精品解析：浙江省杭州市大关中学、风帆中学、春蕾中学联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

2022−2023学年浙江省杭州市大关中学、风帆中学、春蕾中学联考 八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列数学符号中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A、C、D均找不到一条直线，使A、C、D沿该直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，故A、C、D不是轴对称图形，不符合题意； B能找到一条直线，使B沿该直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，故B是轴对称图形，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 2. 对于命题“若则”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需要将选项逐一代入题设中进行验证. 【详解】选项A，将a、b值代入后命题成立，不能证明是假命题； 选项B，，与题设不符； 选项C，将a、b值代入后命题成立，不能证明是假命题； 选项D，将a、b值代入后，，与原命题不符，故能证明其为假命题. 【点睛】真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．一个命题都可以写成这样的格式：如果+条件，那么+结论．条件和结果相矛盾的命题是假命题. 3. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质分别判断得出即可． 【详解】解：A、若，则，故此选项不合题意； B、若，则，故此选项不合题意； C、若，则，故此选项不合题意； D、若，则，所以，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，能够正确运用不等式的基本性质是解题关键． 5. 已知等腰三角形的两边长为x，y，且满足，则三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， 4是腰长时，三角形得三边分别为4、4、8， ∵， ∴不能组成三角形； 4是底边时，三角形得三边分别为4、8、8， 可以组成三角形， 周长， 所以三角形得周长为20． 故答案选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值的非负性和平方非负性的性质，根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零求出x、y的值是解此类题的关键． 6. 在中它的三边分别为a，b，c，条件：①；②；③；④；中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ∵， ∴最大的角为， ∴不是直角三角形，故③不符合题意； ∵， 设， 此时， ∴不是直角三角形，故④不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有1个． 故选：A 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理，三角形的内角和定理是解题的关键． 7. 若不等式组的解集为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，再根据不等式组的解集确定m、n的值，代入原式计算即可． 【详解】 解①得 解②得 解集为 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程、代入求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得：，得出，；由外角定理求出，最后根据三角形的内角和定理求解即可； 【详解】解：∵，为的中点； ∴ ∴，； 在和中 ∴ 即： 在中 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形的外角定理和内角和定理等知识点；熟练掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 9. 如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC，即可得出答案． 【详解】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB， 则AF＝BF， 可得AF＝AH，AC⊥FH， ∴FC＝CH， ∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4， ∴△AFH的周长为：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝8． 故本题选择A． 【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC是解题关键． 10. 如图，在中，，，D，E分别为线段AB，AC上一点，且，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F．以下四个结论正确的是（　　　） ①； ②若，则； ③若BE平分，则； ④连结EF，若，则． A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先证明∆BAE≅ ∆CAD，再证明∆ABG≅ ∆ACG，得AF是∠BAC的平分线，进而即可判断①；先证明BDC=∠CEB=90°，根据直角三角形的性质，即可判断②；根据角平分线的性质，得点G到∆ABC的三边距离都相等，结合“等积法”即可判断③；先证明B，C，D，E在以点F为圆心的圆上，进而即可判断④． 【详解】∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD， ∴∆BAE≅ ∆CAD， ∴∠ABE=∠ACD， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即：∠GBC=∠GCB， ∴BG=CG， ∴∆ABG≅ ∆ACG， ∴∠BAG=∠CAG，即AF是∠BAC的平分线， ∴，故①正确； ∵， ∴∠CEB=90°， 由①可知：BD=CE，∠ABC=∠ACB， 又∵BC=CB， ∴∆BDC≅∆CEB， ∴∠BDC=∠CEB=90°， ∵点F是BC的中点， ∴，故②正确； ∵BE平分，AF平分∠BAC， ∴点G是角平分线的交点， ∴点G到∆ABC的三边距离都相等，且等于FG， ∵，，AF⊥BC， ∴AF== ， ∴S∆ABC=(AB+AC+BC)∙FG=×16FG=8FG，S∆ABC=BC∙AF=12， ∴8FG=12，即：，故③正确； ∵，由①可知：CD⊥AB， ∴B，C，D，E在以点F为圆心的圆上， ∴，故④正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握“等腰三角形三线合一”，“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”，是解题的关键． 二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若m与7的和是正数，则可列出不等式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据m与7的和是正数，即可列出不等式． 【详解】解：与7的和是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列不等式，理解题意，正确列出不等式是解决本题的关键． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 13. 不等式组的解为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的公共解集即可确定a的取值范围． 【详解】由不等式组的解为， 可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 14. 在同一平面内，有相互平行的三条直线，，，且，之间的距离为1，，之间的距离是2，若等腰的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，，在的面积是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行线的距离，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，过作于，过作于，证明，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 16. 