专题2.1 函数的基本概念（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（安徽专用）

专题2.1 函数的基本概念 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 6 考点一：函数的基本概念 6 考点二：函数的定义域 9 考点三：求函数解析式 13 考点四：函数的不同表示方法 16 考点五：分段函数 20 【考纲要求】 1.理解函数定义域的概念，能求简单函数的定义域. 2.了解函数的三种表示方法:图象法、列表法、解析法，会根据不同的需要选择恰当的方法，能用不同方法表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 【考向预测】 1.函数基本概念及表示 2.求函数的定义域 3.求函数的解析式 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的定义 （1）函数的传统定义： 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫作这个函数的定义域，相应y的取值范围叫作函数的值域.这是函数的传统定义. （2）函数的近代定义 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域. 概念理解： （1）两个定义的本质是一样的，只是从不同的观点出发 （2）A中元素无剩余性，B中元素可剩余 （3）判断两个变量之间是否具有函数关系的依据： ①看定义域和对应关系是否是确定的 ②根据给出的对应关系，看对于自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应. 2.函数的三要素 （1）定义域： 概念：是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的自变量的取值集合. 求函数定义域的主要依据： ①若是整式，则定义域是实数集R. ②若有分母（包括零指数幂和负数指数幂），分母或（底数）必须不等于零，如：都要求x+2≠0 ③若f(x)= ④若是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集. 5 由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束. （2）对应关系： 概念：对应关系f势函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y=f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应，同一“f”可以“操作”于不同形式的变量，如f(x)是对x实施“操作”，而f(x2）是对x2实施“操作”，f(2)是对2实施“操作”. 对“f”理解： ①y=f(x)即“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是对应关系所施加的对象； ②f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述； ③y是自变量x的函数，当x为允许的某一个具体值时，相应的y值为该自变量对应的函数值，y=f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积” ④需要注意的是，这里的“x”可以是一个数，也可以是一个代数式，还可以是某个函数的符号 ⑤f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系：f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它hi一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值 （3）值域： 函数的值域是对应法则f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合.求函数的值域问题，可依据函数的对应规律，运用不同的数学方法去求解. 3.函数相等 概念：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等，即它们为同一函数. 判断方法：①定义域相等，②对应关系相等 4.区间与无穷大 （1）区间 概念：设a,b是两个实数，而且a＜b，我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）； ③满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b）,(a,b] 这里的实数a与b都叫作相应区间的端点. 表示： 定义 名称 符号 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a＜x＜b} 开区间 （a,b） {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a,b） {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a,b] （2）无穷大 概念：实数集R可以用区间表示为（），琼中符号“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 区间中的表示： 定义 符号 R （） {x|x≥a} [a,+∞） {x|x＞a} (a,+∞） {x|x≤a} (-∞,a] {x|x＜a} （-∞，a） 5.函数的三种表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系用一个数学表达式表示，这个数学表达式又叫做函数的解析表达式，简称解析式 如，圆的面积s是半径r的函数，可表示为S=r2（r＞0）. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 如，我们生活中经常遇到银行中的利息表、列车时刻表、国民生产总值表都是列表法. （3）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 如，气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象等，都是用图象法表示函数关系的. 6.分段函数 （1）分段函数的定义： 对于自变量x的不同取值集合，有着不同的对应关系的函数，称为分段函数 （2）对分段函数的理解： ①分段函数是一个函数，而不是几个函数 ②写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏 ③处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系. ④分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域就是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大（小）值则是分别求出各端上的最大（小）值后，取各段中的最大（小）值中的最大（小）值. 【考点分类剖析】 考点一：函数的基本概念 例1．下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 【变式探究】1．已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义逐一分析即可. 【详解】对于，当时，， 对于任意，在中都存在唯一确定的元素与之对应，满足函数定义，A正确； 对于，当时，， 当时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误； 对于，当时，， 当时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误； 对于，当时，， 当或时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误． 故选：A． 【变式探究】2．设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 【变式探究】3．下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 例2．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 【变式探究】1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 【变式探究】2．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】C 【分析】结合函数关系图形即可得到答案. 【详解】由图可知，若，则或2. 故选：C. 例3．已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【答案】C 【分析】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得，再求即得. 【详解】由表可知：，则. 故选：C. 【变式探究】1．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合问题，自变量取合适的值，可得答案. 【详解】取，有. 故选：D. 【变式探究】2．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据表格中的数据及图象可求函数值. 【详解】， 故选：A. 考点二：函数的定义域 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 【变式探究】1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【变式探究】2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 例2．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得. 【详解】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 【变式探究】1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数特征得到不等式，求出且，得到定义域. 【详解】由题意得且，解得且， 故的定义域为. 故选：B 【变式探究】2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】函数的定义域为，所以， ， 所以的定义域为， 对于函数，由， 得，所以函数的定义域为. 故选：C 【变式探究】3．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域，得即函数的定义域，再整体代入求函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，由，有， 即函数的定义域为， 令，解得，函数的定义域为. 故选：C 例3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的定义域为全体实数，说明分母不为零，对讨论，结合二次方程的知识可求答案. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 当时，显然符合题意； 当时，，即， 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 【变式探究】1．已知函数的定义域为，则实数a的取值集合为（    ） A．{1} B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，对比即可得出. 【详解】由可得，即的定义域为，所以， 则实数a的取值集合为. 故选：A. 【变式探究】2．已知函数的定义域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为不等式在上恒成立，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足， 因为函数的定义域为，即不等式在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，恒成立，符合题意． 当时，不符合题意， 综上可得，实数的取值范围是． 故选：D. 考点三：求函数解析式 例1．一次函数满足，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设.根据，且，利用待定系数法求解即可． 【详解】由题意，设. ∵， 即， 可得：. 又∵ 即 ∴， ∴的解析式为． 故选：A． 【变式探究】1．已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可. 【详解】设一次函数， 则， 即，所以解得， 所以， 故选:C. 【变式探究】2．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据题意设，则，然后由列方程组求出的值，从而可得的解析式，进而可求出 【详解】根据题意设，则， 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 例2．若函数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法，把原式变形即可. 【详解】，. 故选：. 【变式探究】1．已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法可求的解析式，结合选项可得答案. 【详解】令，由于，则，， 所以，得， 所以函数的解析式为． 故选：B 【变式探究】2．若满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件即可得出函数的表达式. 【详解】由题意， 在中，， ∴， 故选：B. 例3．若对于任意实数都有，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据解方程组法求出的解析式，即可代入具体值得出答案. 【详解】对于任意实数都有， 用代替式中可得， 联立两式可得 则 故选：D. 【变式探究】1．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令为，则，然后与联立可求出 【详解】令为，则， 与联立可解得，． 故选：D． 【变式探究】2．定义域为的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，解方程组可求得答案 【详解】因为定义域为的函数满足， 所以有，即， 所以，得， 故选：D 考点四：函数的不同表示方法 例1．小明离开家去学校上学，刚开始步行一段时间后感觉要迟到，改为跑步完成余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下面四个图形中较符合该学生走法的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意进行排除和判断即可. 【详解】因为纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间， 且小明离开家去学校上学，所以纵坐标随横坐标增加而减少，故排除C和D； 由题意得，图象斜率的绝对值先小后大，故排除B. 故选：A 【变式探究】1．下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（    ） A． B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 【变式探究】2．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】依次判断各选项中的函数是否满足定义域和值域要求即可. 【详解】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确； 对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误； 对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误. 故选：B. 例2．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出等腰三角形的周长的关系式，改写成关于的函数，根据三角形的三边关系求出自变量的范围 【详解】由得：， 又由， 可得， ∴， 又， ∴， 故选：B. 【变式探究】1．一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等腰三角形性质可得，变形得关于表达式，再结合三角形三边性质确定自变量范围即可. 【详解】∵，∴. 由题意得解得. ∴. 故选：D. 【变式探究】2．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 【答案】A 【分析】利用周长列方程，化简求得关于的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式. 【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5. 所以函数解析式为. 故选：A 例3．设已知函数如下表所示： 0 1 2 2 1 0 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的概念求解即可. 【详解】由可得，或或， 解得或或， 所以解集为， 故选:A. 【变式探究】1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（　　） x y 2 3 4 5 A．[2，5] B．{2，3，4，5} C．(0，20] D．N＋ 【答案】B 【分析】由题意结合所给函数的列表确定函数的值域即可. 【详解】由题中列表表示的函数可知函数的值域为. 故选：B. 【变式探究】2．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先计算出，进而求出的值. 【详解】因为，所以，故. 故选：D 考点五：分段函数 例1．已知函数则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】代入即可求解. 【详解】因为， 所以, 故选：C 【变式探究】1．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， ， 所以. 故选：A 【变式探究】2．若函数，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据分段函数求函数值可得结果. 【详解】因为， 故选：C. 例2．国内快递以内的包裹的邮资标准如表： 运送距离（） … 邮资（元） 5.00 6.00 7.00 … 如果某人在西安要邮寄的包裹到距西安的某地，那么他应付的邮资是（　　） A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．无法确定 【答案】C 【分析】直接由邮资标准版找到对应的邮资即可. 【详解】通过邮资标准表可知以下的公理到公理以内的邮资是元， 故选：C 【变式探究】1．厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示，若小曾同学用水量为16，则应交水费（ ）（单位：元） 不超过12的部分 3元/ 超过12不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ A．48 B．60 C．72 D．80 【答案】B 【分析】根据给定的数表，分段计算即可作答. 【详解】因为小曾同学用水量为16，则不超过12的部分的水费为（元）， 显然没有超过18，则超过12不超过18的部分的水费为（元）， 所以应交水费为（元）. 故选：B 【变式探究】2．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地,途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2）,甲前一半的路程使用速度v1,后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程,C是AB的中点）,则其中可能正确的图示分析为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】开始时,甲乙两人速度相同,图像重合,后半段速度增加,路程时间图像的斜率应该更抖. 【详解】由题意可知,开始时,甲、乙速度均为v1,所以图象是重合的线段,由此排除C,D,再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示A正确． 故选:A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 函数的基本概念 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 6 考点一：函数的基本概念 6 考点二：函数的定义域 8 考点三：求函数解析式 9 考点四：函数的不同表示方法 10 考点五：分段函数 11 【考纲要求】 1.理解函数定义域的概念，能求简单函数的定义域. 2.了解函数的三种表示方法:图象法、列表法、解析法，会根据不同的需要选择恰当的方法，能用不同方法表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 【考向预测】 1.函数基本概念及表示 2.求函数的定义域 3.求函数的解析式 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的定义 （1）函数的传统定义： 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫作这个函数的定义域，相应y的取值范围叫作函数的值域.这是函数的传统定义. （2）函数的近代定义 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域. 概念理解： （1）两个定义的本质是一样的，只是从不同的观点出发 （2）A中元素无剩余性，B中元素可剩余 （3）判断两个变量之间是否具有函数关系的依据： ①看定义域和对应关系是否是确定的 ②根据给出的对应关系，看对于自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应. 2.函数的三要素 （1）定义域： 概念：是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的自变量的取值集合. 求函数定义域的主要依据： ①若是整式，则定义域是实数集R. ②若有分母（包括零指数幂和负数指数幂），分母或（底数）必须不等于零，如：都要求x+2≠0 ③若f(x)= ④若是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集. 5 由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束. （2）对应关系： 概念：对应关系f势函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y=f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应，同一“f”可以“操作”于不同形式的变量，如f(x)是对x实施“操作”，而f(x2）是对x2实施“操作”，f(2)是对2实施“操作”. 对“f”理解： ①y=f(x)即“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是对应关系所施加的对象； ②f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述； ③y是自变量x的函数，当x为允许的某一个具体值时，相应的y值为该自变量对应的函数值，y=f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积” ④需要注意的是，这里的“x”可以是一个数，也可以是一个代数式，还可以是某个函数的符号 ⑤f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系：f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它hi一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值 （3）值域： 函数的值域是对应法则f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合.求函数的值域问题，可依据函数的对应规律，运用不同的数学方法去求解. 3.函数相等 概念：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等，即它们为同一函数. 判断方法：①定义域相等，②对应关系相等 4.区间与无穷大 （1）区间 概念：设a,b是两个实数，而且a＜b，我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）； ③满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b）,(a,b] 这里的实数a与b都叫作相应区间的端点. 表示： 定义 名称 符号 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a＜x＜b} 开区间 （a,b） {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a,b） {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a,b] （2）无穷大 概念：实数集R可以用区间表示为（），琼中符号“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 区间中的表示： 定义 符号 R （） {x|x≥a} [a,+∞） {x|x＞a} (a,+∞） {x|x≤a} (-∞,a] {x|x＜a} （-∞，a） 5.函数的三种表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系用一个数学表达式表示，这个数学表达式又叫做函数的解析表达式，简称解析式 如，圆的面积s是半径r的函数，可表示为S=r2（r＞0）. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 如，我们生活中经常遇到银行中的利息表、列车时刻表、国民生产总值表都是列表法. （3）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 如，气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象等，都是用图象法表示函数关系的. 6.分段函数 （1）分段函数的定义： 对于自变量x的不同取值集合，有着不同的对应关系的函数，称为分段函数 （2）对分段函数的理解： ①分段函数是一个函数，而不是几个函数 ②写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏 ③处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系. ④分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域就是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大（小）值则是分别求出各端上的最大（小）值后，取各段中的最大（小）值中的最大（小）值. 【考点分类剖析】 考点一：函数的基本概念 例1．下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【变式探究】1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式探究】2．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 例3．已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【变式探究】1．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式探究】2．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 考点二：函数的定义域 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【变式探究】1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知函数的定义域为，则实数a的取值集合为（    ） A．{1} B． C． D． 【变式探究】2．已知函数的定义域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三：求函数解析式 例1．一次函数满足，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 例2．若函数，则（    ）． A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 例3．若对于任意实数都有，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 【变式探究】1．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．定义域为的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点四：函数的不同表示方法 例1．小明离开家去学校上学，刚开始步行一段时间后感觉要迟到，改为跑步完成余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下面四个图形中较符合该学生走法的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（    ） A． B．  C．   D．   【变式探究】2．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　） A． B．C． D． 例2．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 例3．设已知函数如下表所示： 0 1 2 2 1 0 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（　　） x y 2 3 4 5 A．[2，5] B．{2，3，4，5} C．(0，20] D．N＋ 【变式探究】2．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．0 B．1 C．2 D．3 考点五：分段函数 例1．已知函数则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式探究】1．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【变式探究】2．若函数，则（    ） A． B． C．4 D．8 例2．国内快递以内的包裹的邮资标准如表： 运送距离（） … 邮资（元） 5.00 6.00 7.00 … 如果某人在西安要邮寄的包裹到距西安的某地，那么他应付的邮资是（　　） A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．无法确定 【变式探究】1．厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示，若小曾同学用水量为16，则应交水费（ ）（单位：元） 不超过12的部分 3元/ 超过12不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ A．48 B．60 C．72 D．80 【变式探究】2．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地,途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2）,甲前一半的路程使用速度v1,后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程,C是AB的中点）,则其中可能正确的图示分析为 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$