】因为是偶函数，则函数图象关于轴对称，故排除D选项； 又因为在上单调递减，故排除BC选项； 故选：A. 例3．函数是上的偶函数，若对任意，都有，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性与周期性，求得的值． 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又因为，所以周期T=2， 所以 当时，函数 得=1 故选：C. 【变式探究】1．若是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】C 【解析】根据函数是定义在上的奇函数，可得，再根据周期为4，即可得到答案； 【详解】解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则， 又由，则有， 则， 故选：C. 【变式探究】2．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则，的值分别为（    ） A．1，1 B．，1 C．0，1 D．0， 【答案】D 【分析】直接利用周期性、结合奇偶性求解即可. 【详解】因为函数是定义在上周期为4的奇函数，且， 所以； ， 故选：D. 例4．函数满足，若，则（    ） A．13 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的周期性直接求值. 【详解】根据由， 得，即， 所以函数的一个周期为， 所以， 又，， 故. 故选：C. 【变式探究】1．已知函数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可求得；令可证得为奇函数，令可求得，根据可得结果. 【详解】令，则，解得：； 令，则，为奇函数， ，. 故选：C. 【变式探究】2．已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，则（    ） A．（1）且为偶函数 B．且为奇函数 C．为增函数且为奇函数 D．为增函数且为偶函数 【答案】A 【分析】令，可得，令，可得，令，换，可得，从而可得结论 【详解】函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足， 当时， 可得（1）（1）（1），． 令，可得（1）， 令，换， 可得． 函数是偶函数． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$