已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一个直角边于点，交斜边于F，则的长为 ____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理．分两种情况：①将B沿折叠，B与的中点D重合，②将A沿折叠，A与的中点D重合，用勾股定理列方程，分别算出的长度，即可得到答案． 【详解】解：①将点B沿折叠，B与的中点D重合，如图： 设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； ②将A沿折叠，A与的中点D重合，如图： 设，则 在中， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 三．解答题（共7小题，共66分） 17. 解下列一元一次不等式（组）： （1）； （2）并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）， 把它的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上． （1）画出与关于直线l成轴对称的； （2）求的面积； （3）求边上的高． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） （3）边上的高为． 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B关于直线l的对称点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）先计算出的长，然后利用面积法求边上的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：设边上的高为h， ∵， ∴， 解得， 即边上的高为． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了勾股定理． 19. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴即． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用证得，再根据全等三角形的性质可得是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据角平分线的定义以及可得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）如图：过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8． 22. 某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价-进价） 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于4290元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？ 【答案】（1）甲种商品购进100件，乙种商品购进60件． （2）有两种购货方案：方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件． 【解析】 【分析】（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件，根据题意列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件． 根据题意得： ． 解得：． 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件． 【小问2详解】 设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件． 根据题意得 ． 解不等式组，得． ∵a为非负整数， ∴a取66，67． ∴相应取94，93． ∴有两种购货方案： 方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件． 方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件． 【点睛】本题考查的一元一次不等式组和二元一次方程组，熟练掌握两者的应用是解题的关键． 23. 如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P． （1）求线段的长度； （2）连接，求的度数； （3）如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1）1 （2） （3）不改变， 【解析】 【分析】(1)证，即可得出； (2)过O分别作于M点，作于N点，证，得出，得出平分，即可得出结论； (3)连接，由等腰直角三角形的性质得，，，则，证出，证，得，进而得出答案． 【小问1详解】 解 : ， ， ， ， 在 和中， ， ； 【小问2详解】 解：过O分别作于点M点，作于点N，如图 所示： 在四边形中，， ， 在与中， ， ， ， ，， 平分， ； 【小问3详解】 解：的值不发生改变，等于， 理由如下： 如图：连接， ，，D为的中点， ，，， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022−2023学年浙江省杭州市大关中学、风帆中学、春蕾中学联考 八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列数学符号中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于命题“若则”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的两边长为x，y，且满足，则三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 或 6. 在中它的三边分别为a，b，c，条件：①；②；③；④；中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 若不等式组的解集为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 10. 如图，在中，，，D，E分别为线段AB，AC上一点，且，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F．以下四个结论正确的是（　　　） ①； ②若，则； ③若BE平分，则； ④连结EF，若，则． A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若m与7的和是正数，则可列出不等式______． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 13. 不等式组的解为，则的取值范围是______． 14. 在同一平面内，有相互平行的三条直线，，，且，之间的距离为1，，之间的距离是2，若等腰的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，，在的面积是_______． 15. 如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则_______． 16. 已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一个直角边于点，交斜边于F，则的长为 ____________________． 三．解答题（共7小题，共66分） 17. 解下列一元一次不等式（组）： （1）； （2）并把它的解集表示在数轴上． 18. 如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上． （1）画出与关于直线l成轴对称的； （2）求的面积； （3）求边上的高． 19. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 20. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 21. 如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，G为中点，求的长． 22. 某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价-进价） 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于4290元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？ 23. 如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P． （1）求线段的长度； （2）连接，求的度数； （3）如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $